1、第十二章 立體幾何12.1空間幾何體的表面積和體積高考數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué) (江蘇省專用)五年高考A A組組 自主命題自主命題江蘇卷江蘇卷題組題組1.(2019江蘇,9,5分)如圖,長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積是120,E為CC1的中點(diǎn),則三棱錐E-BCD的體積是.答案答案10解析解析本題考查長(zhǎng)方體、三棱錐的體積公式,考查學(xué)生的空間想象能力、運(yùn)算求解能力,考查的核心素養(yǎng)是直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算.因?yàn)殚L(zhǎng)方體的體積是120,所以2SBCDCC1=120,則SBCDCC1=60.所以VE-BCD=SBCDEC=SBCDCC1=60=10.13131216評(píng)析評(píng)析本題通過長(zhǎng)方體考查體積之間的關(guān)系,通過體

2、積公式,找出底面面積與高的關(guān)系,不需要求出具體的底面面積和高是多少.2.(2018江蘇,10,5分)如圖所示,正方體的棱長(zhǎng)為2,以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為.答案答案43解析解析本題考查組合體體積的計(jì)算.多面體由兩個(gè)完全相同的正四棱錐組合而成,其中正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為,高為1,其體積為()21=,多面體的體積為.21322343名師點(diǎn)睛名師點(diǎn)睛解題的關(guān)鍵要認(rèn)清空間中的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系,要重點(diǎn)掌握直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行和垂直的關(guān)系.對(duì)于一些常見的幾何體,如棱長(zhǎng)為a的正方體或正四面體,要會(huì)求相關(guān)線段的長(zhǎng)度、有關(guān)面積與體積,掌握好特殊幾何體,能更好地提升空間想象能力.

3、3.(2017江蘇,6,5分)如圖,在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1,球O的體積為V2,則的值是.12VV答案答案32解析解析設(shè)圓柱內(nèi)切球的半徑為R,則由題設(shè)可得圓柱O1O2的底面圓的半徑為R,高為2R,=.12VV23243RRR32名師點(diǎn)睛名師點(diǎn)睛空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略:(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體,則可直接利用公式進(jìn)行求解.(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出,則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解.4.(2015江蘇,9,5分)現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5、高為4的圓

4、錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個(gè).若將它們重新制作成總體積與高均保持不變,但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個(gè),則新的底面半徑為.答案答案7解析解析原兩個(gè)幾何體的總體積V=524+228=.由題意知新圓錐的高為4,新圓柱的高為8,且它們的底面半徑相同,可設(shè)兩幾何體的底面半徑均為r(r0),則r24+r28=,解得r2=7,從而r=.1319631319637B B組統(tǒng)一命題、省組統(tǒng)一命題、省( (區(qū)、市區(qū)、市) )卷題組卷題組考點(diǎn)一空間幾何體的表面積考點(diǎn)一空間幾何體的表面積1.(2018課標(biāo)全國(guó)理,16,5分)已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母線SA,SB所成角的余弦值為,SA與圓錐底面所成角為45.

5、若SAB的面積為5,則該圓錐的側(cè)面積為.7815答案答案402解析解析本題考查了圓錐的性質(zhì)和側(cè)面積的計(jì)算,考查了異面直線所成的角和線面角.因?yàn)槟妇€SA與圓錐底面所成的角為45,所以圓錐的軸截面為等腰直角三角形.設(shè)底面圓的半徑為r,則母線長(zhǎng)l=r.在SAB中,cosASB=,所以sinASB=.因?yàn)镾AB的面積為5,即SASBsinASB=rr=5,所以r2=40,故圓錐的側(cè)面積為rl=r2=40.278158151212221581522疑難突破疑難突破利用底面半徑與母線的關(guān)系,以及SAB的面積值求出底面半徑是解題的突破口.2.(2018課標(biāo)全國(guó)文改編,5,5分)已知圓柱的上、下底面的中心分別

