1、實驗總成績： 裝 訂 線報告份數： 通信與信息工程學院 科研訓練論文數字IIR濾波器的設計與研究The IRR digital filter design and research摘 要隨著信息化的推進，數字信號處理的地位和作用變得越來越重要。因為信息化的基礎是數字化，而數字化的核心技術就是數字信號處理。而數字濾波器在需要進行數字信號處理的許多系統中起著重要作用。實際上，語音處理設備、圖像處理設備和數字通信系統等各種系統中都使用數字濾波器。在進行DSP系統設計時，往往先采用MATLAB等對算法進行仿真，確定最佳算法和參數。利用MATLAB的信號處理工具箱可以直接設計數字濾波器，也可以建立模擬原

2、型，離散化設計數字濾波器。本文在深刻理解數字濾波器的基礎上，充分利用MATLAB強大的信號處理功能，對IIR數字濾波器進行設計。在IIR數字濾波器設計過程中，本文介紹了IIR數字濾波器的特點、結構、設計原理以及在MATLAB中的實現。1Design Of IIR Digital Filter Based On MATLABAbstractAlong with the information advancement, the digital signal processing status and the function changes more and more importantly. B

3、ecause the information foundation is the digitization, but the digitized core technology is the digital signal processing. In fact, the pronunciation handling equipment, the picture handling equipment and the digital communication system and so on in each kind of system all uses the digital filter.W

4、hen we design DSP system，usually used for such MATLAB simulation algorithm, so that best algorithms and parameters can be determinedThe digital filter can be designed and the analog filter model can be built by signal processing toolbox of MATLABThis paper introduces design principle of digital filt

5、er，procedures and rea1ization with MATLAB.This article in the profound understanding numeral filter foundation, fully uses the MATLAB formidable signal processing function, carries on the design to the IIR numeral filter. In the IIR numeral filter design process, this article introduced the IIR nume

6、ral filter characteristic, the structure, the principle of design as well as in the MATLAB realization.Keywords : IIR digital filter,Digital signal processing(DSP),MATLAB 引言1.1 IIR濾波器的設計的問題的提出隨著信息化的推進，數字信號處理的地位和作用變得越來越重要。因為信息化的基礎是數字化，而數字化的核心技術就是數字信號處理。半個世紀以來，在如此強有力的需求牽引下，伴隨著計算機技術、微電子技術日新月異的突破，數字信號處理

7、的方法和應用越來越廣泛和深入，發展十分迅速。“數字信號處理(DSP)”是研究數字序列信號的表示方法，并對信號進行運算，以提取包含在其中的特殊信息的一門學科。DSP是一門理論和實踐密切結合的理論性和工程性都很強的學科，其理論性體現在，它綜合應用數學、電路理論、信號與系統等領域的基礎理論和方法，發展并形成了自己的理論體系，成為通信、雷達、聲納.、電聲、電視、測控、生物醫學工程的眾多學科和領域的重要理論與技術基礎。其工程性體現在，它的應用極為廣泛，從科學技術的各個領域到國民經濟的各個行業，從國防建設的各種武器到裝備到林林總總的消費類電子產品的設計與生產，都是數字信號處理技術的應用領域。5而數字濾波器

8、在需要進行數字信號處理的許多系統中起著重要作用。實際上，語音處理設備、圖像處理設備和數字通信系統等各種系統中都使用數字濾波器。一種強大的科學計算和工程仿真軟件MATLAB就產生，它的交互式集成界面能幫助用戶快速的完成數據分析，矩陣運算，數字信號處理，建模仿真等。在國際學術界，MTATLAB 已經被確認為準確、可靠的科學計算標準軟件。在許多國際一流學術刊物上，（尤其是信息科學刊物），都可以看到 MTATLAB 的應用。MTATLA 作為計算工具和科技資源，可以擴大科學研究的范圍、提高工程生產的效率、縮短開發周期、加快探索步伐、激發創造活力。以此為背景，本論文以MTATLAB對IIR的濾波器的設計

