1、2.6函數與方程高考數學高考數學 (北京專用)A A組自主命題組自主命題北京卷題組北京卷題組五年高考1.(2014北京文,6,5分)已知函數f(x)=-log2x.在下列區間中,包含f(x)零點的區間是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+)6x答案答案Cf(1)=6-log21=60,f(2)=3-log22=20,f(3)=2-log230,f(4)=-log24=-20,包含f(x)零點的區間是(2,4),故選C.64322.(2015北京,14,5分)設函數f(x)=若a=1,則f(x)的最小值為;若f(x)恰有2個零點,則實數a的取值范圍是.2,1,4()(2 )

2、,1.xaxxa xa x答案答案-12,+)1,12解析解析當a=1時,f(x)=其大致圖象如圖所示:由圖可知f(x)的最小值為-1.當a0時,顯然函數f(x)無零點;當0a1時,易知f(x)在(-,1)上有一個零點,要使f(x)恰有2個零點,則當x1時,f(x)有且只有一個零點,結合圖象可知,2a1,即a,則a1,由二次函數的性質可知,當x1時,f(x)有2個零點.要使f(x)恰有2個零點,則需要f(x)在(-,1)上無零點,則2-a0,即a2.綜上可知,滿足條件的a的取值范圍是2,+).21,1,4(1)(2),1,xxxxx12121,123.(2011北京,13,5分)已知函數f(x

3、)=若關于x的方程f(x)=k有兩個不同的實根,則實數k的取值范圍是.32,2,(1) ,2.xxxx答案答案(0,1)解析解析作出函數y=f(x)的圖象如圖.故當0k1時,關于x的方程f(x)=k有兩個不同的實根.失分警示失分警示沒有注意分段函數每一段都是單調函數,導致不能準確作出函數圖象而失分;沒有想到用數形結合思想來判斷方程根的個數而失分;不注意等號是否成立,在結果中隨意加上等號而失分.評析評析本題考查分段函數的概念和圖象,考查方程根的分布和數形結合思想.解題的關鍵是準確作出分段函數的圖象,利用兩函數圖象交點的個數來判斷方程根的個數,屬于中等難度題.B B組統一命題組統一命題省省( (區

4、、市區、市) )卷題組卷題組考點一函數的零點考點一函數的零點1.(2019課標全國文,5,5分)函數f(x)=2sinx-sin2x在0,2的零點個數為()A.2B.3C.4D.5答案答案B由f(x)=2sinx-sin2x=2sinx-2sinxcosx=2sinx(1-cosx)=0得sinx=0或cosx=1,x=k,kZ,又x0,2,x=0,2,即零點有3個,故選B.解題關鍵解題關鍵遵循角度統一原則,利用二倍角的正弦公式展開計算是解決本題的關鍵.2.(2019浙江,9,4分)設a,bR,函數f(x)=若函數y=f(x)-ax-b恰有3個零點,則()A.a-1,b0B.a0C.a-1,b

5、-1,b032,0,11(1),0.32xxxaxax x答案答案C記g(x)=f(x)-ax-b,當x-1,當x0,a+1)時,g(x)0,函數g(x)單調遞減,當x(a+1,+)時,g(x)0,函數g(x)單調遞增,故g(x)有3個零點的條件為0,11,(0)0,(1)0,baagg a 所以對照選項,應選C.30,11,1(1) .6baba 3.(2015安徽,2,5分)下列函數中,既是偶函數又存在零點的是()A.y=cosxB.y=sinxC.y=lnxD.y=x2+1答案答案Ay=cosx是偶函數,且存在零點;y=sinx是奇函數;y=lnx既不是奇函數又不是偶函數;y=x2+1是

6、偶函數,但不存在零點.故選A.4.(2018課標,15,5分)函數f(x)=cos在0,的零點個數為.36x答案答案3解析解析本題考查函數與方程.令f(x)=0,得cos=0,解得x=+(kZ).當k=0時,x=;當k=1時,x=;當k=2時,x=,又x0,所以滿足要求的零點有3個.36x3k9949795.(2015湖北,13,5分)函數f(x)=2sinxsin-x2的零點個數為.2x答案答案2解析解析易知f(x)=2sinxcosx-x2=sin2x-x2,函數f(x)的零點個數可轉化為函數y1=sin2x與y2=x2圖象的交點個數,在同一坐標系中畫出y1=sin2x與y2=x2的圖象如

