1、曲線擬合算法研究及分析作 者 姓 名 郭騰騰 專 業 信息與計算科學 指導教師姓名 田 霞 專業技術職務 副教授 作 者 姓 名 郭騰騰 專 業 信息與計算科學 指導教師姓名 田 霞 專業技術職務 副教授 目 錄摘 要1第一章 曲線擬合算法的簡介21.1什么是曲線擬合算法2曲線擬合的基本思想2曲線擬合的概念21.2可化為線性擬合的非線性擬合3第二章 曲線擬合算法的研究42.1曲線擬合的國內外研究現狀4曲線擬合的目的及意義4曲線擬合的國內外研究現狀5曲線擬合研究設計內容52.2曲線擬合的最小二乘法6最小二乘法的基本原理和多項式擬合6一般最小二乘擬合11最小二乘擬合多項式的存在唯一性13多項式擬合

2、中克服正規方程組的病態14第三章 曲線擬合算法的評價16參考文獻 18致謝 19附錄 20摘 要判斷最佳擬合這個數據的曲線的一個方法是通過找到誤差的平均值分析絕對誤差。平均誤差越小方程擬合的越好。分析這條曲線的另一個辦法是找到均方誤差。我們用均方誤差代替平均誤差。同樣，均方誤差越小，方程擬合的越好。平均誤差和均方誤差之間最主要的不同是均方誤差考慮那些遠離預測值的數據值。換句話說，遠離預測值的數據對均方誤差的影響要比平均誤差更大。這是因為當一個兩位數取平方時，如果他們沒有被平方，他們的差會變大。統計學家們一般在分析中用均方誤差，所以我們也用均方誤差。在這里，通過對曲線擬合算法的進一步研究，我們對

3、這一算法有了更深刻地認識，并運用最小二乘法的原理，用列主元消去法編程實現了用改進的平方根法求正規方程組。關鍵詞：曲線擬合 最小二乘法 列主元消去法 平方根法ABSTRACTOne way to judge how well the curve fits the data is to analyze the absolute error by finding the mean of the error. The smaller the mean error, the better the fit of equation. Another way to analyze the curve is t

4、o find the mean square error. Instead of finding the mean of the error, we find the mean of squaring the error. Again, the smaller the mean square error, the better the fit of equation. The main difference between mean error and mean square error is that the mean square error takes care more of an a

5、ccount for data values that are farther away from the prediction values. In other words, data that falls far from its predictor has a larger effect on the mean square error than the mean error. Because two numbers differences become greater when two numbers are squared. Generally Statisticians use t

6、he square mean error in analyses, so we will too. Here, We have a better comprehension for the algorithm by taking deeply research，and take the Least square method and Column principle elimination method to solve the normal equations by using improved Square Root Method.Key words: Curve fitting; Lea

7、st square method; Column principle elimination method; Square Root Method第一章 曲線擬合算法的簡介1.1什么是曲線擬合算法曲線擬合的基本思想 曲線擬合用連續曲線近似地刻畫或比擬平面上離散點組所表示的坐標之間的函數關系的一種數據處理方法。用解析表達式逼近離散數據的一種方法。在科學實驗或社會活動中，通過實驗或觀測得到量與的一組數據對，其中各是彼此不同的 。人們希望用一類與數據的背景材料規律相適應的解析表達式，yf(x，c）來反映量x與y之間的依賴關系，即在一定意義下“最佳”地逼近或擬合已知數據。f(x，c)常稱作擬合模型 ，

8、式中c(c1，c2，cn)是一些待定參數。當c在f中線性出現時，稱為線性模型，否則稱為非線性模型。有許多衡量擬合優度的標準，最常用的一種做法是選擇參數c使得擬合模型與實際觀測值在各點的殘差(或離差)ekykf(xk，c)的加權平方和達到最小，此時所求曲線稱作在加權最小二乘意義下對數據的擬合曲線。有許多求解擬合曲線的成功方法，對于線性模型一般通過建立和求解方程組來確定參數，從而求得擬合曲線。至于非線性模型，則要借助求解非線性方程組或用最優化方法求得所需參數才能得到擬合曲線，有時稱之為非線性最小二乘擬合。實際工作中，變量間未必都有線性關系，如服藥后血藥濃度與時間的關系；疾病療效與療程長短的關系；毒

