1、用Excel表達貧富不均洛侖茲曲線的繪制及基尼系數的定積分計算在反貧困工作中有兩項重要的統計工具：洛侖茲曲線和基尼系數，它們使用、整理大量調查數據所繪制的圖形、曲線及計算結果，可以用來說明社會收入差距大小，貧富兩極分化程度。這些工作可以使用Excel來處理。根據本人近年實踐，總結介紹如下。1.洛侖茲曲線洛侖茲曲線研究的是國民收入在國民之間的分配問題，這是美國統計學家洛侖茲提出來的。它先將一國或一地區人口按收入由低到高排隊，然后考慮收入最低的任意百分比人口所得到的收入百分比。例如最低的10%、20%、30%的人口等等所得到的收入比例分別為1.09%、4.16%、9.21%等等，如表1所示，最后將

2、這樣得到的人口累計百分比和收入累計百分比的對應關系制成圖表，即得到洛侖茲曲線，如圖0所示。表1圖0上圖即為洛倫茲曲線，其橫坐標是相對人口累計百分比，縱坐標是收入累計百分比。如果收入是絕對均等的（當然這只是一種理想化的狀態）， 每1%的人口都得到1%的收入，累計99%的人口就得到累計99%的收入，則收入分配是完全平等的，累計收入曲線就是上圖中的對角線OL，圖中標明是“絕對均等線”。假如收入分配絕對不均等（當然這也是一種設想的狀態），幾乎所有的人口均一無所有，即99%的人完全沒有收入，而所有的收入都在1% 的人手中，即1%的人擁有100%的收入，累計分配曲線是由橫軸和右邊垂線組成的折線OAL。圖中

3、標明是“絕對不均等線”,一般來說，一個國家、一個地區的收入分配，既不是完全不平等，也不是完全平等，而是介于兩者之間，那么相應的洛侖茲曲線既不是折線OAL，也不是對角線OL，而是介于兩者之間的就是中間那條向橫軸突出的OCL曲線。洛侖茲曲線的彎曲程度具有重要意義。一般來說它的彎曲程度反映了收入的不平等程度，彎曲程度越大，收入分配程度越不公平。洛倫茲曲線和對角線之間的那塊月牙形區域（圖中斜線區域）可以看成是貧富之間的那條溝坎。這塊月牙形區域面積S大小，可以用來表征實際收入分配與理想境界的差距：這塊月牙形區域面積S越大，洛倫茲曲線彎曲度越大，月牙彎得越大，它和對角線離開得越遠，說明收入差距越大，貧富兩

4、極分化越嚴重。反之，這塊月牙形區域面積S越小，洛倫茲曲線越平緩，月牙彎得越小，它和對角線靠得越近，說明社會收入差距越小，貧富兩極分化越不明顯。用Excel繪制洛侖茲曲線,主要使用面積圖，先繪制絕對平均區域的對角線三角形面積圖，并以某顯著顏色圖案著色。再繪制洛侖茲曲線，選擇一個前景色著色，掩蓋前者的一部分以后，就可見到月牙形的曲邊形，從而為基尼系數的計算做了準備。繪制洛侖茲曲線的步驟如下：【步驟01】：選擇單元格C2:C12作圖表，進入【圖表向導-4 步驟之 1-圖表類型】，選擇“面積圖”第一行第一個“面積圖。顯示各種樹脂隨時間或類別而變化的趨勢線”，如圖1：圖1【步驟2】：進入“下一步”，添加

5、標題“洛侖茲曲線”，取消圖例，完成后對系列、坐標軸數據格式等格式調整后所得圖形如圖2：圖2【步驟03】：取消網格線，將系列內部顏色調整為黑色斜線條，如圖3：圖3【步驟04】：選擇圖表，右鍵選“源數據”，添加系列2，其值通過右端小按鈕選取輸入為“=Sheet2!$B$2:$B$12”，如圖4：圖4【步驟05】：確定后，加上X軸、Y軸標題，取消X軸數據標志，調整系列2內部顏色，手工使用文本框寫入O、A、L、B、C和漢字，插入箭頭，并長按Ctrl鍵，將這些加入內容和原圖標都選中疊加，右鍵選“組合”-“組合”，從而完成洛侖茲曲線圖的繪制，如圖5所示。圖52.基尼系數洛倫茲曲線常用來形象化地說明問題，它

6、不可能用一個確切的數字來表示收入差異的總體水平，國際通用的衡量這種水平的最常用的是基尼系數。基尼系數是從洛倫茲曲線推導出來的，用以測定洛倫茲曲線背離完全均等狀況的程度。基尼系數的計算是這樣的：設：洛倫茲曲線和對角線之間的那塊區域（圖中斜線區域）面積為S， 絕對不均等折線和絕對均等對角線圍成的三角形OAL區域的面積為P 基尼系數GSP。關于基尼系數的解讀，應該注意以下幾點：當收入分配完全均等時，S 0，于是，G 0；當收入分配完全不均等時，S P ，G 1；現實生活中，基尼系數總是介于0和1之間，即0 G 1；基尼系數越大說明收入分配越不平等，基尼系數越小，表明收入分配越趨于均等。聯合國有關組織