7、圖所示:由圖可知兩函數圖象有2個交點,則f(x)的零點個數為2.考點二函數零點的應用考點二函數零點的應用1.(2019天津文,8,5分)已知函數f(x)=若關于x的方程f(x)=-x+a(aR)恰有兩個互異的實數解,則a的取值范圍為()A.B.C.1D.12,01,1,1.xxxx145 9,4 45 9,4 45 9,4 45 9,4 4答案答案D本題以分段函數和方程的解的個數為背景,考查函數圖象的畫法及應用.畫出函數y=f(x)的圖象,如圖.方程f(x)=-x+a的解的個數,即為函數y=f(x)的圖象與直線l:y=-x+a的公共點的個數.當直線l經過點A時,有2=-1+a,a=;當直線l經

8、過點B時,有1=-1+a,a=.141414941454由圖可知,a時,函數y=f(x)的圖象與l恰有兩個交點.另外,當直線l與曲線y=,x1相切時,恰有兩個公共點,此時a0.聯立得=-x+a,即x2-ax+1=0,由=a2-41=0,得a=1(舍去負根).綜上,a1.故選D.5 9,4 41x1,1,4yxyxa 1x1414145 9,4 4易錯警示易錯警示本題入手時,容易分段研究方程2=-x+a(0 x1)與=-x+a(x1)的解,陷入相對復雜的運算過程.利用數形結合時,容易在區間的端點處出現誤判.x141x142.(2018課標全國,9,5分)已知函數f(x)=g(x)=f(x)+x+

9、a.若g(x)存在2個零點,則a的取值范圍是()A.-1,0)B.0,+)C.-1,+)D.1,+)e ,0,ln ,0,xxx x答案答案C本題主要考查函數的零點及函數的圖象.g(x)=f(x)+x+a存在2個零點等價于函數f(x)=與h(x)=-x-a的圖象存在2個交點,如圖,當x=0時,h(0)=-a,由圖可知要滿足y=f(x)與y=h(x)的圖象存在2個交點,需要-a1,即a-1.故選C.e ,0,ln ,0 xxx x方法總結方法總結已知函數零點的個數求參數范圍的方法:已知函數零點的個數求參數范圍,常利用數形結合法將其轉化為兩個函數的圖象的交點個數問題,需準確畫出兩個函數的圖象,利用

10、圖象寫出滿足條件的參數范圍.3.(2017課標全國,11,5分)已知函數f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零點,則a=()A.-B.C.D.1121312答案答案C由函數f(x)有零點得x2-2x+a(ex-1+e-x+1)=0有解,即(x-1)2-1+a(ex-1+e-x+1)=0有解,令t=x-1,則上式可化為t2-1+a(et+e-t)=0,即a=.令h(t)=,易得h(t)為偶函數,又由f(x)有唯一零點得函數h(t)的圖象與直線y=a有唯一交點,則此交點的橫坐標為0,所以a=,故選C.21eettt21eettt1 02124.(2018天津,14,5分)已知a0

11、,函數f(x)=若關于x的方程f(x)=ax恰有2個互異的實數解,則a的取值范圍是.222,0,22 ,0.xaxa xxaxa x答案答案(4,8)解析解析本題主要考查函數零點的應用.設g(x)=f(x)-ax=方程f(x)=ax恰有2個互異的實數解即函數y=g(x)有兩個零點,即y=g(x)的圖象與x軸有2個交點,滿足條件的y=g(x)的圖象有以下兩種情況:情況一:22,0,2 ,0,xaxa xxaxa x則4a8.情況二:212240,80,aaaa則不等式組無解.綜上,滿足條件的a的取值范圍是(4,8).212240,80,aaaa解題策略解題策略解決方程的根的問題時,通常轉化為函數

