1、整理課件2.3 變量間的相關關系變量間的相關關系2.3.1 變量之間的相關關系變量之間的相關關系2.3.2 兩個變量的線性相關兩個變量的線性相關整理課件自自 學學 導導 引引整理課件1.掌握兩個變量間的相關關系及正相關掌握兩個變量間的相關關系及正相關 負相關負相關 不具相關不具相關關關系的判定系的判定.2.通過收集實際生活中兩個變量的有關數據作出散點圖通過收集實際生活中兩個變量的有關數據作出散點圖.3.利用散點圖直觀地認識變量間的相關關系利用散點圖直觀地認識變量間的相關關系.4.正確理解回歸直線方程正確理解回歸直線方程 最小二乘法的概念最小二乘法的概念.5.能夠根據散點圖得到回歸直線能夠根據散

2、點圖得到回歸直線.6.掌握利用最小二乘法求回歸直線方程的方法掌握利用最小二乘法求回歸直線方程的方法.整理課件課課 前前 熱熱 身身整理課件1.相關關系與函數關系不同相關關系與函數關系不同,相關關系是一種相關關系是一種_性關性關系系.2.從散點圖上看從散點圖上看,點散布在從左下角到右上角的區域內點散布在從左下角到右上角的區域內,兩個兩個變量的這種相關關系稱為變量的這種相關關系稱為_,點散布在從左上角到右點散布在從左上角到右下角的區域內下角的區域內,兩個變量的這種相關關系稱為兩個變量的這種相關關系稱為_.3.從散點圖上看從散點圖上看,如果這些點從整體上看大致分布在通過散點如果這些點從整體上看大致分

3、布在通過散點圖中心的一條直線附近圖中心的一條直線附近,稱兩個變量之間具有稱兩個變量之間具有_,這條直線叫這條直線叫_.不確定不確定正相關正相關負相關負相關線性相關關系線性相關關系回歸直線回歸直線整理課件據據(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn).且所求回歸方程是且所求回歸方程是其中其中b是回歸方程的是回歸方程的_, 是是_,則有則有,ybxa a_,_,_.ba斜率斜率截距截距121()()()niiiniixxyyxx1221niiiniix ynxyxnxybx整理課件通過求通過求Q=_的最小的最小值而得出回歸直線的方法值而得出回歸直線的方法,即使得樣本數據的點到回歸直線即使得樣本

4、數據的點到回歸直線的距離的平方和最小的距離的平方和最小,這一方法叫做最小二乘法這一方法叫做最小二乘法. (y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+(yn-bxn-a)2整理課件名名 師師 講講 解解整理課件(1)相關關系相關關系自變量取值一定時自變量取值一定時,因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關系叫相關關系量之間的關系叫相關關系.(2)相關關系與函數關系的異同點相關關系與函數關系的異同點相同點相同點:兩者均是指兩個變量的關系兩者均是指兩個變量的關系;整理課件田的水稻產量與施肥量之間的關系田的水稻產量與施肥量之間的關系.事實上事實上,函數關系是兩

5、個函數關系是兩個非隨機變量的關系非隨機變量的關系,而相關關系是非隨機變量與隨機變量的而相關關系是非隨機變量與隨機變量的關系關系.整理課件函數關系是一種因果關系函數關系是一種因果關系,而相關關系不一定是因果關系而相關關系不一定是因果關系,也可能是伴隨關系也可能是伴隨關系.例如例如,有人發現有人發現,對于在校兒童對于在校兒童,鞋的大小與鞋的大小與閱讀能力有很強的相關關系閱讀能力有很強的相關關系,然而學會新詞并不能使腳變大然而學會新詞并不能使腳變大,而是涉及到第三個因素而是涉及到第三個因素年齡年齡,當兒童長大一些當兒童長大一些,他的閱讀他的閱讀能力會提高能力會提高,而且由于長大而且由于長大,腳也變大

6、腳也變大.整理課件(3)相關關系的分析方向相關關系的分析方向由于相關關系的不確定性由于相關關系的不確定性,在尋找變量間相關關系的過程中在尋找變量間相關關系的過程中,統計發揮非常重要的作用統計發揮非常重要的作用.我們可以通過收集大量的數據我們可以通過收集大量的數據,在在對數據進行統計分析的基礎上對數據進行統計分析的基礎上,發現其中的規律發現其中的規律,對它們的關對它們的關系作出判斷系作出判斷.整理課件(1)回歸分析回歸分析對具有相關關系的兩個變量進行統計分析的方法叫回歸分析對具有相關關系的兩個變量進行統計分析的方法叫回歸分析.通俗地講通俗地講,回歸分析是尋找相關關系中非確定性關系的某種確定性回歸