6、為O1,O2,過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形,則該圓柱的表面積為.答案答案12解析解析本題主要考查圓柱的表面積及圓柱的軸截面.設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為h,由題意可知2r=h=2,圓柱的表面積S=2r2+2rh=4+8=12.2解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵正確理解圓柱的軸截面及熟記圓柱的表面積公式是解決本題的關(guān)鍵.3.(2018課標(biāo)全國(guó)理改編,12,5分)已知正方體的棱長(zhǎng)為1,每條棱所在直線與平面所成的角都相等,則截此正方體所得截面面積的最大值為.答案答案3 34解析解析本題主要考查空間直線與平面的位置關(guān)系及其所成角問題.由正方體的性質(zhì)及題意可得,正方體共頂點(diǎn)的三條棱所在直線與平

7、面所成的角均相等.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,易知棱AB,AD,AA1所在直線與平面A1BD所成的角均相等,所以平面A1BD,當(dāng)平面趨近點(diǎn)A時(shí),截面圖形的面積趨近于0;當(dāng)平面經(jīng)過正方體的中心O時(shí),截面圖形為正六邊形,其邊長(zhǎng)為,截面圖形的面積為6=;當(dāng)平面趨近于C1時(shí),截面圖形的面積趨近于0,所以截面圖形面積的最大值為.22342223 343 34解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵利用正方體的性質(zhì),將每條棱所在直線與平面所成角轉(zhuǎn)化為共頂點(diǎn)的三條棱所在直線與平面所成角是解決本題的關(guān)鍵.4.(2017課標(biāo)全國(guó)文,15,5分)長(zhǎng)方體的長(zhǎng),寬,高分別為3,2,1,其頂點(diǎn)都在球O的球面上,則球O的表面積為.

8、答案答案14解析解析本題考查長(zhǎng)方體和球的性質(zhì),考查了球的表面積公式.由題意知長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為球O的直徑,設(shè)球O的半徑為R,則(2R)2=32+22+12=14,得R2=,所以球O的表面積為4R2=14.72疑難突破疑難突破明確長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為球的直徑是求解的關(guān)鍵.易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示易因用錯(cuò)球的表面積公式而致錯(cuò).5.(2017課標(biāo)全國(guó)文,16,5分)已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,SC是球O的直徑.若平面SCA平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱錐S-ABC的體積為9,則球O的表面積為.答案答案36解析解析由題意作出圖形,如圖.設(shè)球O的半徑為R,由題意知SBBC,SAAC,

9、又SB=BC,SA=AC,則SB=BC=SA=AC=R.連接OA,OB,則OASC,OBSC,因?yàn)槠矫鍿CA平面SCB,平面SCA平面SCB=SC,所以O(shè)A平面SCB,所以O(shè)AOB,則AB=R,所以ABC是邊長(zhǎng)為R的等邊三角形,設(shè)ABC的中心為O1,連接OO1,CO1.則OO1平面ABC,CO1=R=R,則OO1=R,則VS-ABC=2VO-ABC=2(R)2R=R3=9,22223322632263RR33133423313所以R=3.所以球O的表面積S=4R2=36.6.(2017課標(biāo)全國(guó)文,18,12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,ABCD,且BAP=CDP=90.(1)證明:平面PA

10、B平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,APD=90,且四棱錐P-ABCD的體積為,求該四棱錐的側(cè)面積.83解析解析本題考查立體幾何中面面垂直的證明和幾何體側(cè)面積的計(jì)算.(1)證明:由已知BAP=CDP=90,得ABAP,CDPD.由于ABCD,故ABPD,從而AB平面PAD.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.(2)在平面PAD內(nèi)作PEAD,垂足為E.由(1)知,AB平面PAD,故ABPE,可得PE平面ABCD.設(shè)AB=x,則由已知可得AD=x,PE=x.故四棱錐P-ABCD的體積VP-ABCD=ABADPE=x3.由題設(shè)得x3=,故x=2.從而PA=PD=2,AD=BC=2,