9、物劑量與致死率的關系等常呈曲線關系。對于某些非線性的資料可以通過簡單的變量變換使之直線化，這樣就可以按最小二乘法原理求出變換后變量的直線方程，在實際工作中常利用此直線方程繪制資料的標準工作曲線，同時根據需要可將此直線方程還原為曲線方程，實現對資料的曲線擬合。在實際問題中，怎樣由測量的數據設計和確定“最貼近”的擬合曲線？關鍵在于選擇適當的擬合曲線類型，有時根據專業知識和工作經驗即可確定擬合曲線類型；在對擬合曲線一無所知的情況下，不妨先繪制數據的粗略圖形，或許從中觀測出擬合曲線的類型；更一般地，對數據進行多種曲線類型的擬合，并計算均方誤差，用數學實驗的方法找出在最小二乘法意義下的誤差最小的擬合函數

10、。判斷最佳擬合這個數據的曲線的一個方法是通過找到誤差的平均值，分析絕對誤差。平均誤差越小方程擬合的越好。分析這條曲線的另一個辦法是找到均方誤差。我們用均方誤差代替找平均誤差。同樣，均方誤差越小，方程擬合的越好。平均誤差和均方誤差之間最主要的不同是均方誤差考慮那些遠離預測值的數據值。換句話說，遠離預測值的數據對均方誤差的影響要比平均誤差更大。這是因為當一個兩位數取平方時，如果他們沒有被平方，他們的差會變大。1.1.2曲線擬合的概念曲線擬合（curve fitting）是指選擇適當的曲線類型來擬合觀測數據，并用擬合的曲線方程分析兩變量間的關系。曲線擬合的方法很多。實際工作中，變量間未必都有線性關系

11、，如服藥后血藥濃度與時間的關系；疾病療效與療程長短的關系；毒物劑量與致死率的關系等常呈曲線關系。對于某些非線性的資料可以通過簡單的變量變換使之直線化，這樣就可以按最小二乘法原理求出變換后變量的直線方程，在實際工作中常利用此直線方程繪制資料的標準工作曲線，同時根據需要可將此直線方程還原為曲線方程，實現對資料的曲線擬合。在實際問題中，怎樣由測量的數據設計和確定“最貼近”的擬合曲線？關鍵在于選擇適當的擬合曲線類型，有時根據專業知識和工作經驗即可確定擬合曲線類型；在對擬合曲線一無所知的情況下，不妨先繪制數據的粗略圖形，或許從中觀測出擬合曲線的類型；更一般地，對數據進行多種曲線類型的擬合，并計算均方誤差

12、，用數學實驗的方法找出在最小二乘法意義下的誤差最小的擬合函數。曲線擬合用連續曲線近似地刻畫或比擬平面上離散點組所表示的坐標之間的函數關系的一種數據處理方法。用解析表達式逼近離散數據的一種方法。在科學實驗或社會活動中，通過實驗或觀測得到量x與y的一組數據對(xi，yi)（i1，2，m），其中各xi是彼此不同的 。人們希望用一類與數據的背景材料規律相適應的解析表達式，yf(x，c）來反映量x與y之間的依賴關系，即在一定意義下“最佳”地逼近或擬合已知數據。f(x，c)常稱作擬合模型 ，式中c(c1，c2，cn)是一些待定參數。當c在f中線性出現時，稱為線性模型，否則稱為非線性模型。有許多衡量擬合優度

13、的標準，最常用的一種做法是選擇參數c使得擬合模型與實際觀測值在各點的殘差(或離差)ekykf(xk，c)的加權平方和達到最小，此時所求曲線稱作在加權最小二乘意義下對數據的擬合曲線。有許多求解擬合曲線的成功方法，對于線性模型一般通過建立和求解方程組來確定參數，從而求得擬合曲線。至于非線性模型，則要借助求解非線性方程組或用最優化方法求得所需參數才能得到擬合曲線，有時稱之為非線性最小二乘擬合。1.2可化為線性擬合的非線性擬合有些非線性擬合曲線可以通過適當的變量替換轉化為線性曲線，從而用線性擬合進行處理。對于一個實際的曲線擬合問題，一般先按觀測值在直角坐標平面上描出散點圖，看一看散點同哪類曲線圖形接近