7、分析是尋找相關關系中非確定性關系的某種確定性.(2)散點圖散點圖將將n個數據點個數據點(xi,yi),(i=1,2,n)描在平面直角坐標系中描在平面直角坐標系中,以表以表示示具有相關關系的兩個變量的一組數據的圖形叫做散點圖具有相關關系的兩個變量的一組數據的圖形叫做散點圖.散點圖形象地反映了各對數據的密切程度散點圖形象地反映了各對數據的密切程度.整理課件(3)正相關正相關 負相關負相關如果從散點圖看到點散布的位置是左下角到右上角的區域如果從散點圖看到點散布的位置是左下角到右上角的區域.這種相關稱為正相關這種相關稱為正相關.反之反之,如果兩個變量的散點圖中如果兩個變量的散點圖中,點散布點散布大時大

8、時,另一個變量的值由大變小另一個變量的值由大變小,這種相關稱為負相關這種相關稱為負相關.如果關于兩個變量統計數據的散點圖呈現如圖的形狀如果關于兩個變量統計數據的散點圖呈現如圖的形狀,則這則這兩個變量之間不具有相關關系兩個變量之間不具有相關關系.例如例如,學生的身高與學生的數學生的身高與學生的數學成績沒有相關關系學成績沒有相關關系.整理課件利用散點圖可以判斷變量之間有無相關關系利用散點圖可以判斷變量之間有無相關關系.整理課件(1)回歸直線回歸直線觀察散點圖的特征觀察散點圖的特征,發現各點大致分布在一條直線的附近發現各點大致分布在一條直線的附近,就就稱這兩個變量之間具有線性相關的關系稱這兩個變量之

9、間具有線性相關的關系,這條直線叫做回歸這條直線叫做回歸直線直線.整理課件(2)回歸直線方程回歸直線方程設設x與與y具有相關關系的兩個變量具有相關關系的兩個變量,且相應于且相應于n組觀測值的組觀測值的n個個點大致分布在一條直線的附近點大致分布在一條直線的附近,則由則由1122211()()()nniiiiiinniiiixxyyx ynxybxxxnxaybx 整理課件其中其中,b是回歸方程的斜率是回歸方程的斜率,a是截距是截距.所得到的方程所得到的方程 叫作回歸直線方程叫作回歸直線方程,相應的直線叫相應的直線叫作回歸直線作回歸直線,而對兩個變量所進行的統計分析叫作線性回歸而對兩個變量所進行的統

10、計分析叫作線性回歸分析分析. ybxa整理課件(3)最小二乘法最小二乘法設與設與n個觀測點個觀測點(xi,yi)(i=1,2,n)最接近的直線方程為最接近的直線方程為 (注意它與表示一次函數的習慣注意它與表示一次函數的習慣y=ax+b不同不同 表示表示y的估的估算值算值).其中其中a,b是待定系數是待定系數.用用Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+(yn-bxn-a)2來刻畫來刻畫n個點與個點與回歸直線在整體上的偏差回歸直線在整體上的偏差.上式展開后上式展開后,是一個關于是一個關于a,b的二次多項式的二次多項式,運用配方法運用配方法,可求出可求出使使Q取得最小值時取得最小值時a

11、,b的值的值(即上述公式即上述公式中的中的a,b值值). ybxa; y整理課件上述求回歸直線的方法上述求回歸直線的方法,是使得樣本數據的點到它的距離的是使得樣本數據的點到它的距離的平方和最小平方和最小.由于平方又叫二乘方由于平方又叫二乘方,所以這種使所以這種使“偏差平方和偏差平方和為為最小最小”的方法的方法,叫做最小二乘法叫做最小二乘法.整理課件典典 例例 剖剖 析析整理課件題型一題型一 相關關系的判斷相關關系的判斷例例1:下表是某地的年降雨量與年平均氣溫下表是某地的年降雨量與年平均氣溫,兩者是相關關系嗎兩者是相關關系嗎?求回歸直線方程有意義嗎求回歸直線方程有意義嗎?年平均年平均氣溫氣溫()