12、的零點問題,進而轉化為函數圖象的交點問題;解決函數圖象的交點問題時,常用數形結合的方法,以“形”助“數”,直觀簡捷.5.(2018浙江,15,6分)已知R,函數f(x)=當=2時,不等式f(x)0的解集是.若函數f(x)恰有2個零點,則的取值范圍是.24,43,.xxxxx答案答案(1,4);(1,3(4,+)解析解析本小題考查分段函數,解不等式組,函數的零點,分類討論思想和數形結合思想.當=2時,不等式f(x)0等價于或即2x4或1x2,故不等式f(x)4.兩個零點為1,4,由圖可知,此時13.綜上,的取值范圍為(1,3(4,+).2,40 xx22,430,xxx思路分析思路分析(1)f(

13、x)0,且a1)在R上單調遞減,且關于x的方程|f(x)|=2-恰有兩個不相等的實數解,則a的取值范圍是.2(43)3 ,0,log (1)1,0axaxa xxx3x答案答案1 2,3 3解析解析函數f(x)在R上單調遞減,解得a.在同一直角坐標系下作出函數y=|f(x)|與y=2-的圖象,如圖所示.方程|f(x)|=2-恰有兩個不相等的實數解等價于y=|f(x)|的圖象與y=2-的圖象恰有兩個交點,則需滿足3a2,得a,綜上可知,a.430,201,31,aaa13343x3x3x231323易錯警示易錯警示(1)f(x)在R上單調遞減,需滿足缺少條件是失分的一個原因;(2)由方程解的個數

14、求參數范圍往往利用數形結合思想,將問題轉化為兩個函數圖象交點個數的問題是解決這類問題常用的方法.430,201,31,aaa評析評析本題主要考查分段函數的單調性及函數與方程,利用數形結合思想,將方程解的個數問題轉化為求兩個函數圖象交點個數的問題,這是求解這類問題的常用方法.7.(2015湖南,14,5分)若函數f(x)=|2x-2|-b有兩個零點,則實數b的取值范圍是.答案答案(0,2)解析解析函數f(x)=|2x-2|-b有兩個零點等價于函數y=|2x-2|與y=b的圖象有兩個不同的交點.在同一坐標系中作出函數y=|2x-2|及y=b的圖象,如圖.由圖可知b(0,2).C C組教師專用題組組

15、教師專用題組考點一函數的零點考點一函數的零點1.(2015天津文,8,5分)已知函數f(x)=函數g(x)=3-f(2-x),則函數y=f(x)-g(x)的零點個數為()A.2B.3C.4D.522 |,2,(2) ,2,xxxx答案答案A由已知條件可得g(x)=3-f(2-x)=函數y=f(x)-g(x)的零點個數即為函數y=f(x)與y=g(x)圖象的交點個數,在平面直角坐標系內作出函數y=f(x)與y=g(x)的圖象如圖所示.由圖可知函數y=f(x)與y=g(x)的圖象有2個交點,所以函數y=f(x)-g(x)的零點個數為2,選A.2|2| 1,0,3,0.xxxx2.(2014湖北,9

16、,5分)已知f(x)是定義在R上的奇函數,當x0時,f(x)=x2-3x.則函數g(x)=f(x)-x+3的零點的集合為()A.1,3B.-3,-1,1,3C.2-,1,3D.-2-,1,377答案答案D當x0時,f(x)=x2-3x,令g(x)=x2-3x-x+3=0,得x1=3,x2=1.當x0,f(-x)=(-x)2-3(-x),-f(x)=x2+3x,f(x)=-x2-3x.令g(x)=-x2-3x-x+3=0,得x3=-2-,x4=-2+0(舍),函數g(x)=f(x)-x+3的零點的集合是-2-,1,3,故選D.777評析評析本題考查奇函數的性質、一元二次方程的根等知識,忽略x的范

17、圍會導致出錯.3.(2015安徽,14,5分)在平面直角坐標系xOy中,若直線y=2a與函數y=|x-a|-1的圖象只有一個交點,則a的值為.答案答案-12解析解析若直線y=2a與函數y=|x-a|-1的圖象只有一個交點,則方程2a=|x-a|-1只有一解,即方程|x-a|=2a+1只有一解,故2a+1=0,所以a=-.124.(2014福建,15,4分)函數f(x)=的零點個數是.22,0,26ln ,0 xxxx x答案答案2解析解析當x0時,由x2-2=0得x=-;當x0時,f(x)=2x-6+lnx在(0,+)上為增函數,且f(2)=ln2-20,所以f(x)在(0,+)上有且只有一個

