1、第四章：柱面、錐面、 旋轉曲面與二次曲面 定義定義 平行于定方向且與一條定曲線相交的平行于定方向且與一條定曲線相交的一族平行直線所生成的曲面稱為一族平行直線所生成的曲面稱為柱面柱面. .這條定曲線叫這條定曲線叫柱面的柱面的準線準線，平行直線中的平行直線中的每一條直線都每一條直線都叫柱面的叫柱面的母線母線.一、柱面的定義一、柱面的定義 母線母線準準線線柱面及其方程柱面及其方程曲面方程的定義：曲面方程的定義：二、柱面方程的推導二、柱面方程的推導二、柱面方程的推導二、柱面方程的推導設柱面的準線方程為：設柱面的準線方程為：母線的方向數為：母線的方向數為： 0,0,21zyxFzyxFZYX,),(00

2、00zyxM),(zyxM若若 為準線上的任意一點，為準線上的任意一點，),(1111zyxM 0,0,11121111zyxFzyxF（1 1）則過的母線方程為：則過的母線方程為：ZzzYyyXxx111 （2 2） 0,0,11121111zyxFzyxF（1 1）通過以上的幾個方程消去通過以上的幾個方程消去0),( zyxF111,zyx2221212121212121 zyxzyx設設 為為準線準線上的任意一點，上的任意一點，),(1111zyxM解：解：例例1 1 設柱面的準線方程為設柱面的準線方程為母線的方向數為母線的方向數為1,0,1 求此柱面的方程。求此柱面的方程。 22212

3、22222zyxzyx過過 的的母線母線為為),(1111zyxMtzzyyxx 101111所求柱面的方程為：1)(22 yzx 例例2、已知圓柱面的軸為、已知圓柱面的軸為 ，點點(1,-2,1) 在此圓柱面上，求此圓柱面的方程在此圓柱面上，求此圓柱面的方程21211 zyx從柱面方程看從柱面方程看柱面的特征柱面的特征： 只只含含yx,而而缺缺 z的的方方程程0),( yxF，在在空空間間直直角角坐坐標標系系中中表表示示母母線線平平行行于于 z軸軸的的柱柱面面，其其準準線線為為xoy面面上上曲曲線線 C:0),( yxF. （其他類推）（其他類推）實實 例例12222 czby橢圓柱面，橢圓

4、柱面，x12222 byax雙曲柱面雙曲柱面 ，zpzx22 拋物柱面，拋物柱面，y母線母線/ 軸軸母線母線/ 軸軸母線母線/ 軸軸1. 橢圓柱面橢圓柱面12222 byaxxyzO2. 雙曲柱面雙曲柱面12222 byaxxozy空間曲線的射影柱面如果我們從上式中依次消去一個元，可得如果我們從上式中依次消去一個元，可得 123( , )0,( , )0,( , )0,F x yF x zF y z 4.2 4.2 錐面錐面 定義定義4.2.14.2.1 通過一定點且與定曲線相交的一通過一定點且與定曲線相交的一族直線所產生的曲面叫做族直線所產生的曲面叫做錐面錐面. .這些直線都叫做錐面的這些直

5、線都叫做錐面的母線母線. .那個定點叫做錐面的那個定點叫做錐面的頂點頂點. .錐面的方程是一個三元方程錐面的方程是一個三元方程. .特別當頂點在坐標原點時：特別當頂點在坐標原點時：準線準線頂點頂點x0z y錐面及其方程錐面及其方程定義定義：在空間中，通過一個定點且與定曲線相交的一族：在空間中，通過一個定點且與定曲線相交的一族直線所產生的曲面叫做直線所產生的曲面叫做錐面錐面定點叫做錐面的定點叫做錐面的頂點頂點，定曲線叫錐面的，定曲線叫錐面的準線準線設錐面的準線：設錐面的準線：F1(x,y,z)=0F2(x,y,z)=0頂點為頂點為A(x0,y0,z0)如果如果M1(x1,y1,z1)為準線上的任