12、()12.5112.51 12.8412.84 12.8412.84 13.6913.6913.313.33 312.7412.74 13.0513.05年降雨年降雨量量(mm)(mm)748748542542507507813813574574701701432432分析分析:利用散點圖進行判別利用散點圖進行判別.整理課件解解:以以x軸為年平均氣溫軸為年平均氣溫,y軸為年降雨量軸為年降雨量,可得相應的散點圖如可得相應的散點圖如下圖所示下圖所示:整理課件因為圖中各點并不在一條直線的附近因為圖中各點并不在一條直線的附近,所以兩者不具有相關所以兩者不具有相關關系關系,沒必要用回歸直線進行擬合沒必要

13、用回歸直線進行擬合,如果用公式求得回歸直線如果用公式求得回歸直線也是沒有意義的也是沒有意義的.規律技巧規律技巧:用回歸直線進行擬合兩變量關系的一般步驟為用回歸直線進行擬合兩變量關系的一般步驟為:(1)作出散點圖作出散點圖,判斷散點是否在一條直線附近判斷散點是否在一條直線附近;(2)如果散點在一條直線附近如果散點在一條直線附近,用公式求出用公式求出a,b并寫出線性回歸并寫出線性回歸方程方程.整理課件變式訓練變式訓練1:5個學生的數學和物理成績如下表個學生的數學和物理成績如下表: 學生學生學科學科A AB BC CD DE E數學數學80807575707065656060物理物理70706666

14、686864646262畫出散點圖畫出散點圖,并判斷它們是否有相關關系并判斷它們是否有相關關系. 整理課件分析分析:解答本題可以以數學成績為自變量解答本題可以以數學成績為自變量,考察因變量物理成考察因變量物理成績的變化趨勢績的變化趨勢,從而作出判斷從而作出判斷.解解:以以x軸表示數學成績軸表示數學成績,y軸表示物理成績軸表示物理成績,可得相應的散點圖可得相應的散點圖如圖所示如圖所示:由散點圖可見由散點圖可見,圖中的圖中的點大致在一條直線點大致在一條直線附近附近,故兩者之間具故兩者之間具有相關關系有相關關系.整理課件題型二題型二 求回歸直線方程求回歸直線方程例例2:每立方米混凝土的水泥用量每立方

15、米混凝土的水泥用量(單位單位:kg)與與28天后混凝土的天后混凝土的抗壓強度抗壓強度(單位單位:kg/cm2)之間的關系有如下數據之間的關系有如下數據:x x 150150 160160 170170 180180 190190 200200 210210 220220 230230 24240 025250 026260 0y y 56.56.9 958.58.3 361.61.6 664.64.6 668.68.1 171.71.3 374.74.1 177.77.4 480.80.2 282.82.6 686.86.4 489.89.7 7整理課件(1)畫出散點圖畫出散點圖;(2)如果散

16、點圖中的各點大致分布在一條直線的附近如果散點圖中的各點大致分布在一條直線的附近,求求y與與x之間的回歸直線方程之間的回歸直線方程.分析分析:(1)將表中的各對數據在平面直角坐標系中描點將表中的各對數據在平面直角坐標系中描點,便得到便得到具有相關關系的兩個變量的一組數據的圖形具有相關關系的兩個變量的一組數據的圖形,即得散點圖即得散點圖;(2)按照求回歸直線方程的步驟和公式按照求回歸直線方程的步驟和公式,寫出回歸直線方程寫出回歸直線方程.整理課件解解:(1)如下圖如下圖.整理課件(2)由散點圖知由散點圖知,x與與y之間具有線性相關關系之間具有線性相關關系,下面求回歸直線下面求回歸直線方程方程.制表

17、制表:i i1 12 23 34 45 56 6x xi i150150160160170170180180190190200200y yi i56.956.958.358.361.661.664.664.668.168.171.371.3x xi iy yi i853585359328932810472104721162811628129391293914260i14260i整理課件i i7 78 89 9101011111212x xi i210210220220230230240240250250260260y yi i74.174.177.477.480.280.282.682.686

18、.486.489.789.7x xi iy yi i15561155611702817028184461844619824198242160021600233222332212211212211205,72.6,518600,64572.94,182943iiiiiiixyxyx y整理課件2182943 12 205 72.64340.3047518600 12 20514300.72.60.304 20510.28,0.30410.28.baybxyx于是所求的線性回歸方程是整理課件規律技巧規律技巧:用公式求回歸直線方程的一般步驟用公式求回歸直線方程的一般步驟:(1)列表列表xi,yi,x

19、iyi.(2)計算計算 (3)代入公式求代入公式求 的值的值.(4)寫出回歸直線方程寫出回歸直線方程.211, ,.nniiiiix yxx y?b a整理課件變式訓練變式訓練2:求變式訓練求變式訓練1中的回歸直線方程中的回歸直線方程.解解:列表列表:i i1 12 23 34 45 5x xi i80807575707065656060y yi i70706666686864646262x xi iy yi i560056004950495047604760416041603720372064006400562556254900490042254225360036002ix5170,66,2