7、規定：若收入的基尼系數 0.2 表示收入分配絕對平均；收入的基尼系數介于 0.2 0.3 表示比較平均；收入的基尼系數介于 0.3 0.4 表示相對合理；收入的基尼系數介于 0.4 0.5 表示收入差距較大；收入的基尼系數 0.6以上表示收入分配差距懸殊。對于基尼系數的具體計算，關鍵在于幾個圖形的面積計算。其中：OAL的面積為 0.5 (OL是邊長為1的正方形的對角線)曲邊形OALC的面積則不能用初等數學的方式求得，可用定積分求曲線OCL下面積。為此，先要確定曲線OCL方程。由于統計數據不是連續曲線，事先也無確定方程，這些數據都是一些離散的點，因此，我們利用Excel作出它們的散點圖（而不是前

8、面的面積圖），再使用添加趨勢線的方式，求得這條擬合趨勢線的方程，再利用定積分求得該曲線下面積。下面，以上面例子的數據說明求解過程。【求基尼系數 步驟 01】：選擇單元格C2:C13, 進入【圖表向導-4 步驟之 1-圖表類型】對話框,選擇“X Y散點圖”,在“下一步”取消圖例，完成后得到圖6 所示XY散點圖。選擇散點圖中數據點，右鍵選擇“添加趨勢線”，見圖6：圖6【求基尼系數 步驟 02】：在【添加趨勢線】對話框中，切換到“類型”選項卡，在“趨勢預測/回歸分析類型”中，可以根據題意及定積分計算方便，選擇“多項式”，“階數”可調節為2（視曲線與點擬合程度調節），如圖7：圖7【求基尼系數 步驟 0

9、3】：切換到“選項”選項卡，選中“顯示公式”復選框，“設置截距=0”視情況也可選中，如圖8，確定后，如圖9，其中的公式，就是通過回歸求得的擬合曲線的方程。圖8圖9【求基尼系數 步驟 04】：為求曲邊形OALC的面積，可用定積分求曲線OCL下面積，先用不定積分求其原函數：再求其定積分：F(1)-F(0)0.335(此題計算比較簡單，只需口算即可得到解答。如實際計算比較復雜,可再次利用Excel輸入公式計算,此處不再贅述。)即 曲邊形OALC的面積=0.335S(月牙形面積) OAL的面積-曲邊形OALC的面積 0.165【求基尼系數 步驟 05】：基尼系數G S(月牙形面積) OAL的面積 0.

10、165 / 0.5 0.33該基尼系數介于 0.3 0.4 表示收入分配相對合理。求基尼系數的關鍵是：其一：使用離散的統計數據作出XY散點圖，并用“添加趨勢線”的方式，求出擬合曲線的方程，方程的類型和次數可視擬合程度調整，不過選擇多項式的話，在之后的使用積分求原函數的公式比較方便；其二：在擬合曲線的方程確定后，使用定積分計算曲線下面積，計算月牙形面積，最后即可求得基尼系數。【習題； 利用某市2005年統計年鑒提供數據，繪制當年該市洛侖茲曲線圖，并求基尼系數】表 城市居民家庭生活基本情況 (2005，按收入水平分組)指 標總平均低收入戶中等偏下戶中等收入戶中等偏上戶高收入戶調查戶數 (戶)100

11、0 200 200 200 200 200平均每人家庭全部收入(元)26677 10637 15853 18017 30350 60323表2作出輔助圖標后，所作洛侖茲曲線如圖10：圖10做散點圖，添加趨勢線，擬合方程選多項式，次數分別選擇二次（圖11）、三次(圖12)和四次(圖13)，顯然對于二次曲線，線外數據點較多，三次曲線還有個別數據點散落在線外，只有四次曲線擬合較好。圖11 數據點落在曲線外較多圖12 仍有部分數據點落在曲線外圖13 數據點和曲線擬合較好即采用四次曲線:Y= 1.9953X4 - 2.6705X3 + 1.4836X2 + 0.1918X最后計算：曲邊形OALC的面積=0.321869S(月牙形面積) OAL的面積-曲邊形OALC的面積 0.178135【求基尼系數 步驟 05】：基尼系數G S(月牙形面積) OAL的面積 0.178135 / 0.5 0.35627 0.36該基尼系數介于 0.3 0.4 表示該市2005年居民收入分配相對合理。特別要指出的是：雖然對于基尼系數在我國研究中的適用性還存在一定的爭議，但作為國際通用的常用指標之一，仍然可以用來衡量社會不平等程度的重要指標，能夠在一定程度上反映社會收入分配中存在的問題。聯合國開發計劃署（UNDP）委托中國發展研究基金會組織撰寫的中國人類