11、PB=PC=2.可得四棱錐P-ABCD的側(cè)面積為PAPD+PAAB+PDDC+BC2sin60=6+2.2221313138322121212123方法總結(jié)方法總結(jié)1.面面垂直的證明證明兩個(gè)平面互相垂直,可以在一個(gè)平面內(nèi)找一條直線l,證明直線l垂直于另一個(gè)平面.2.線面垂直的證明(1)證明直線l垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線.(2)若已知兩個(gè)平面垂直,則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面.3.幾何體的體積柱體的體積V=S底h.錐體的體積V=S底h.134.幾何體的表面積直棱柱的側(cè)面積S側(cè)=C底l,其他幾何體一般要對(duì)各個(gè)側(cè)面、底面逐個(gè)分析求解面積,最后求和.考點(diǎn)二空間幾何體的體積考點(diǎn)二空間

12、幾何體的體積1.(2019課標(biāo)全國(guó)理改編,12,5分)已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上,PA=PB=PC,ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點(diǎn),CEF=90,則球O的體積為.答案答案6解析解析本題考查線面垂直的位置關(guān)系、三棱錐的性質(zhì)和球的體積公式,考查空間想象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,考查的核心素養(yǎng)是直觀想象和數(shù)學(xué)建模.解法一:E、F分別是PA、AB的中點(diǎn),EFPB.CEF=90,EFEC,PBEC,又三棱錐P-ABC為正三棱錐,PBAC,從而PB平面PAC,三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩垂直.ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,PA=PB=PC=,則球O是棱長(zhǎng)為的正方體的外接

13、球,設(shè)球O的半徑為R,則2R=,R=,球O的體積V=R3=.223262436解法二:令PA=PB=PC=2x(x0),則EF=x,連接FC,由題意可得FC=.在PAC中,cosAPC=.在PEC中,EC2=PC2+PE2-2PCPEcosEPC=4x2+x2-22xx=x2+2,在FEC中,CEF=90,FC2=EF2+EC2,即x2+2+x2=3,x=,PA=PB=PC=2x=.AB=BC=CA=2,三棱錐P-ABC的三個(gè)側(cè)面為等腰直角三角形,PA、PB、PC兩兩垂直,故球O是棱長(zhǎng)為的正方體的外接球,設(shè)球O的半徑為R,則2R=,R=,球O的體積V=R3=.322244424xxx22212

14、xx22212xx22223262436解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵三棱錐與球的切、接問題,關(guān)鍵是確定三棱錐的特殊性.本題中確定三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)是關(guān)鍵.通常情況下,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題后通過解三角形完成,充分利用平行、垂直的特殊位置關(guān)系更有利于解題.2.(2019課標(biāo)全國(guó)理,16,5分)學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐,利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖,該模型為長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體,其中O為長(zhǎng)方體的中心,E,F,G,H分別為所在棱的中點(diǎn),AB=BC=6cm,AA1=4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3.不考慮打印損耗,制作該模型所需原料的質(zhì)量為g.答案答案118

15、.8解析解析本題考查長(zhǎng)方體、四棱錐的體積公式;考查學(xué)生的空間想象能力和運(yùn)算能力,以及應(yīng)用意識(shí)與數(shù)形結(jié)合的思想;考查的核心素養(yǎng)是直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算.依題意,知該模型是長(zhǎng)方體中挖去一個(gè)四棱錐,故其體積V=V長(zhǎng)方體-V四棱錐=664-463=132(cm3).又制作該模型所需的原料密度為0.9g/cm3,故制作該模型所需原料的質(zhì)量為0.9132=118.8(g).1312易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示計(jì)算被挖去的四棱錐底面面積時(shí),容易誤認(rèn)為四邊形HEFG為正方形,由勾股定理求得HE=,錯(cuò)認(rèn)為底面面積為13.2223133.(2019天津理,11,5分)已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形,側(cè)棱長(zhǎng)均為.若圓柱的一個(gè)底面