6、意點則錐面過為準線上的任意點則錐面過M1的母線是的母線是010010010zzzzyyyyxxxxF1(x1,y1,z1)=0F2(x1,y1,z1)=0且且消去消去x1,y1,z1得到三元一次方程得到三元一次方程 F(x,y,z)=0為滿足條件的錐面方程為滿足條件的錐面方程例例1、錐面的頂點在原點，且準線為：、錐面的頂點在原點，且準線為：求錐面的方程。求錐面的方程。 czbyax12222例例2、已知圓錐面的頂點為、已知圓錐面的頂點為(1,2,3)，軸垂直于平面，軸垂直于平面2x+2y-z+1=0，母，母線與軸組成線與軸組成300角，試求這圓錐面的方程角，試求這圓錐面的方程 n次齊次方程次齊

7、次方程 F(x,y,z)= 0 的圖形是以原點為頂點的錐面的圖形是以原點為頂點的錐面；方程方程 F(x,y,z)= 0是是 n次齊次方程次齊次方程： ).,(),( zyxFttztytxFn 若若準線準線頂點頂點F(x,y,z)= 0. 反之，以原反之，以原點為頂點的錐面點為頂點的錐面的方程是的方程是n次齊次次齊次方程方程x0z y 錐面的準線不錐面的準線不唯一，和一切母線唯一，和一切母線都相交的每一條曲都相交的每一條曲線都可以作為它的線都可以作為它的母線母線. 定義定義4.3.1 以一條曲線繞其一條定直線旋以一條曲線繞其一條定直線旋轉一周所產生的曲面稱為轉一周所產生的曲面稱為旋轉曲面旋轉曲

8、面或稱或稱回旋回旋曲面曲面. .這條定直線叫旋轉曲面的這條定直線叫旋轉曲面的旋轉軸旋轉軸4.3 4.3 旋轉曲面旋轉曲面這條曲線叫旋轉曲面的這條曲線叫旋轉曲面的母線母線在空間直角坐標系下，在空間直角坐標系下，旋轉曲面的母線為：旋轉曲面的母線為：F1(x,y,z)=0F2(x,y,z)=0旋轉軸為直線旋轉軸為直線：ZzzYyyXxx000其中：其中：p0(x0,y0,z0)為軸上的一個定點為軸上的一個定點,X，Y，Z為旋轉軸的方向數為旋轉軸的方向數設設M1(x1,y1,z1)是母線上的任意一點，是母線上的任意一點，求出緯圓的方程求出緯圓的方程M1P0OXYZ緯圓的方程緯圓的方程可以看成下面的兩可

9、以看成下面的兩個曲面的交。個曲面的交。1、過點過點M0且與軸垂直的平面且與軸垂直的平面2、以、以p0點為中心，的點為中心，的p0M1長度為半徑的球長度為半徑的球M1P0OXYZ又由于又由于M1在母線上故其應滿足母線的方程在母線上故其應滿足母線的方程聯立這四個方程并消去參數聯立這四個方程并消去參數 x1,y1,z1得到一個三元方程，得到一個三元方程，即為旋轉曲面的方程即為旋轉曲面的方程:F(x,y,z)=0曲線曲線 C 00),(xzyfCy zo繞繞 z軸軸4.3 4.3 旋轉曲面旋轉曲面曲線曲線 C 00),(xzyfxCy zo繞繞z軸軸.4.3 4.3 旋轉曲面旋轉曲面曲線曲線 C 00

10、),(xzyf旋轉一周得旋轉一周得旋轉曲面旋轉曲面 SCSMN), 0(11zy zz 1zPMPy |11y1zy zo繞繞 z軸軸.22yx f (y1, z1)=0M(x,y,z).x S4.3 4.3 旋轉曲面旋轉曲面曲線曲線 C 00),(xzyf旋轉一周得旋轉一周得旋轉曲面旋轉曲面 SxCSMN), 0(11zyzz 1zPMPy |11y1z0),( 22 zyxfS：.繞繞 z軸軸.22yx f (y1, z1)=0M(x,y,z)f (y1, z1)=0f (y1, z1)=0.y zo S4.3 4.3 旋轉曲面旋轉曲面xozy0),( zyf), 0(111zyM M),