9、，通過MATLAB的信號處理工具箱的應用，讓我們認識到數字信號處理的重要性。對數字信號處理技術在工程技術領域的認識有進一步的了解。本文首先介紹了MATLAB的基本內容，從理論上IIR數字濾波器進行深入細致的研究是非常必要的。本文對濾波器設計中的一些重要環節，包括IIR濾波器的原理、設計步驟等做了詳細的闡述。31本論文主要研究內容現代社會發展要求通信系統功能越來越強，性能越來越高，構成越來越復雜；另一方面，要求數字信號處理技術研究和產品開發縮短周期，降低成本，提高水平。這樣尖銳對立的兩個方面的要求，只有通過使用強大的計算機輔助分析設計技術和工具才能實現。IIR數字濾波器在數字信號處理中有舉足輕重

10、的地位，可以滿足社會發展的要求。 本論文針對IIR濾波器的研究主要做了以下的工作：（1）介紹了數字濾波器的相關內容，包括數字濾波器分類、技術指標以及設計的一般方法。（2）對IIR濾波器的主要環節，包括基本結構以及IIR濾波器設計原理、特點，方法和過程進行了詳細的闡述。（3）在理解IIR濾波器理論的基礎上，利用MATLAB強大的仿真功能，用兩種不同方法對IIR進行設計及分析。濾波器介紹數字濾波技術是數字信號處理中的一個重要環節，濾波器的設計則是信號處理的核心問題之一。而數字濾波器是通過數字運算實現濾波具有處理精度高、穩定、靈活、不存在阻抗匹配問題，可以實現模擬濾波器無法實現的特殊濾波功能。數字濾

11、波器根據其沖擊響應函數的時域特性可分為兩種，即無限長沖擊響應（）數字濾波器和有限長沖擊響應（）數字濾波器。實現濾波器的階次較低，可以用較少的階數獲得很高的選擇特性，所用的存儲單元較少，效率高，精度高，而且能夠保留一些模擬濾波器的優良性能，因此應用很廣。與此同時，由于濾波器是遞歸結構，極點必須在平面的單位圓內才能穩定，所以濾波器適用于對相位要求不太嚴格的場合，如語音通信等。目前，數字濾波器的設計常借助計算機，利用軟件來實現。可以采用函數直接設計法、脈沖響應不變法及雙線性變換法等3種不同方法快速有效地完成了對數字低通、帶通、全通的切比雪夫型濾波器的設計，并實現了結果的仿真。本文將根據濾波器的設計原

12、理，在環境下采用函數直接設計法等方法根據指定指標完成對濾波器的設計仿真，并給出相應的設計實例，仿真結果表明出設計的各項性能指標均可達到指定要求，反映出仿真設計的優越性。4 2.iir濾波器有以下幾個特點1 iir數字濾波器的系統函數可以寫成封閉函數的形式。2 iir數字濾波器采用遞歸型結構，即結構上帶有反饋環路。iir濾波器運算結構通常由延時、乘以系數和相加等基本運算組成，可以組合成直接型、正準型、級聯型、并聯型四種結構形式，都具有反饋回路。由于運算中的舍入處理，使誤差不斷累積，有時會產生微弱的寄生振蕩。3 iir數字濾波器在計上可以借助成熟的模擬濾波器的成果，如巴特沃斯、契比雪夫和橢圓濾波器

13、等，有現成的設計數據或圖表可查，其設計工作量比較小，對計算工具的要求不高。在設計一個iir數字濾波器時，我們根據指標先寫出模擬濾波器的公式，然后通過一定的變換，將模擬濾波器的公式轉換成數字濾波器的公式。4 .iir數字濾波器的相位特性不好控制，對相位要求較高時，需加相位校準網絡。在matlab下設計iir濾波器可使用buttterworth函數設計出巴特沃斯濾波器，使用cheby1函數設計出契比雪夫i型濾波器，使用cheby2設計出契比雪夫II型濾波器，使用ellipord函數設計出橢圓濾波器。下面主要介紹前兩個函數的使用。與fir濾波器的設計不同，iir濾波器設計時的階數不是由設計者指定，而