16、的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn),另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心,則該圓柱的體積為.25答案答案4解析解析本題考查了圓柱、正四棱錐的性質(zhì),通過計(jì)算圓柱的底面半徑、高、體積考查學(xué)生的空間想象能力和轉(zhuǎn)化思想方法的應(yīng)用,體現(xiàn)了直觀想象的核心素養(yǎng).如圖所示,圓柱的高O1O=PO=1,圓柱的底面半徑r=AO=.所以圓柱的體積V=r2O1O=1=.121222PAAO125 112121444.(2019課標(biāo)全國(guó)文,16,5分)已知ACB=90,P為平面ABC外一點(diǎn),PC=2,點(diǎn)P到ACB兩邊AC,BC的距離均為,那么P到平面ABC的距離為.3答案答案2解析解析本題主要考查直線與平面垂直的判定與性質(zhì),點(diǎn)

17、到平面距離的計(jì)算等知識(shí)點(diǎn);考查了考生的空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力;考查的核心素養(yǎng)為直觀想象.設(shè)PO平面ABC于O,PEAC于E,PFBC于F,連接OE、OF、OC,PO平面ABC,POAC,又POPE=P,AC平面POE,ACOE,同理有BCOF,四邊形OECF為矩形,PC=PC且PE=PF,RtPEC RtPFC,EC=FC=1,四邊形OECF是邊長(zhǎng)為1的正方形,OC=,在RtPOC中,PO=.22PCPE222PCOC2思路分析思路分析設(shè)PO平面ABC,作PEAC,PFBC,根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)判定四邊形OECF為矩形,根據(jù)RtPEC RtPFC,得出EC=FC,進(jìn)而判斷

18、出四邊形OECF是正方形,從而得出OC的長(zhǎng),進(jìn)一步在RtPOC中求出PO的長(zhǎng),即點(diǎn)P到平面ABC的距離.5.(2018課標(biāo)全國(guó)文改編,10,5分)在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1與平面BB1C1C所成的角為30,則該長(zhǎng)方體的體積為.答案答案82解析解析本題主要考查長(zhǎng)方體的體積及直線與平面所成的角.如圖,由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可得AB平面BCC1B1,BC1為直線AC1在平面BCC1B1內(nèi)的射影,AC1B為直線AC1與平面BCC1B1所成的角,即AC1B=30,在RtABC1中,AB=2,AC1B=30,BC1=2,在RtBCC1中,CC1=2,該長(zhǎng)方體的體積V=222=8.

19、3221BCBC22(2 3)2222易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示不能準(zhǔn)確理解線面角的定義,無法找出直線與平面所成的角,從而導(dǎo)致失分.方法總結(jié)方法總結(jié)用定義法求線面角的步驟:(1)找出斜線上的某一點(diǎn)在平面內(nèi)的射影;(2)連接該射影與直線和平面的交點(diǎn)即可得出線面角;(3)構(gòu)建直角三角形,求解得出結(jié)論.6.(2018課標(biāo)全國(guó)理改編,10,5分)設(shè)A,B,C,D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn),ABC為等邊三角形且其面積為9,則三棱錐D-ABC體積的最大值為.3答案答案183解析解析本題考查空間幾何體的體積.設(shè)ABC的邊長(zhǎng)為a,則SABC=aasin60=9,解得a=6(負(fù)值舍去).ABC的外接圓半徑r滿足2r

20、=,得r=2,球心到平面ABC的距離為=2.所以點(diǎn)D到平面ABC的最大距離為2+4=6,所以三棱錐D-ABC體積的最大值為96=18.1236sin603224(2 3)13337.(2018天津理,11,5分)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,除面ABCD外,該正方體其余各面的中心分別為點(diǎn)E,F,G,H,M(如圖),則四棱錐M-EFGH的體積為.答案答案112解析解析本題主要考查正方體的性質(zhì)和正四棱錐的體積.由題意知四棱錐的底面EFGH為正方形,其邊長(zhǎng)為,即底面面積為,由正方體的性質(zhì)知,四棱錐的高為.故四棱錐M-EFGH的體積V=.2212121312121128.(2018天

