1、灰色系統預測 重點內容：灰色系統理論的產生和發展動態，灰色系統的基本概念，灰色系統與模糊數學、黑箱方法的區別，灰色系統預測GM（1，1）模型，GM（1，N）模型，灰色系統模型的檢驗，應用舉例。1灰色系統理論的產生和發展動態1982鄧聚龍發表第一篇中文論文灰色控制系統標志著灰色系統這一學科誕生。1985灰色系統研究會成立，灰色系統相關研究發展迅速。1989海洋出版社出版英文版灰色系統論文集，同年，英文版國際刊物灰色系統雜志正式創刊。目前，國際、國內200多種期刊發表灰色系統論文，許多國際會議把灰色系統列為討論專題。國際著名檢索已檢索我國學者的灰色系統論著500多次。灰色系統理論已應用范圍已拓展到

2、工業、農業、社會、經濟、能源、地質、石油等眾多科學領域，成功地解決了生產、生活和科學研究中的大量實際問題，取得了顯著成果。2灰色系統的基本原理2.1灰色系統的基本概念我們將信息完全明確的系統稱為白色系統，信息未知的系統稱為黑色系統，部分信息明確、部分信息不明確的系統稱為灰色系統。系統信息不完全的情況有以下四種：1.元素信息不完全2.結構信息不完全3.邊界信息不完全4.運行行為信息不完全2.2灰色系統與模糊數學、黑箱方法的區別主要在于對系統內涵與外延處理態度不同；研究對象內涵與外延的性質不同。灰色系統著重外延明確、內涵不明確的對象，模糊數學著重外延不明確、內涵明確的對象。“黑箱”方法著重系統外部

3、行為數據的處理方法，是因果關系的兩戶方法，使揚外延而棄內涵的處理方法，而灰色系統方法是外延內涵均注重的方法。2.3灰色系統的基本原理公理1：差異信息原理。“差異”是信息，凡信息必有差異。公理2：解的非唯一性原理。信息不完全，不明確地解是非唯一的。公理3：最少信息原理。灰色系統理論的特點是充分開發利用已有的“最少信息”。公理4：認知根據原理。信息是認知的根據。公理5：新信息優先原理。新信息對認知的作用大于老信息。公理6：灰性不滅原理。“信息不完全”是絕對的。2.4灰色系統理論的主要內容 灰色系統理論經過10多年的發展，已基本建立起了一門新興學科的結構體系，其主要內容包括以“灰色朦朧集”為基礎的理

4、論體系、以晦澀關聯空間為依托的分析體系、以晦澀序列生成為基礎的方法體系，以灰色模型（G，M）為核心的模型體系。以系統分析、評估、建模、預測、決策、控制、優化為主體的技術體系。灰色關聯分析灰色統計灰色聚類3灰色系統預測模型灰色預測方法的特點表現在：首先是它把離散數據視為連續變量在其變化過程中所取的離散值，從而可利用微分方程式處理數據；而不直接使用原始數據而是由它產生累加生成數，對生成數列使用微分方程模型。這樣，可以抵消大部分隨機誤差，顯示出規律性。3.1灰色系統理論的建模思想下面舉一個例子，說明灰色理論的建模思想。考慮4個數據，記為，其數據見下表：序號1234符號數據1234將上表數據作圖得上圖

5、表明原始數據沒有明顯的規律性，其發展態勢是擺動的。如果將原始數據作累加生成，記第K個累加生成為,并且得到數據如下表所示序號1234符號數據134.57.5上圖表明生成數列X是單調遞增數列。3.2灰色系統預測模型建立1. 數列預測GM（1，1）模型灰色系統理論的微分方程成為Gm模型，G表示gray（灰色），m表示model（模型），Gm（1，1）表示1階的、1個變量的微分方程模型。Gm（1，1）建模過程和機理如下：記原始時間序列為：記原始數據序列為非負序列其中，其相應的生成數據序列為其中，為的緊鄰均值生成序列其中，稱為Gm(1,1)模型，其中，b是需要通過建模求解的參數，若為參數列，且， 則求微

6、分方程的最小二乘估計系數列，滿足 稱為灰微分方程，的白化方程，也叫影子方程。如上所述，則有1.白化方程的解或稱時間響應函數為2.Gm(1,1)灰微分方程的時間響應序列為3.取，則4.還原值2. 系統綜合預測GM（1，N）模型P1344灰色系統模型的檢驗定義1.設原始序列相應的模型模擬序列為殘差序列 相對誤差序列 1.對于kn,稱為k點模擬相對誤差，稱為濾波相對誤差，稱為平均模擬相對誤差； 2.稱為平均相對精度，為濾波精度； 3.給定，當，且成立時，稱模型為殘差合格模型。定義2 設為原始序列，為相應的模擬誤差序列，為與的絕對關聯度，若對于給定的，則稱模型為關聯合格模型。定義3設為原始序列，為相應

7、的模擬誤差序列，為殘差序列。為的均值，為的方差，為殘差均值，為殘差方差，1.稱為均方差比值；對于給定的，當時，稱模型為均方差比合格模型。2.稱為小誤差概率，對于給定的,當時，稱模型為小誤差概率合格模型。精度檢驗等級參照表指標臨界性精度等級相對誤差關聯度均方差比值小誤差概率一級0.010.900.350.95二級0.050.800.500.80三級0.100.700.650.70四級0.200.600.800.60一般情況下，最常用的是相對誤差檢驗指標。5應用舉例例 1設原始序列建立Gm(1,1)模型，并進行檢驗。解：1）對作1-AGO，得D為的一次累加生成算子，記為1-AGO，A cumula

8、ted Generating Operator 2)對作緊鄰均值生成，令于是， 3）確定模型及時間響應式 4)求的模擬值 =(2.8740,6.1058,9.4599,12.9410,16.5538)5)還原出的模擬值，由得 =（2.8740，3.2318，3.3541，3.4811，3.6128）6）誤差檢驗序號實際數據模擬數據殘差相對誤差23.2783.23180.04621.41%33.3373.3541-0.01710.51%43.3903.4811-0.09112.69%53.6793.61280.06621.80%殘差平方和=0.0151085平均相對誤差 =1.0625%計算X與

9、的灰色關聯度=1.7855=1.8144 =0.04535 =0.99020.90精度為一級，可以用預測。例 2某大型企業1997-2000年四年產值資料年份199719981992000產值（萬元）27260295473241135388試建立Gm(1,1)模型的白化方程及時間響應式，并對Gm(1,1)模型進行檢驗，預測該企業2001-2005年產值。解：設時間序列為 =（27260，29547，62411，35388） 2)對作緊鄰均值生成，令于是，對參數列作最小二乘估計，得設由于可得Gm(1,1)模型的白化方程其時間響應式為由此得模擬序列 =（27260，29553，32336，35381）檢驗：殘差序列為 =（0，-6，75，7） 平均相對誤差模擬誤差 ，精度一級計算與的灰色關聯度=11502=11429.5 =72.5精度為一級計算均方差比 所以，均方差比值為一級計算小誤差概率所以，小誤差概率為一級，故可用進行預測，2001-2005年預測值為 =（38713，42359，46318，50712，55488）例3預測實例，已知某企業2001-2005年的工業總產值年份20012002200320042005總產值1.671.511.032.141.99建立Gm(1,1)模型的白化方程，預測2006-2015工業總產值。解： 對作緊