14、是根據設計者輸入的各個濾波器參數（截止頻率、通帶濾紋、阻帶衰減等），由軟件設計出滿足這些參數的最低濾波器階數。在matlab下設計不同類型iir濾波器均有與之對應的函數用于階數的選擇。iir單位響應為無限脈沖序列fir單位響應為有限的iir幅頻特性精度很高，不是線性相位的，可以應用于對相位信息不敏感的音頻信號上；fir幅頻特性精度較之于iir低，但是線性相位，就是不同頻率分量的信號經過fir濾波器后他們的時間差不變。這是很好的性質。另外有限的單位響應也有利于對數字信號的處理，便于編程，用于計算的時延也小，這對實時的信號處理很重要3. IIR數字濾波器設計方法比較31 概述IIR數字濾波器的最通

15、用的方法是借助于模擬濾波器的設計方法。模擬濾波器設計已經有了相當成熟的技術和方法，有完整的設計公式，還有比較完整的圖表可以查詢，因此設計數字濾波器可以充分利用這些豐富的資源來進行。對于IIR數字濾波器的設計具體步驟如下：(1)按照一定的規則將給出的數字濾波器的技術指標轉換為模擬低通濾波器的技術指標。(2)根據轉換后的技術指標設計模擬低通濾波器G(s)(G(s)是低通濾波器的傳遞函數)。(3)再按照一定的規則將G(s)轉換成H(z)(H(z)是數字濾波器的傳遞函數)。若設計的數字濾波器是低通的，上述的過程可以結束，若設計的是高通、帶通或者是帶阻濾波器，那么還需要下面的步驟：將高通、帶通或帶阻數字

16、濾波器的技術指標轉換為低通模擬濾波器的技術指標，然后設計出低通G(s)，再將G(s)轉換為H(z)。數字濾波器技術指標模擬濾波器技術指標變換 模擬濾波器設計方法模擬濾波器數字濾波器Matlab信號工具箱提供了幾個直接設計IIR數字濾波器的函數，直接調用這些函數就可以很方便地對濾波器進行設計。這里選取巴特沃斯法、切比雪夫I、切比雪夫、橢圓法四種方法進行比較。給出用上述方法設計數字濾波器的函數如下：其中：Wp表示通帶截止頻率；Ws表示阻帶截止頻率；Rp表示通帶紋波系數；Rs表示阻帶紋波系數；N表示濾波器最小階數；Wn表示截止頻率。b，a分別表示階次為N+1的數字濾波器系統傳遞函數的分子和分母多項式

17、系數向量；Fs為采樣頻率；n為在區間O Fs頻率范圍內選取的頻率點數；f記錄頻率點數。n取2的冪次方，可以提高運算的速度，因為freqz函數采用基2的FFT算法。ftype=high時，為高通濾波器；ftype=bandpass時，為帶通濾波器；ftype=stop時，為帶阻濾波器。32 四種設計方法比較(1)在低通濾波器中的比較假如：Wp=20 Hz，Ws=50 Hz，Fs=200，Rp=1 dB，Rs=30 dB，分別用Butterworth低通濾波器、Chebyshev I型低通濾波器、Chebyshev型低通濾波器、橢圓低通濾波器四種方法進行設計，如圖1所示。(2)在帶通濾波器中的比較

18、假如：Wp=100，200，Ws=50，250，Rp=3 dB，Rs=30 dB，Fs=1 000，分別用Butterworth帶通濾波器、Chebyshev I型帶通濾波器、Chebyshev型帶通濾波器、橢圓帶通濾波器四種方法進行設計，如圖3所示。(3)比較結果分析通過對各種類型的濾波器通過不同的方法進行設計，可以使一些結論得到驗證。利用Butterworth濾波器、Chebysheve I型濾波器、Che-bysheve型濾波器、橢圓濾波器都可以進行低通和帶通濾波器的設計，但是各有特點。Butterworth濾波器通帶內的幅頻響應曲線能得到最大限度的平滑，但犧牲了截止頻率的坡度。Cheb