21、津文,11,5分)如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,則四棱錐A1-BB1D1D的體積為.答案答案13解析解析本題主要考查正方體的性質(zhì)和四棱錐的體積.四棱錐的底面BB1D1D為矩形,其面積為1=,又點(diǎn)A1到底面BB1D1D的距離,即四棱錐A1-BB1D1D的高為A1C1=,所以四棱錐A1-BB1D1D的體積為=.22122213222139.(2017課標(biāo)全國(guó)理改編,8,5分)已知圓柱的高為1,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上,則該圓柱的體積為.答案答案34解析解析本題考查球的內(nèi)接圓柱的體積.設(shè)圓柱的底面半徑為r,則r2+=12,解得r=,V圓柱=1=.2123

22、22323410.(2017課標(biāo)全國(guó)理,16,5分)如圖,圓形紙片的圓心為O,半徑為5cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D,E,F為圓O上的點(diǎn),DBC,ECA,FAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后,分別以BC,CA,AB為折痕折起DBC,ECA,FAB,使得D,E,F重合,得到三棱錐.當(dāng)ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí),所得三棱錐體積(單位:cm3)的最大值為.答案答案415解析解析由題意知折疊以后三棱錐的直觀圖如圖所示.連接CO并延長(zhǎng)交AB于H,連接DO、DH.則DO平面ABC.令OH=xcm,則OC=2xcm,DH=(5-x)cm,得OD=cm,AB=2xcm.則VD

23、-ABC=x2=x2cm3,令f(x)=x2,則f(x)=,則當(dāng)x(0,2)時(shí),f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x(2,2.5)時(shí),f(x)單調(diào)遞減,所以當(dāng)x=2時(shí),體積取最大值,為4=4cm3.22(5)xx25 10 x31312 332xx25 10 x325 10 x1552x1552x152125252xxxx215(105)52xxx3515方法總結(jié)方法總結(jié)求解立體幾何中的最值問題時(shí),注意先要引入自變量x,再根據(jù)幾何體的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系表示幾何體中的相關(guān)量,進(jìn)而建立目標(biāo)函數(shù),最后利用函數(shù)的性質(zhì)來求解最值.11.(2017天津理改編,10,5分)已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上,若這個(gè)正

24、方體的表面積為18,則這個(gè)球的體積為.答案答案92解析解析本題考查正方體的表面積及外接球的體積.設(shè)這個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為a,由題意可知6a2=18,所以a=,所以這個(gè)正方體的外接球半徑R=a=,所以這個(gè)正方體外接球的體積V=R3=.33232434333292方法總結(jié)方法總結(jié)找?guī)缀误w外接球球心的方法:1.構(gòu)造長(zhǎng)方體(或正方體),將原幾何體的外接球轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方體(或正方體)的外接球,進(jìn)而易得球心位置;2.找?guī)缀误w底面的外心O1,過O1作底面的垂線l1,再找?guī)缀误w一側(cè)面的外心O2,過O2作該側(cè)面的垂線l2,則l1與l2的交點(diǎn)即為外接球的球心.12.(2016課標(biāo)全國(guó)理,11,5分)在封閉的直三棱柱ABC

25、-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球.若ABBC,AB=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是.答案答案92解析解析易知AC=10.設(shè)底面ABC的內(nèi)切圓的半徑為r,則68=(6+8+10)r,所以r=2,因?yàn)?r=43,所以當(dāng)球與三棱柱的上、下底面相切時(shí),體積最大,所以最大球的直徑2R=3,則R=,此時(shí)球的體積V=R3=.1212324392思路分析思路分析根據(jù)題意分析出當(dāng)球與直三棱柱的上、下底面相切時(shí),球的體積最大,由此可求出最大球的半徑R,代入球的體積公式求值即可.方法歸納方法歸納解決此類題時(shí)要清楚當(dāng)球與柱體的側(cè)面或底面相切時(shí)體積最大.13.(2016浙江,14,4分)如圖,在ABC中,A