11、(zyxM設設1)1(zz （2）點）點M到到z軸的距離軸的距離|122yyxd 建立旋轉曲面的方程：建立旋轉曲面的方程：如圖如圖將將 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyfd , 0,22 zyxf得方程得方程 , 0,22 zyxf方程方程同同理理：yoz坐坐標標面面上上的的已已知知曲曲線線0),( zyf繞繞y軸軸旋旋轉轉一一周周的的旋旋轉轉曲曲面面方方程程為為 . 0,22 zxyf例例1 1 將下列各曲線繞對應的軸旋轉一周，求將下列各曲線繞對應的軸旋轉一周，求生成的旋轉曲面的方程生成的旋轉曲面的方程（1）xOz 面上雙曲線面上雙曲線12222 czax分別繞分別繞 x軸和

12、軸和 z軸；軸； 繞繞x軸軸旋旋轉轉122222 czyax旋轉雙葉雙曲面旋轉雙葉雙曲面yzoxyzox繞繞z軸軸旋旋轉轉122222 czayx（1）xOz 面上雙曲線面上雙曲線12222 czax分別繞分別繞 x軸和軸和 z軸；軸； xyoz xyoz旋轉單葉雙曲面旋轉單葉雙曲面（2）yOz 面面上上橢橢圓圓12222 czay 繞繞 y軸軸和和 z軸軸； 繞繞y軸軸旋旋轉轉繞繞z軸軸旋旋轉轉122222 czxay122222 czayx旋轉橢球面旋轉橢球面xyzxyz（3）yOz 面上拋物線面上拋物線pzy22 繞繞 z軸；軸； pzyx222 旋轉拋物面旋轉拋物面xyzoxyzo0

13、p幾種 特殊旋轉曲面o 1 雙葉旋轉曲面o 2 單葉旋轉曲面o 3 旋轉錐面o 4 旋轉拋物面o 5 環面x zbyax 雙曲線雙曲線0y1 1 繞繞 x 軸一周軸一周x zbyax 雙曲線雙曲線0zy繞繞 x 軸一周軸一周1 1 x0zy 得得雙雙葉葉旋旋轉轉雙雙曲曲面面122222 bzyax. zbyax 雙曲線雙曲線1 1 .繞繞 x 軸一周軸一周axyo2 2 上題雙曲線上題雙曲線繞繞 y 軸一周軸一周 012222 zbyax axyoz上題雙曲線上題雙曲線繞繞 y 軸一周軸一周 012222 zbyax 2 2 a.xyoz 得得單單葉葉旋旋轉轉雙雙曲曲面面122222 byaz

14、x.2 2 上題雙曲線上題雙曲線繞繞 y 軸一周軸一周 012222 zbyax 0 0 2222 =z=byax3 3 旋轉錐面旋轉錐面兩條相交直線兩條相交直線繞繞 x 軸一周軸一周x yo 0 0 2222 =z=byax.兩條相交直線兩條相交直線繞繞 x 軸一周軸一周x yoz3 3 旋轉錐面旋轉錐面x yoz 0 0 2222 =z=byax.兩條相交直線兩條相交直線繞繞 x 軸一周軸一周得旋轉錐面得旋轉錐面022222 bzyax.3 3 旋轉錐面旋轉錐面yoz 02 xazy4 4 拋物線拋物線繞繞 z 軸一周軸一周yoxz 02 xazy拋物線拋物線繞繞 z 軸一周軸一周4 4

15、yayxz22 .oxz生活中見過這個曲面嗎？生活中見過這個曲面嗎？.4 4 02 xazy拋物線拋物線繞繞 z 軸一周軸一周得旋轉拋物面得旋轉拋物面例例.5 5yxorR)0()222 rRryRx（ 圓圓繞繞 y軸軸 旋轉所成曲面旋轉所成曲面5 5z繞繞 y軸軸 旋轉所成曲面旋轉所成曲面yxo.)0()222 rRryRx（ 圓圓5 5z繞繞 y軸軸 旋轉所成曲面旋轉所成曲面22222)(ryRzx 環面方程環面方程.生活中見過這個曲面嗎？生活中見過這個曲面嗎？yxo)(4)( 222222222zxRrRzyx 或或.)0()222 rRryRx（ 圓圓.5 5 二次曲面的定義：二次曲面