20、3190iiixyx y整理課件515221590.36,25540.8.0.3640.8.iiiiix yxybxxaybxyx 所求回歸直線方程為整理課件題型三題型三 利用回歸直線方程對總體進行估計利用回歸直線方程對總體進行估計例例3:在在7塊并排塊并排 形狀大小相同的實驗田上進行施化肥量對形狀大小相同的實驗田上進行施化肥量對水水稻產量影響的試驗稻產量影響的試驗,得數據列表得數據列表(單位單位:kg):施化施化肥量肥量x x1515202025253030353540404545水稻水稻產量產量y y330330 345345 365365 405405 445445 450450 455

21、455整理課件(1)畫出散點圖畫出散點圖;(2)求水稻產量求水稻產量y與施化肥量與施化肥量x之間的回歸直線方程之間的回歸直線方程;(3)當施化肥當施化肥50 kg時時,對水稻的產量予以估計對水稻的產量予以估計.分析分析:解答本題應先畫散點圖解答本題應先畫散點圖,判斷其是否線性相關判斷其是否線性相關,再利用最再利用最小二乘法求其回歸方程小二乘法求其回歸方程.整理課件(1)畫出散點圖如圖畫出散點圖如圖:由圖可見是線性相關的由圖可見是線性相關的.整理課件(2)借助計算器列表借助計算器列表:i i1 12 23 34 45 56 67 7x xi i15152020252530303535404045

22、45y yi i330330345345365365405405445445450450455455x xi iy yi i4950495069006900912591251215012150 1557515575 1800018000 2047520475整理課件2871757 30 399.34.75,70007 30257:ba399.34.75430257.75 .yx 計算得即得回歸直線方程(3)施化肥施化肥50 kg時時,可以估計水稻產量約為可以估計水稻產量約為495kg.整理課件規律技巧規律技巧:(1)回歸分析是尋找相關關系中非確定性關系的某回歸分析是尋找相關關系中非確定性關系的

23、某種確定性種確定性;(2)求回歸直線方程求回歸直線方程,關鍵在于正確地求出系數關鍵在于正確地求出系數a,b,由于由于a,b的計算量大的計算量大,計算時要仔細計算時要仔細,避免計算失誤避免計算失誤.整理課件變式訓練變式訓練3:改革開放以來改革開放以來,我國高等教育事業有了迅速發展我國高等教育事業有了迅速發展,這里我們得到了某省從這里我們得到了某省從1990年到年到2000年年18歲到歲到20歲的青年歲的青年人每年考入大學的百分比人每年考入大學的百分比.我們把農村我們把農村,縣鎮和城市分開統計縣鎮和城市分開統計.為了便于計算為了便于計算,把把1990年編號為年編號為0,1991年編號為年編號為1,

24、2000年年編號為編號為10.如果把每年考入大學的百分比作為因變量如果把每年考入大學的百分比作為因變量,把年份把年份從從0到到10作為自變量作為自變量,進行回歸分析進行回歸分析,可得到下面三條回歸直線可得到下面三條回歸直線:城市城市: 縣鎮縣鎮: 農村農村:9.502.84 ;yx6.762.32 ;yx1.800.42 .yx整理課件(1)在同一坐標系中作出這三條回歸直線在同一坐標系中作出這三條回歸直線;(2)對于農村青年來講對于農村青年來講,系數等于系數等于0.42意味著什么意味著什么?(3)在這一階段哪一組的大學入學率年增長最快在這一階段哪一組的大學入學率年增長最快?整理課件解解:(1)

25、圖象如下圖象如下:整理課件每年每年0.42的速度遞增的速度遞增,由此可以看出農村經濟條件及教育現狀由此可以看出農村經濟條件及教育現狀與城鎮的差別與城鎮的差別.(3)城市組的大學入學率年增長最快城市組的大學入學率年增長最快.整理課件技技 能能 演演 練練整理課件基礎強化基礎強化1.下列兩個變量具有相關關系且不是函數關系的是下列兩個變量具有相關關系且不是函數關系的是( )解析解析:A B都是函數關系都是函數關系,C是相關關系是相關關系,D中人的視力與身高中人的視力與身高沒有關系沒有關系.答案答案:C整理課件2.下列關系是函數關系的是下列關系是函數關系的是( )解析解析:球的表面積與體積存在函數關系