19、ysheve I型濾波器通帶內等波紋，阻帶內單調；Chebysheve型濾波器通帶內單調，然而阻帶內等波紋；橢圓濾波器阻帶和通帶內都是等波紋的，但下降的坡度更大，而且可以以更低的階數實現和其他兩類濾波器一樣的性能指標。2(4)IIR數字濾波器應用假定信號的采樣頻率是600 Hz，輸入信號的頻率為100 Hz，180 Hz和250 Hz的合成頻率波信號f(t)=sin(200t)+sin(360t)+sin(500t)，通過截止頻率是120 Hz的巴特沃斯低通濾波器，通過濾波前后頻譜的對比，可以發現信號通過濾波器后，兩個高頻的信號180 Hz和250 Hz的正弦信號被濾掉，達到了濾波的效果。圖5

20、和圖6給出了巴特沃斯低通濾波器濾波前后的頻譜圖。(5)IIR數字濾波器設計及實現設計IIR數字濾波器一般采用脈沖響應不變法和雙線性變換法。 脈沖響應不變法：根據設計指標求出濾波器確定最小階數N和截止頻率Wc；計算相應的模擬濾波器系統函數；將模擬濾波器系統函數轉換成數字濾波器系統函數 雙線性變換法：根據數字低通技術指標得到濾波器的階數N；取合適的T值，幾遍校正計算相應模低通的技術指標；根據階數N查表的到歸一化低通原型系統函數，將代入，去歸一化得到實際的；用雙線性變換法將轉換成數字濾波器6主要方法：(5.1)用脈沖響應不變法設計(5.2)、用雙線性變換法完成上述設計結 論數字濾波器的應用十分廣泛，

21、利用MATLAB語言，很容易地設計出IIR濾波器IIR濾波器可以用較少的階數獲得很高的選擇特性，所用的存儲單元少、運算次數少，具有經濟、高效的特點在相位要求不敏感的場合，如語音通信等，適合用IIR濾波器。利用MATLAB的強大運算功能，基于MATLAB信號處理工具箱（Signal Processing Toolbox）的數字濾波器設計法可以快速有效的設計由軟件組成的常規數字濾波器，設計方便、快捷，極大的減輕了工作量。通過本文的研究，對比了脈沖響應不變法和雙線性變化法各自特點，以及適用場合，脈沖響應不變法的優點是：它是一個穩定的設計，主要用于設計某些要求在時域上能模仿模擬濾波器功能的數字濾波器。

22、這種變換法的主要特點是頻率坐標的變換是線性的，即由于混疊現象，阻帶邊緣的衰減要比模擬濾波器稍差一點，但仍能滿足指標的要求。脈沖響應不便映射要求這個模擬濾波器基本上是帶限到某一低通或者帶通，這種方法在阻帶沒有起伏的情況下才是有用的。雙線性變換法的優點是：它是一種穩定的設計，不存在混疊現象，對能夠變換的濾波器類型沒有限制。但是這種方法也有缺點：模擬頻率和數字頻率之間是非線性的關系，它使得頻率的標度彎曲，不能夠保持原來的模擬濾波器的相頻特性：的頻率響應與模擬的有明顯的差別。一般情況下，可以通過頻率的預畸變進行校正，但總的來說，雙線性變換法的仿真結果要比脈沖響應不變法的更加理想。 參考文獻 

23、1 董長虹，余嘯海Matlab信號處理與應用M國防工業出版社，2005232 韓得竹，王 華MATLAB電子仿真與應用M國防工業出版社，200145-463 鄒鯤，袁俊泉，龔享銥MATLAB6x信號處理M清華大學出版社，2002123-1404 張立材，吳冬梅數字信號處理M北京郵電大學出版社2004170-1725 吳振揚數字信號處理的原理與實現M東南大學出版社，2002169-1706 丁玉美，高西全數字信號處理M西安電子科技出版社，20053-207 陳懷琛，高西全MATLAB及在電子信息課程中的應用M電子工業出版社，20038 張圣勤Matlab 7.0實用教程M機械工業出版社，2006