18、零點.綜上可知,f(x)的零點個數為2.2考點二函數零點的應用考點二函數零點的應用1.(2014山東,8,5分)已知函數f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有兩個不相等的實根,則實數k的取值范圍是()A.B.C.(1,2)D.(2,+)10,21,12答案答案Bf(x)=如圖,作出y=f(x)的圖象,其中A(2,1),則kOA=.要使方程f(x)=g(x)有兩個不相等的實根,則函數f(x)與g(x)的圖象有兩個不同的交點,由圖可知,k0.當a2時,在y軸右側,兩函數圖象只有一個公共點,此時在y軸左側,射線y=-ax(x0)與拋物線y=-x2-5x-4(-4x-1)

19、需相切.由消去y,得x2+(5-a)x+4=0.由=(5-a)2-16=0,解得a=1或a=9.a=1與a2矛盾,a=9時,切點的橫坐標為2,不符合.故0a2,此時,在y軸右側,兩函數圖象有兩個公共點,若滿足條件,則-a1.故1a2.254,yxxyax 3.(2015江蘇,13,5分)已知函數f(x)=|lnx|,g(x)=則方程|f(x)+g(x)|=1實根的個數為.20,01,|4| 2,1,xxx答案答案4解析解析由|f(x)+g(x)|=1可得f(x)+g(x)=1,即g(x)=-f(x)1,則原問題等價于函數y=g(x)與y=-f(x)+1或y=g(x)與y=-f(x)-1的圖象的

20、交點個數問題,在同一坐標系中作出y=g(x),y=-f(x)+1及y=-f(x)-1的圖象,如下:由圖可知,函數y=g(x)的圖象與函數y=-f(x)+1的圖象有2個交點,與函數y=-f(x)-1的圖象有2個交點,則方程|f(x)+g(x)|=1實根的個數為4.三年模擬A A組組 20172019 20172019年高考模擬年高考模擬考點基礎題組考點基礎題組考點一函數的零點考點一函數的零點1.(2017北京西城一模,4)函數f(x)=2x+log2|x|的零點個數為()A.0B.1C.2D.3答案答案C要求函數f(x)的零點個數,即求2x+log2|x|=0的根的個數,即求2x=lo|x|的根

21、的個數,即求函數y=2x與y=lo|x|的圖象的交點個數,如圖所示:結合圖象可知,函數f(x)有兩個零點.12g12g2.(2019北京海淀期末,6)已知函數f(x)=lnx+,則“a0”是“函數f(x)在區間(1,+)上存在零點”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件ax答案答案C由f(x)=lnx+=0得lnx=-,設函數y=lnx,y=-,當a0,函數y=lnx在(1,+)上的圖象在第一象限,y=-的圖象在第四象限,無交點.所以,只有當a0時,才有函數f(x)在區間(1,+)上存在零點.所以“a0,則f(x)在區間(0,2)上不存在零點”為

22、假命題的一個函數是.答案答案f(x)=(x-1)2(答案不唯一)解析解析只需找到一個在(0,2)上先單調遞減再單調遞增而且有零點的函數,或這個函數在(0,2)上先單調遞增再單調遞減而且有零點即可,比如f(x)=|x-1|,f(x)=-(x-1)2等等.考點二函數零點的應用考點二函數零點的應用1.(2019北京海淀一模文,2)若x0是函數f(x)=log2x-的零點,則()A.-1x00B.0 x01C.1x02D.2x041x答案答案C解法一:易知f(x)在定義域內連續,且單調遞增.f(1)=-10,故由零點存在性定理可得f(x)在(1,2)內有零點,故選C.解法二:函數f(x)=log2x-