26、B=BC=2,ABC=120.若平面ABC外的點(diǎn)P和線段AC上的點(diǎn)D,滿足PD=DA,PB=BA,則四面體PBCD的體積的最大值是.答案答案12解析解析已知PD=DA,PB=BA,故PDB可看作是由ADB沿BD向上翻折而成的.當(dāng)BD與AC不垂直時(shí),無論折疊到何種位置,PD都不垂直于BD,從而PD不垂直于平面ABC,因此VP-BCD0),則斜高為x,所以()2+x2=(x)2,解得x=1,所以棱長(zhǎng)為2,表面積為S=4+422sin60=4+4.323123名師點(diǎn)睛名師點(diǎn)睛1.求表面積問題的思路是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面問題,即空間圖形平面化,這是解決立體幾何問題的出發(fā)點(diǎn).2.求不規(guī)則幾何體的表面

27、積時(shí),通常將所給幾何體分割成基本的柱、錐、臺(tái)體,先求這些柱、錐、臺(tái)體相應(yīng)面的面積,再通過求和求得幾何體的表面積.2.(2019海安中學(xué)檢測(cè),8)若圓錐的側(cè)面積與過軸的截面面積之比為2,則其母線與軸的夾角的大小為.答案答案3解析解析設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長(zhǎng)為l,則S側(cè)面積=rl,S軸截面=2r,=2,l2=r2,即l=r.設(shè)母線與軸所成的角為,則sin=,又00.所以S=rl=r=.(8分)記f(h)=+h,則f(h)=-+1=,令f(h)=0,得h=6.(10分)當(dāng)h(0,6)時(shí),f(h)0,f(h)在(6,+)上單調(diào)遞增.(12分)所以,當(dāng)h=6時(shí),f(h)最小,此時(shí)S最小.(13分)答

28、:當(dāng)容器的高為6米時(shí),制造該容器的側(cè)面用料最省.(14分)1322rh22635555133 36h108h22rh422rr h222108108hhh22108108hh1082108hh2108h3216h33216hh一、填空題(每小題5分,共35分)B B組組 20172019 20172019年高考模擬年高考模擬專題綜合題組專題綜合題組(時(shí)間：30分鐘 分值：50分)1.(2019七市第二次調(diào)研,10)設(shè)P,A,B,C為球O表面上的四個(gè)點(diǎn),PA,PB,PC兩兩垂直,且PA=2m,PB=3m,PC=4m,則球O的表面積為m2.答案答案29解析解析如圖,將三棱錐P-ABC置于長(zhǎng)方體中,

29、該長(zhǎng)方體的外接球就是經(jīng)過P,A,B,C四點(diǎn)的球,PA=2m,PB=3m,PC=4m,長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)為=m,即外接球的直徑2R=m,可得R=m,因此,球O的表面積S=4R2=4=29m2.222PAPBPC292929222922.(2019蘇州期末,9)如圖,某種螺帽是由一個(gè)半徑為2的半球體挖去一個(gè)正三棱錐構(gòu)成的幾何體,該正三棱錐的底面三角形內(nèi)接于半球底面大圓,與底面相對(duì)的頂點(diǎn)在半球面上,則被挖去的正三棱錐體積為.答案答案23解析解析底面正三角形的邊長(zhǎng)為22cos30=2,底面正三角形的面積S=22sin60=3,三棱錐的高h(yuǎn)=2,則正三棱錐的體積V=32=2.31233313333.(