24、15-30附錄一：(5.1)用脈沖響應不變法設計（1）根據設計指標求出濾波器確定最小階數N和截止頻率Wcclear;close all;clc; % 開始準備fp=3400;fs=5000;Fs=22050;Rp=2;Rs=20;T=1/Fs; % T=1s的模擬濾波器設計指標W1p=fp/Fs*2; W1s=fs/Fs*2; % 求歸一化頻率N, Wn = buttord(W1p, W1s, Rp, Rs, 's'); % 確定butterworth的最小階數N和頻率參數Wn 得到結果為：N =7Wn =0.3266即：該設計指標下的模擬濾波器最小階數為N=7，其截至頻率為W

25、n =0.3266；（2） 計算相應的模擬濾波器系統函數clear;close all;clc; % 開始準備 fp=3400;fs=5000;Fs=22050;Rp=2;Rs=20;T=1/Fs; % T=1s的模擬濾波器設計指標 W1p=fp/Fs*2; W1s=fs/Fs*2; % 求歸一化頻率N, Wn = buttord(W1p, W1s, Rp, Rs, 's'); % 確定butterworth的最小階數N和頻率參數Wn B,A=butter(N,1,'s') %計算相應的模擬濾波器系統函數得到結果為：B = 1.0e-003 * 0 0 0 0

26、0 0 0 0.3966A =1.0000 1.4678 1.0773 0.5084 0.1661 0.0375 0.0055 0.0004>> 將模擬濾波器系統函數轉換成數字濾波器系統函數 clear;close all;clc; % 開始準備 fp=3400;fs=5000;Fs=22050;Rp=2;Rs=20;T=1/Fs; % T=1s的模擬濾波器設計指標 W1p=fp/Fs*2; W1s=fs/Fs*2; % 求歸一化頻率 N, Wn = buttord(W1p, W1s, Rp, Rs, 's'); % 確定butterworth的最小階數N和頻率參數

27、Wn B,A=butter(N,1,'s')； %計算相應的模擬濾波器系統函數 Bz,Az=impinvar(B,A) %用脈沖相應不變法將模擬濾波器轉換成數字濾波器 sys=tf(Bz,Az,T)； %得到傳輸函數Bz =1.0e-004 *-0.0000 0.0045 0.2045 0.8747 0.7094 0.1090 0.0016 0Az =1.0000 -5.5415 13.2850 -17.8428 14.4878 -7.1069 1.9491 -0.2304即：由Bz和Az可以寫出數字濾波器系統函數為：Transfer function: -9.992e-015

28、 z7 + 4.454e-007 z6 + 2.045e-005 z5 + 8.747e-005 z4 + 7.094e-005 z3 + 1.09e-005 z2 + 1.561e-007 z- z7 - 5.541 z6 + 13.28 z5 - 17.84 z4 + 14.49 z3 - 7.107 z2 + 1.949 z - 0.2304Sampling time: 4.5351e-005>>（3） 繪圖clear;close all;clc; % 開始準備fp=3400;fs=5000;Fs=22050;Rp=2;Rs=20;T=1/Fs; % T=1s的模擬濾波器設計

29、指標W1p=fp/Fs*2; W1s=fs/Fs*2; % 求歸一化頻率N, Wn = buttord(W1p, W1s, Rp, Rs, 's'); % 確定butterworth的最小階數N和頻率參數Wn B,A=butter(N,Wn,'s'); %計算相應的模擬濾波器系統函數Bz,Az=impinvar(B,A); %用脈沖響應不變法將模擬濾波器轉換成數字濾波器sys=tf(Bz,Az,T)； %得到傳輸函數H,W=freqz(Bz,Az,512,Fs); % 生成頻率響應參數plot(W,20*log10(abs(H); % 繪制幅頻響應grid on