14、，然后選用相接近的曲線擬合方程。再通過適當的變量替換轉化為線性擬合問題，按線性擬合解出后再還原為原變量所表示的曲線擬合方程。表1-1列舉了幾類經適當變換化為線性擬合求解的曲線擬合方程及變換關系。表1-1 曲線擬合方程及變換方法曲線擬合方程變換關系變換后線性擬合方程  數據接近于直線，故宜采用線性函數y=a+bx擬合；數據分布接近于拋物線，可采用二次多項式擬合；數據分布特點是開始曲線上升較快隨后逐漸變慢，宜采用雙曲線型函數或指數型函數；數據分布特點是曲線開始下降快，隨后逐漸變慢，宜采用或或等函數擬合。第二章 曲線擬合算法的研究2.1曲線擬合的國內外研究現狀2.1.1曲線擬合的目的及意義

15、實際工作中，變量間未必都有線性關系，如服藥后血藥濃度與時間的關系；疾病療效與療程長短的關系；毒物劑量與致死率的關系等常呈曲線關系。曲線擬合（curve fitting）是指選擇適當的曲線類型來擬合觀測數據，并用擬合的曲線方程分析兩變量間的關系。曲線擬合的方法很多。對于某些非線性的資料可以通過簡單的變量變換使之直線化，這樣就可以按最小二乘法原理求出變換后變量的直線方程，在實際工作中常利用此直線方程繪制資料的標準工作曲線，同時根據需要可將此直線方程還原為曲線方程，實現對資料的曲線擬合。在實際問題中，怎樣由測量的數據設計和確定“最貼近”的擬合曲線？關鍵在于選擇適當的擬合曲線類型，有時根據專業知識和工

16、作經驗即可確定擬合曲線類型；在對擬合曲線一無所知的情況下，不妨先繪制數據的粗略圖形，或許從中觀測出擬合曲線的類型；更一般地，對數據進行多種曲線類型的擬合，并計算均方誤差，用數學實驗的方法找出在最小二乘法意義下的誤差最小的擬合函數。總之曲線擬合在實際問題中應用非常廣泛。2.1.2曲線擬合的國內外研究現狀曲線擬合的最小二乘法在應用科學中具有重要作用，它是離散點的最佳平方逼近，由哈爾條件可證明解的存在唯一性，而采用離散點正交多項式可避免解法方程時出現的病態問題，為用多項式做最小二乘模型提供了可行的算法。對于利用曲線擬合算法來預報轉子位置，從而更準確地控制各相繞組開通與關斷的新方法，位置檢測環節是開關

17、磁阻電動機（SRM）驅動系統的重要組成部分，檢測到的位置信號既是繞組開通與關斷的依據，也為轉速閉環控制提供了轉速信息。基于非通電相加激勵脈沖判斷SRM轉子位置的方法1，建立了最高激勵脈沖頻率的數學模型，分析了其對位置檢測精度的影響，提出了利用曲線擬合的最小二乘算法來預報轉子位置以提高控制精度的新方法，從而提高了無位置傳感器SRM驅動系統的運行性能2。現在國內外許多科學家都致力于曲線擬合算法的研究，例如，有人發明提出了一種反問題的計算機曲線擬合方法，該方法包括步驟：將實際測試數據和缺省模型的理論曲線畫在計算機顯示屏幕的同一圖形顯示區內；判斷缺省模型是否合理，如果缺省的理論模型與實測數據的曲線形態

18、一致，則認為缺省模型合理，否則重新選擇缺省模型；選擇模型參數；判斷選擇參數對理論曲線形狀的影響，通過可視化操作改變理論曲線的形態，使之與實際曲線的形態一致；判斷曲線位置是否一致，若不一致則移動實際曲線位置；計算反問題的解。2.1.3曲線擬合研究設計內容曲線擬合是用連續曲線近似地刻畫或比擬平面上離散點組所表示的坐標之間的函數關系，用解析表達式逼近離散數據的一種方法。在科學實驗或社會活動中，通過實驗或觀測得到量x與y的一組數據對(xi，yi)（i1，2，m），其中各xi是彼此不同的。人們希望用一類與數據的背景材料規律相適應的解析表達式yf(x，c）來反映量x與y之間的依賴關系，即在一定意義下“最佳

