1、微積分習題一一、填空題（每題3分，總計15分）。1、，則 .2、設在處連續，且，則 .3、已知在處有極值-2，則的極大值為 .4、已知 .5、若向量垂直于向量與向量，且與向量的數量積等于-6，則向量 . 二、單向選擇填空題（每題3分，總計15分）1、 1、 設函數，下列關系正確的是（ ）.A. B. C. D. 2、 2、 下列廣義積分收斂的是（ ）.A. B. C. D. 3、 3、 已知= （ ）.A. 1 B. e C. 2 D. 04、曲線 的弧長為（ ）.A. B. C. D. 5、函數 處處連續，則 ( ).A. 2 B.-2 C. 1 D. 1 三、計算題（每

2、題6分，總計48分）。1.設連續，且 求 2.設函數可導，求 的導數。3.已知是由方程 所確定的隱函數，求.4.已知，求 在 處的值.5. 求 6. 求 7.求通過直線 和點的平面方程. 8.已知 求四、應用題（15分）。1、設直線與拋物線 所圍成的圖形的面積為又設與直線 所圍成的圖形的面積為（1） （1）   試確定的值及使 達到最小，并求出最小值.（2） （2）   求由該最小值所對應的平面圖形繞 軸旋轉一周所得的旋轉體的體積.2.設有一半徑為4米的半球形水池，里面充滿了水.問將池中的水全部抽出需作多少功？五、證明題（共7分）1. 1. &

3、#160;    證明不等式 在 時成立.2. 設在上連續，內可導，且 試證明存在 ，使得 答案：一、填空題（每題3分，總計15分）。1、 2、 A. 3、極大值為. 4、. 5、. 二、單向選擇填空題（每題3分，總計15分） 1.B 2.C 3.D 4.A 5. B 三、計算題（每題6分，總計48分）。1.設連續，且 求 2.設函數可導，求 的導數。3.已知是由方程 所確定的隱函數，求.4.已知，求 在 處的值.5. 求 6. 求 7.求通過直線 和點的平面方程. 8.已知 求四、應用題（15分）1.設有一半徑為4米的半球形水池，里

4、面充滿了水.問將池中的水全部抽出需作多少功？2、設直線與拋物線 所圍成的圖形的面積為又設與直線 所圍成的圖形的面積為（3） （1）   試確定的值及使 達到最小，并求出最小值. （4） （2）   求由該最小值所對應的平面圖形繞 軸旋轉一周所得的旋轉體的體積. 2.設有一半徑為4米的半球形水池，里面充滿了水.問將池中的水全部抽出需作多少功？五、證明題（共7分）2. 1.      證明不等式 在 時成立.令 2. 設在上連續，內可導，且 試證明存在 ，使得 微積分習題二一、填空題（本大題共5小題

5、，每小題3分，共15分）1. 極限_.2. 曲線的凸(向上凸)區間是_.3. 3.    設在內處處可導，則極限_.4. 4.    曲線繞軸旋轉而成的曲面方程是_.5. 5.    微分 _.二、單項選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）1. 設均為非零向量，則與向量不垂直的向量為（ ）.A. B. C. D.2. 若函數滿足，則此函數必( ).A.有極值 B.無極值 C.不單調 D.不可導3. 下列廣義積分發散的是( ).A. B. C. D.4. 星形線的全長是( )A. B. C. D.5

6、. 一物體按規律作直線運動，媒質的阻力與速度的平方成正比，比例常數為，則此物體從移至時克服媒質阻力所作的功為( ). A. B. C. D.    三、計算題（本大題共7小題，每小題7分，共49分）1. 求極限.2. 求由參數方程所確定的函數的二階導數 3. 設函數由方程所確定，求 .4. 計算積分 5. 計算積分.6. 計算定積分 7. 直線過點且與直線相交，又平行于平面 ，求此直線方程. 四、應用題（本大題共2小題，每小題7分，共14分）1. 1.    在一個半徑為的圓內內接一個矩形，當矩形的長和寬為多少時，

7、 矩形的面積最大？  2. 求由曲線與軸所圍成的平面圖形的面積，及此平面圖形繞軸旋轉而成的立體的體積. 五、證明題（本大題共2小題，第1小題4分，第2小題3分）1. 當時，證明不等式. 2. 設在上連續，在上可積，且，則在上至少存在一點，使得. 答案：一 1. 2. 3. 4. 5. 二 1. 2. 3. 4. 5.三 1.解: 原式2.解: 3.解: 方程兩邊同時微分得: 整理得: 即 4.解: 原式 5.解: 原式 6.解: 原式=7.解: 過點與平面平行的平面方程為 記為 與的交點為方程組的解 解得交點為 故所求的直線方程為：四 1.解: 設矩形的長和寬分別

8、為 則滿足 , 矩形面積 解得(負值舍去) 當時 時 故在時,取得極值 考慮實際意義,在區間端點處 故在時,取得極值即為最大值2.解: 曲線與軸的交點為:和 五 1.證明: 令 則 故單調減少,即 所以2.證明: 令 取分別為在上的最大值和最小值則故由連續函數介值定理知: 使得即:微積分習題三浙江大學2004級微積分（上）期中測驗試題解答一、 填空（每小題4分，共32分）1 判斷下列函數的間斷點的類型：是的 第一類（可去） 間斷點；是 的 第一類（跳躍） 間斷點；是的 第二類 間斷點。2若，則。3若 ，則。4設當時，是比高階的無窮小，則。5設，則其n階導數在點處取到極小值。6設點是曲線的拐點，則參數。7函數的圖形有鉛垂漸近線 和斜漸近線。8已知，且，則。二、 計算與證明（共68分）1 （6分）解： 2 （6分）解1： 解2 ：3 設，試確定a，b，使在處可導，并求。（8分）解： 在處可導因而連續，且 則 4 求由方程所確定的函數的微分以及在處的切線方程。（8分）解： 方程兩邊求微分：   或 切線斜率 ， 切線方程為： 即 5 設，求以及在處的曲率半徑。（8分）解： 曲率 ，則 曲率半徑 6 求的取值范圍，使得方程有實根。（8分）解：設故有唯一極小值點 ，極小值為 。而當時，方程有唯一實根，當時，方程有兩個實根，于是，。7 設，