1、精品文檔判斷系穩定性的方法一、穩定性判據（時域）1、 赫爾維茨判據系統穩定的充分必要條件：特征方程的各項系數全部為正;將系統特征方程各項系數排列成如下行列式；an 1 an 3 an 50 0an an 2 an 4000an 1an 300n 0anan 20°00000a10000a2ao當主行列式及其對角線上的各子行列式均大于零時，即1an 10an 1an 3anan 2an 1an3an5anan2an40an1an3則方程無正根，系統穩定。赫爾維茨穩定判據之行列式直接由系數排列而成，規律簡單明確，使用也比較方便，但是對六階以上的系統，很少應用。例；若已知系統的特征方程為s

2、4 8s3 18s2 16s 5 0試判斷系統是否穩定。解：系統特征方程的各項系數均為正數。-根據特征方程，列寫系統的赫爾維茨行列式。 由得各階子行列式；88181016181618812800516172808100161881051618000二86900各階子行列式都大于零，故系統穩定。2、勞思判據12歡迎下載(1)勞思判據充要條件:A、系統特征方程的各項系數均大于零，即a>0;B、勞思計算表第一列各項符號皆相同。滿足上述條件則系統穩定，否則系統不穩定，各項符號變化的次數就是不穩定根的數目。(2)勞思計算表的求法:A列寫勞思陣列,并將系統特征方程的系數按如下形式排列成列首兩行,即:

3、sn snsn san ahC1ananb2c2ananb3c3an 6an 7b4C4U2U1V1W1-B、計算勞思表b2an 1an 2anan 3an 1an 1an 4anan 5an 1an 1an 6 anan 7an 1系數bi的計算要一直進行到其余的bi值都等于零為止。用同樣的前兩行系數交叉相乘，再除以前一行第一個元素的方法，可以計算c, d, e等各行的系數。ban 3 an 心Nan 5 an 1-an 7 an 也C1C2C3d1c1b2b1c2C1(3)勞思判據的兩種特殊情況A、勞思計算表第一列出現零的情況因為不能用零作為除數，故第一列出現零時，計算表不能繼續排下去。為

4、解決該問題，其辦法是用一個小的正數e代替0進行計算，再令£-0求極限來判別第一列系數的符號。B、勞思計算表中出現某一行各項全為零的情況此時，勞思表將在全為零的一行處中斷，其解決辦法是將不為零的最后一行的各項組成一個“輔助方程式”，將該方程式-對s求導數，用求得的各項系數代替原來為零的各項，然后按 勞思計算表的寫法繼續寫完以后各項，對稱根可由輔助方程求得。例1：已知系統特征方程為s5 2s43s36822s 10判別系統是否穩定，若不穩定，求不穩定根的數目 解：根據特征方程可知，其各項系數均為正。列寫勞思計算表并計算得:S5S4 s1633當£ -0時，2故第一列有兩次變號，

5、系統特征方程有兩個正根，系統不穩定 例2:已知控制系統的特征方程為s62s58s412s320s216s 160試判定系統的穩定性。解：根據系統的特征方程可知，其各項系數均為正。s6182016s5(21216)s5168列寫勞思計算表并計算得：s4(21216)s4168s300-因s3行各項全為零，故以s4行的各項作系數，列寫輔助方程如下.Ass46s2 8將A(s)對s求導，得：As As4s312sds再將上式的系數代替s3行的各項系數，繼續寫出以下勞思計算表：182016168168(4 12)133813 8從勞思表的第一列可以看出，各項均無符號變化，故特征方程無正根。但是因s3行

6、出現全為零的情況，故必有共鈍虛根存在。共鈍虛根可通過輔助方程求得 s4 6s2 8 0其共鈍虛根為 玩2v2j ； s3，42j ,這四個根同時也是原方程的根，他們位于虛軸上，因此該控制系統處于臨界狀態，系統不穩二、根軌跡法(復域)系統穩定的充要條件：所有的閉環極點都在 S平面的左半平面。例:已知系統的開環傳遞函數為G(? =?+1)(0.5?+1),試應用根軌跡法分析系統的穩定性。-解：G(? =2?+1)(?+0?+1)(?+2)(K *=2k)做根軌跡:(a) 有三條根軌跡(n=3 m=0 n-m=3)(b) 實軸上(0,-1 ) (-2, - s)為根軌跡段(c) 漸近線的夾角與坐標：

7、(2?+1)?。8(-1 )+(-2)?=-19?-= ± 60 180 7,?= "3(d) 分離點坐標d:11, 1 _ c?+ 1 + ?仔 2 + ?= 0解得 d 1= -0.423d2= -1.58(舍去)因為d2不在根軌跡上(e)與虛軸的交點坐標:D(?= ?+ 3?+ 2?+ ?令S=jw代入到式中得:D( ?= (?)+ 3(?)+ 2(?+ ?解得：-?32+2?=0-3? 2 + ? = 0? = 0, ? = 士 1.414? = 士 1.414?= 6,?= 3根軌跡圖如下所示:Edirtor - C:MATUkBAiworltUnhtledl.r

8、nT事前 Cfll Tpols Debug DeLt；File Edrt1 -hujl= 0 0 0 12 -den«tl 3 2 ft.3 - rUeuf (nu»iP deb)4-三、頻率特性1、 奈氏判據(奈奎斯特判據)Z=P-2N 系統穩定時Z=0由開環傳遞函數在S平面的極點個數 巳 奈氏曲線繞(-1, j0)的圈數N,得到閉環傳遞函數在S平面的極點的個數ZP通過G(S)可知N :順時針為負，逆時針為正當V?0時，需要做增補線 W:0-0+從幅相曲線W= 0+位置開始沿逆時針方向畫 VX90的圓弧增補線(理論半徑為s)計算圈數時要包括所畫圓弧的增補線在內。例：某單位負反饋系統的開環傳遞函數為 G(?二 :一?(?+1試用奈氏判據判別閉環穩定性。解：W 0+00幅值趨于0,相角趨于-270，N=-1, P=0, Z=P-2N=2故閉環系統不穩定。-2、 對數頻率判定系統穩定性,？N =?+-?= 一2在截止頻率之前，在對數幅頻曲線 L(W)>0.對應的頻率范圍對應的相角是否穿越-180在V?0時，也需要做增補線，從對數相頻特性曲線上 W= 0+處開 始，用虛線向上補90角(補到0°或180 )例：已知