19、”地逼近或擬合已知數據。f(x，c)常稱作擬合模型，式中c(c1，c2，cn)是一些待定參數。當c在f中線性出現時，稱為線性模型，否則稱為非線性模型。有許多衡量擬合優度的標準，最常用的一種做法是選擇參數c使得擬合模型與實際觀測值在各點的殘差(或離差)ekykf(xk，c)的加權平方和達到最小，此時所求曲線稱作在加權最小二乘意義下對數據的擬合曲線。對于線性模型一般通過建立和求解方程組來確定參數，從而求得擬合曲線。至于非線性模型，則要借助求解非線性方程組或用最優化方法求得所需參數才能得到擬合曲線，有時稱之為非線性最小二乘擬合。本課題擬總結有關類型的曲線的擬合的各種方法，并對其給出綜合評價，提出新的

20、一種曲線擬合算法或對已有的算法進行改進優化，目標是比起已有的算法，收斂速度更快，更節省時間。2.2曲線擬合的最小二乘法2.2.1最小二乘法的基本原理和多項式擬合1最小二乘法的基本原理 最小二乘法是一種數學優化技術，它通過最小化誤差的平方和找到一組數據的最佳函數匹配。最小二乘法是用最簡的方法求得一些絕對不可知的真值，而令誤差平方之和為最小。它通常用于曲線擬合。很多其他的優化問題也可通過最小化能量或最大化熵用最小二乘形式表達。 比如從最簡單的一次函數y=kx+b講起。 已知坐標軸上有些點(1.1,2.0),(2.1,3.2),(3,4.0),(4,6),(5.1,6.0),求經過這些點的圖象的一次

21、函數關系式。 當然這條直線不可能經過每一個點,我們只要做到5個點到這條直線的距離的平方和最小即可,這這就需要用到最小二乘法的思想.然后就用線性擬合來求。從整體上考慮近似函數同所給數據點 (i=0,1,m)誤差 (i=0,1,m)的大小，常用的方法有以下三種：一是誤差 (i=0,1,m)絕對值的最大值，即誤差向量的范數；二是誤差絕對值的和，即誤差向量r的1范數；三是誤差平方和的算術平方根，即誤差向量r的2范數；前兩種方法簡單、自然，但不便于微分運算，后一種方法相當于考慮 2范數的平方，因此在曲線擬合中常采用誤差平方和來度量誤差 (i=0，1，m)的整體大小。數據擬合的具體作法是：對給定數據 (i

22、=0,1,，m)，在取定的函數類中，求,使誤差 (i=0,1,m)的平方和最小，即 從幾何意義上講，就是尋求與給定點 (i=0,1,m)的距離平方和為最小的曲線（圖2-1）。函數稱為擬合 函數或最小二乘解，求擬合函數的方法稱為曲線擬合的最小二乘法。在曲線擬合中，函數類可有不同的選取方法.圖2-12多項式擬合假設給定數據點 (i=0,1,m)，為所有次數不超過的多項式構成的函數類，現求一，使得 (2-1)當擬合函數為多項式時，稱為多項式擬合，滿足式（2-1）的稱為最小二乘擬合多項式。特別地，當n=1時，稱為線性擬合或直線擬合。顯然為的多元函數，因此上述問題即為求的極值問題。由多元函數求極值的必要

23、條件，得 (2-2)即 (2-3)（2-3）是關于的線性方程組，用矩陣表示為 (2-4)式（2-3）或式（2-4）稱為正規方程組或法方程組。可以證明，方程組（2-4）的系數矩陣是一個對稱正定矩陣，故存在唯一解。從式（2-4）中解出 (k=0,1,，n)，從而可得多項式 (2-5)可以證明，式（2-5）中的滿足式（2-1），即為所求的擬合多項式。我們把稱為最小二乘擬合多項式的平方誤差，記作由式(2-2)可得 (2-6)多項式擬合的一般方法可歸納為以下幾步：(1) 由已知數據畫出函數粗略的圖形散點圖，確定擬合多項式的次數n；(2) 列表計算和；(3) 寫出正規方程組，求出；(4) 寫出擬合多項式。