30、2019如皋檢測(cè),8)如圖所示的幾何體是一個(gè)五面體,四邊形ABCD為矩形,AB=4,BC=2,且MNAB,MN=3,ADM與BCN都是正三角形,則此五面體的體積為.答案答案11 116解析解析因?yàn)锳B=4,BC=2,且MNAB,MN=3,ADM與BCN都是正三角形,所以可將五面體補(bǔ)形為直三棱柱ADE-BCF(如圖),其中NFBF,BN=2,NF=,所以BF2=CF2=22-=,取BC中點(diǎn)O,連接FO,則FO=,所以SBCF=BCFO=,故五面體的體積為VADE-BCF-2VN-BCF=4-2=.1221215422BFBO11212112112131121211 116名師點(diǎn)睛名師點(diǎn)睛不規(guī)則幾

31、何體體積的求解,關(guān)鍵是將幾何體看作是多個(gè)規(guī)則幾何體(如柱、錐、臺(tái)、球)的組合體,利用割補(bǔ)法求解,注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.4.(2019如東中學(xué)、栟茶中學(xué)期末,10)在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)剪去四個(gè)全等的等腰三角形(如圖1中陰影部分),折疊成底面邊長(zhǎng)為2的正四棱錐S-EFGH(如圖2),則正四棱錐S-EFGH的體積為.2答案答案8 23解析解析過S作SPHG于點(diǎn)P,連接EG,FH交于點(diǎn)O,連接SO,OP.如圖.根據(jù)題意,SP=(BD-2)=3,SO=2.V=S四邊形EFGHSO=42=.1221SP 2131328 235.(2019七大市三模,9)已知直角梯形ABCD中,ABCD,ABBC,AB

32、=3cm,BC=1cm,CD=2cm.將此直角梯形繞AB邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周,由此形成的幾何體的體積為cm3.答案答案73解析解析如圖,將此直角梯形繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體是由一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐構(gòu)成的.V=BC2CD+DE2AE=(cm3).1373評(píng)析評(píng)析本題考查旋轉(zhuǎn)體體積的計(jì)算,要分清楚旋轉(zhuǎn)體的組成部分,熟記體積公式,是基礎(chǔ)題.6.(2017南京、鹽城一模,10)如圖,將矩形ABCD繞邊AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓柱,AB=3,BC=2,圓柱上底面圓的圓心為O,EFG為下底面圓的一個(gè)內(nèi)接直角三角形,則三棱錐O-EFG體積的最大值是.答案答案4解析解析由題意可得三棱錐O-EFG的

33、高即為圓柱的高,為AB,當(dāng)三棱錐O-EFG體積取最大值時(shí),EFG的面積最大,易知當(dāng)EF為下底面圓的直徑,且G在EF的垂直平分線上時(shí),EFG的面積最大,(SEFG)max=42=4,三棱錐O-EFG體積的最大值Vmax=(SEFG)maxAB=43=4.121313思路分析思路分析三棱錐O-EFG的高即為圓柱的高,為AB,當(dāng)三棱錐O-EFG體積取最大值時(shí),EFG的面積最大,當(dāng)EF為下底面圓的直徑,且G在EF的垂直平分線上時(shí),EFG的面積最大,(SEFG)max=42=4,由此可求出三棱錐O-EFG體積的最大值.127.(2017揚(yáng)州期末)已知一個(gè)長(zhǎng)方體的表面積為48,12條棱的長(zhǎng)度之和為36,則

34、這個(gè)長(zhǎng)方體的體積的取值范圍是.答案答案16,20解析解析設(shè)這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c,體積為V,則由題設(shè)可得可得b+c=9-a,a(b+c)=24-bc,故bc=24-9a+a2,從而V=abc=a(24-9a+a2)=a3-9a2+24a,由b+c2,可得(9-a)24(24-9a+a2),所以1a5,而V=3a2-18a+24=3(a-2)(a-4),V在1,2),(4,5上單調(diào)遞增,在(2,4)上單調(diào)遞減,由V(2)=V(5)=20,V(4)=V(1)=16,結(jié)合函數(shù)圖象可得長(zhǎng)方體的體積的取值范圍為16,20.9,24,abcabbccabc思路分析思路分析長(zhǎng)方體的體積與表面積都與棱長(zhǎng)有關(guān),由已知可以得出棱長(zhǎng)的關(guān)