26、球的表面積與體積存在函數關系,應選應選B.答案答案:B整理課件3.如下圖所示如下圖所示,有有5組組(x,y)數據數據,去掉去掉( )組數據后組數據后,剩下的剩下的4組組數據的線性相關系數最大數據的線性相關系數最大.( )整理課件解析解析:由相關關系及圖象可知由相關關系及圖象可知,去掉去掉D(3,10)組數據后組數據后,余下的四余下的四組數據相關關系最大組數據相關關系最大.答案答案:D整理課件4.設有一個回歸方程設有一個回歸方程 ,則變量則變量x增加一個單位時增加一個單位時( )解析解析:由回歸方程由回歸方程 知知,x與與y負相關負相關,即即x增加一個增加一個單位單位,y平均減少平均減少1.5個

27、單位個單位.答案答案:C2 1.5yx2 1.5yx整理課件5.線性回歸方程線性回歸方程 必定過必定過( )A.(0,0)點點 B.( , 0)點點C.(0, )點點 D.( )點點解析解析:回歸直線方程一定經過樣本點的中心回歸直線方程一定經過樣本點的中心答案答案:D yabxxy, x y( , ).x y整理課件6.實驗測得四組實驗測得四組(x,y)的值為的值為(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),則則y與與x之之間的回歸直線方程為間的回歸直線方程為( )解析解析:把四組實驗值代入驗證知把四組實驗值代入驗證知, 適合適合.答案答案:A.1.2.21.1A yxB yxC yxD

28、yx1yx整理課件7.正常情況下正常情況下,年齡在年齡在18歲到歲到38歲的人歲的人,體重體重y(kg)對身高對身高x(cm)的回歸方程為的回歸方程為 ,張剛同學張剛同學(20歲歲)身高身高178 cm,他的體重應該在他的體重應該在_kg左右左右.解析解析:回歸方程對身高回歸方程對身高178 cm的人的體重進行預測的人的體重進行預測,當當x=178時時, 0.7258.2yx0.72 17858.269.96().ykg整理課件8.下列關于回歸直線方程下列關于回歸直線方程 bx+a敘述正確的是敘述正確的是_.反映反映 與與x之間的函數關系之間的函數關系;反映反映y與與x之間的函數關系之間的函數

29、關系;表示表示 與與x之間的不確定關系之間的不確定關系;表示最接近表示最接近y與與x之間直線關系的一條直線之間直線關系的一條直線.解析解析: =bx+a表示表示 與與x之間的函數關系之間的函數關系,而不是而不是y與與x之間之間的函數關系的函數關系.但它反映的關系最接近但它反映的關系最接近y與與x之間的真實關系之間的真實關系,故故選選.yyyyy整理課件能力提升能力提升9.下列說法下列說法:線性回歸方程適用于一切樣本和總體線性回歸方程適用于一切樣本和總體;線性回歸方程一般都有局限性線性回歸方程一般都有局限性;樣本取值的范圍會影響線性回歸方程的適用范圍樣本取值的范圍會影響線性回歸方程的適用范圍;線

30、性回歸方程得到的預測值是預測變量的精確值線性回歸方程得到的預測值是預測變量的精確值.其中正確的是其中正確的是_.整理課件解析解析:樣本和總體具有線性相關關系時樣本和總體具有線性相關關系時,才能求線性回歸方程才能求線性回歸方程,性回歸方程有一定的局限性性回歸方程有一定的局限性.整理課件10.(2007廣東廣東)下表提供了某廠節能降耗技術下表提供了某廠節能降耗技術,改造后生產甲改造后生產甲產品過程中記錄的產量產品過程中記錄的產量x(噸噸)與相應的生產能耗與相應的生產能耗y(噸標準煤噸標準煤)的幾組對照數據的幾組對照數據.(1)請畫出上表數據的散點圖請畫出上表數據的散點圖;(2)請據上表提供的數據請據上表提供的數據,用最小二乘法求出用最小二乘法求出y關于關于x的線性回的線性回歸方程歸方程x x3 34 45 56 6y y2.52.53 34 44.54.5;ybxa整理課件(3)已知該廠技改前已知該廠技改前100噸甲產品的生產能耗為噸甲產品的生產能耗為90噸標準煤噸標準煤,試根據試根據(2)求出的線性回歸方程求出的線性回歸方程,預測生產預測生產100噸甲產品的生產噸甲產品的生產能耗比技改前降低多少噸標準煤能耗比技改前降低多少噸標準煤?(參考參考值值:32.5+43+54+64.5=66.5