16、的定義：三元二次方程所表示的曲面稱之為三元二次方程所表示的曲面稱之為二次曲面二次曲面相應地平面被稱為相應地平面被稱為一次曲面一次曲面討論二次曲面形狀的討論二次曲面形狀的截痕法截痕法： 用坐標面和平行于坐標面的平面與曲面相用坐標面和平行于坐標面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌以綜合，從而了解曲面的全貌以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面二次曲面二次曲面1 222222 czbyax橢球面橢球面定義定義 在空間直角坐標系中，在空間直角坐標系中， 方程方程 表示的曲面稱為表示的曲面稱為

17、橢球面橢球面或或橢圓面橢圓面, 其中其中, ,a b c為任意的正常數為任意的正常數 abc當當時，方程表示的曲面是時，方程表示的曲面是球面球面., ,a b c中有兩個相等時，方程表示中有兩個相等時，方程表示旋轉橢球面旋轉橢球面.當當, ,a b c都不相等時，方程表示的曲面是都不相等時，方程表示的曲面是橢球面橢球面當當1 222222 czbyax橢球面橢球面1 對稱性對稱性橢球面關于坐標原點對稱橢球面關于坐標原點對稱 橢球面關于坐標面對稱橢球面關于坐標面對稱 橢球面關于坐標軸對稱橢球面關于坐標軸對稱 對稱中心對稱中心 對稱平面對稱平面 對稱軸對稱軸2 2 范圍范圍,xa yb zc它在六

18、個平面它在六個平面,xa yb zc 圍成的長方體中圍成的長方體中橢球面橢球面有界有界的的 1 222222 czbyax橢球面橢球面3 與坐標軸的交點與坐標軸的交點橢球面與其對稱軸的交點稱為曲面的頂點橢球面與其對稱軸的交點稱為曲面的頂點 (,0,0),(0,0)(0,0,)abc4 與坐標面的交線與坐標面的交線01 222222 xczbyax01 2222 xczby交線是橢圓交線是橢圓 01 2222 yczax01 2222 zbyax主截線主截線（或主橢（或主橢圓圓） 1 222222 czbyax橢球面橢球面用平面用平面zh截曲面得到的交線的方程是截曲面得到的交線的方程是 hzch

19、byax2222221當當zc時，交線是時，交線是橢圓橢圓，這個橢圓的半軸分別是，這個橢圓的半軸分別是22( 1)hac22( 1)hbc它的兩軸端點分別是它的兩軸端點分別是 22( 1),0, )hahc22(0,( 1), )hbhc01 2222 xczby01 2222 yczax兩軸端點分別在兩個主橢圓上兩軸端點分別在兩個主橢圓上(0,0, )c(0,0,)czc當當時，時，交線為一點交線為一點 hzchbyax2222221當當時，時，無圖形無圖形zc 橢球面可以看成是由一個橢圓的變動橢球面可以看成是由一個橢圓的變動（大小位置都改變）而產生的，（大小位置都改變）而產生的，面面平行平

20、行，且兩軸的端點分別在兩個，且兩軸的端點分別在兩個頂橢圓頂橢圓上上xoy這個橢圓在變動中保持所在平面與這個橢圓在變動中保持所在平面與abcyx zo橢球面的幾種特殊情況：橢球面的幾種特殊情況：,)1(ba 1222222 czayax旋轉橢球面旋轉橢球面 012222yczax由橢圓由橢圓 繞繞 軸旋轉而成軸旋轉而成z旋轉橢球面旋轉橢球面與與橢球面橢球面的的區別區別：122222 czayx方程可寫為方程可寫為與平面與平面 的交線為圓的交線為圓.1zz )| (1cz ,)2(cba 1222222 azayax球面球面.2222azyx .)(12122222 zzzccayx截面上圓的方程截面上圓的方程方程可寫為方程可寫為 拋物面拋物面橢圓拋物面橢圓拋物面分析得到：分析得到：1、橢圓拋物面對稱于、橢圓拋物面對稱于xoz與與yoz坐標面，也對稱于坐標面，也對稱于z軸，其沒有軸，