30、; % 加坐標網格得到結果為：觀察實驗結果圖可看到：在頻率為3402Hz處頻率為衰減2.015db，在頻率為5017Hz處幅度衰減21.36db。且相位不滿足線性。附錄二：雙線性變換法5.2)、用雙線性變換法完成上述設計clear;close all;clc; % 開始準備fp=3400;fs=5000;Fs=22050;Rp=2;Rs=20;T=1/Fs; % 設計指標Wp=2*tan(2*pi*fp*T/2)/pi;Ws=2*tan(2*pi*fs*T/2)/pi; % 求歸一化頻率N, Wn = buttord(Wp, Ws, Rp, Rs, 's') %設計過渡模擬濾波

31、器結果為：N =6Wn =0.3749clear;close all;clc; % 開始準備fp=3400;fs=5000;Fs=22050;Rp=2;Rs=20;T=1/Fs; % 設計指標Wp=2*tan(2*pi*fp*T/2)/pi;Ws=2*tan(2*pi*fs*T/2)/pi; % 求歸一化頻率N, Wn = buttord(Wp, Ws, Rp, Rs, 's');B,A=butter(N,Wn,'s')； %計算相應的模擬濾波器系統函數Bz,Az=bilinear(B,A,Fs) %用雙線性變換法轉換成數字濾波器結果為>>Bz =

32、1.0e-014 *0 0 -0.1776 0.7105 -0.7105 0.4441 -0.0777Az =1.0000 -5.9999 14.9997 -19.9993 14.9993 -5.9997 0.9999>> clear;close all;clc; % 開始準備fp=3400;fs=5000;Fs=22050;Rp=2;Rs=20;T=1/Fs; % 設計指標Wp=2*tan(2*pi*fp*T/2)/pi;Ws=2*tan(2*pi*fs*T/2)/pi; % 求歸一化頻率N, Wn = buttord(Wp, Ws, Rp, Rs, 's');B

33、,A=butter(N,Wn,'s');Bz,Az=bilinear(B,A,Fs);sys=tf(Bz,Az,T)結果為：Transfer function:-1.776e-015 z4 + 7.105e-015 z3 - 7.105e-015 z2 + 4.441e-015 z - 7.772e-016- z6 - 6 z5 + 15 z4 - 20 z3 + 15 z2 - 6 z + 0.9999 Sampling time: 4.5351e-005>>N, Wn = buttord(Wp, Ws, Rp, Rs, 's')z,p,k = b

34、uttap(N); % 設計模擬低通原型的零極點增益參數Bp,Ap = zp2tf(z,p,k); % 將零極點增益轉換成分子分母參數Bs,As = lp2lp(Bp,Ap,Wn*pi*Fs); % 將低通原型轉換為模擬低通Bz,Az = bilinear (Bs,As,Fs);結果為：Bz = 0.0047 0.0280 0.0700 0.0933 0.0700 0.0280 0.0047Az = 1.0000 -1.9161 2.1559 -1.3866 0.5585 -0.1257 0.0125sys=tf(bz,az,T) % 給出傳輸函數H（z）結果為：Transfer functi

35、on: .004664 z6 + 0.02798 z5 + 0.06996 z4 + 0.09328 z3 + 0.06996 z2 + 0.02798 z + 0.004664-z6 - 1.916 z5 + 2.156 z4 - 1.387 z3 + 0.5585 z2 - 0.1257 z + 0.01252Sampling time: 4.5351e-005freqz(Bz,Az,512,Fs); % 生成頻率響應參數grid on; % 加坐標網格title('雙線性變換法');結果為：由圖可以看出，設計滿足要求，在頻率為3402Hz處衰減1.009db，在頻率為5017Hz處幅度衰減20.26 db。且相位不滿足線性。正弦加性高斯白噪聲通過雙線性IIR低通濾波器clear allclcN1=1024;t=0:1:N1-1;fs=5000;s=(sin(2*100*pi*t/fs)+sin(2*pi*500*t/fs)+