23、的零點方程log2x=的根函數y=log2x與函數y=圖象的交點的橫坐標.在同一坐標系中作出兩個函數的圖象,由圖可得1x00,x-a,若函數f(x)存在零點,則只能f(x)=-x=0有解,即f(a)=-a0,故選D.3.(2018北京東城期末,13)函數f(x)=當a=0時,f(x)的值域為;當f(x)有兩個不同的零點時,實數a的取值范圍為.223,xxxax xa答案答案-4,+);(-,-1)0,3)解析解析當a=0時,設g(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4,h(x)=-x,易知,當x0時,g(x)-4,當x0時,h(x)0,所以當a=0時,f(x)的值域為-4,+).要使f(x)有

24、兩個不同的零點,分兩種情況:g(x)=x2-2x-3,xa有一個零點且h(x)=-x,xa有一個零點,則0aa有兩個零點且h(x)=-x,xa沒有零點,則a-1.綜合可知,當f(x)有兩個不同的零點時,實數a的取值范圍為(-,-1)0,3).2( )0,( )230h aag aaa 2( )0,1,( )230h aaag aaa 4.(2017北京朝陽一模,11)已知函數f(x)=2x-a的一個零點在區間(1,2)內,則實數a的取值范圍是.2x答案答案(0,3)解析解析易知該零點為變號零點,f(1)f(2)0,即-a(3-a)0.解得0a0,f(x)在(0,+)上單調遞增.又f(3)=ln

25、30,f=ln-10,ff(3)0時,-xa時,2a-xa,此時f(x)=f(2a-x)=2a-x,f(x)=的圖象關于直線x=a對稱,若函數y=f(x)-b有兩個零點,即函數y=f(x)的圖象與直線y=b有2個交點,其圖象如圖:2,2,x aa xxaxa由圖可知0b0時,由f(x)=得log2x=,即x=.由g(x)=ff(x)-=0得ff(x)=,則f(x)=-或f(x)=,易得方程f(x)=-有兩個解,方程f(x)=有一個解,所以函數g(x)=ff(x)-的零點個數是3.故選B.12121212121212221212122122122.(2018北京朝陽一模,7)函數f(x)=-的零

26、點個數為()A.0B.1C.2D.42sin21xx12x2sin21xx答案答案Cf(x)=-的定義域為(-,0)(0,+),通分得f(x)=,設f1(x)=2xsinx,f2(x)=x2+1,當f1(x)=f2(x)時,f(x)=0,易發現f1(1)=f2(1)=2,即f1(x)與f2(x)交于點A(1,2),又f1(x)=xcosx+2sinx,f2(x)=2x,f1(1)=f2(1)=2,即點A為公切點,點A為(0,+)內唯一交點,畫出f1(x),f2(x)的部分圖象如圖.又f1(x),f2(x)均為偶函數,點B(-1,2)也為公切點,A,B為交點,f(x)有兩個零點,故選C.12x2

27、22 sin122 (1)xxxx x2223.(2017北京朝陽一模,5)已知函數f(x)=有兩個不同的零點,則實數a的取值范圍是()A.-1,0)B.(1,2C.(1,+)D.(2,+)224 ,2,log,2xx xxa x答案答案C當x2時,令f(x)=-x2+4x=0,得x=0或x=4(舍去),故x2時,f(x)有一個零點.當x2時,f(x)=log2x-a是增函數,由題意知x2時,f(x)必有一個零點,故a=log2x(x2),a1.故選C.思路分析思路分析分段研究f(x),由題意知每段恰有一個零點,再研究x2時f(x)的單調性,進而可求a的范圍.方法點撥方法點撥在探究f(x)=log2x-a(x2)必有一個零點時,可利用數形結合的思想方法.4.(2018北京朝陽期末,7)已知函數f(x)=x|x-a|的圖象與直線y=-1的公共點不少于兩個,則實數a的取值范圍是()A.a-2B.a-2C.-2a-2答案答案B本題考查分段函數的圖象與零點存在性定理.解法一:當a=0時,f(x)=的圖象與y=-1只有一個公共點;當a0時,f(x)=的圖象如圖所示,不符合題意;當a0時,f(x)=的圖象如圖所示,y=f(x)的圖象與y=-1的公共點不少于兩個,f=-=-1,a24,a