24、在實際應用中，或；當時所得的擬合多項式就是拉格朗日或牛頓插值多項式3。例1 測得銅導線在溫度 ()時的電阻如表2-1，求電阻R與溫度 T的近似函數關系。表2-1i0123456 ()19.125.030.136.040.045.150.076.3077.8079.2580.8082.3583.9085.10解 畫出散點圖（圖2-2），可見測得的數據接近一條直線，故取n=1，擬合函數為列表如下表2-2i019.176.30364.811457.330125.077.80625.001945.000230.179.25906.012385.425336.080.801296.002908.8004

25、40.082.351600.003294.000545.183.902034.013783.890650.085.102500.004255.000245.3565.59325.8320029.445正規方程組為解方程組得故得R與T的擬合直線為利用上述關系式，可以預測不同溫度時銅導線的電阻值。例如，由R=0得T=-242.5，即預測溫度T=-242.5時，銅導線無電阻。圖2-2 例2已知實驗數據如下表表2-3i01234567813456789101054211234試用最小二乘法求它的二次擬合多項式。解 設擬合曲線方程為列表如下表2-4I011011110101359278115452441

26、6642561664352251256251050461362161296636571493432401749682645124096161287938172965612724381041001000100004040053323813017253171471025得正規方程組解得故擬合多項式為2.2.2一般最小二乘擬合多項式擬合形式比較規范，方法也比較簡單，但在實際應用中，針對所討論問題的特點，擬合函數可能為其他類型，如指數函數、有理函數、三角函數等，這就是一般最小二乘擬合問題。1線性最小二乘擬合設為n+1個線性無關（與向量的線性無關定義類似）的連續函數，為所張成的n+1維線性空間，即由其所

27、有線性組合構成的集合，記作 任取，則，它是關于的線性函數。對已知數據點，在中求一，使得 (2-7)這就是一般線性最小二乘擬合問題4。同多項式擬合完全類似，上述問題歸結為多元函數的極值問題。由多元函數求極值的必要條件，可得即 (2-8)它是關于的線性方程組，即為一般線性最小二乘擬合的正規方程組或 法方程組，系數矩陣為對稱矩陣。記則式（2-8）可用矩陣表示為 (2-9)式（2-9）也可表示為 （2-10）如果G的列向量組線性無關，即R(G)=n+1，則正規方程組（2-9）或（2-10）存在唯一解a=，從而為滿足式（2-7）的最小二乘擬合函數。顯然，式（2-9）或式（2-10）的解a=是超定方程組的

28、最小二乘解。特別地，當取時，即為多項式擬合，所以多項式擬合是一般最小線性二乘擬合的特殊情況。 例3 已知一組數據如下表，在中求其擬合函數。表2-500.10.20.30.40.50.622.202542.407152.615922.830963.054483.28876解 設擬合函數為 即代入式(2-10)得所以解正規方程組得故所求擬合曲線為2.2.3最小二乘擬合多項式的存在唯一性定理1 設節點互異，則方程組（2-10）的解存在唯一。證 由克萊姆法則，只需證明方程組（2-10）的系數矩陣非奇異即可。用反證法，設方程組（2-10）的系數矩陣奇異，則其所對應的齊次方程組 （2-11）有非零解。式(

29、2-11)可寫為 （2-12）將式（2-12）中第j個方程乘以 (j=0,1,，n)，然后將新得到的n+1個方程左右兩端分別相加，得。因為其中所以 (i=0,1,m)是次數不超過n的多項式，它有m+1n個相異零點，由代數基本定理，必須有，與齊次方程組有非零解的假設矛盾。因此正規方程組（2-10）必有唯一解。定理2 設是正規方程組（2-10）的解，則是滿足式（2-7）的最小二乘擬合多項式。證 只需證明，對任意一組數組成的多項式，恒有即可。因為 (k=0,1,，n)是正規方程組（2-10）的解，所以滿足式（2-8），因此有 故為最小二乘擬合多項式5。2.2.4多項式擬合中克服正規方程組的病態在多項

30、式擬合中，當擬合多項式的次數較高時，其正規方程組往往是病態的。而且正規方程組系數矩陣的階數越高，病態越嚴重；擬合節點分布的區間偏離原點越遠，病態越嚴重； (i=0,1,，m)的數量級相差越大，病態越嚴重。為了克服以上缺點，一般采用以下措施：盡量少作高次擬合多項式，而作不同的分段低次擬合；不使用原始節點作擬合，將節點分布區間作平移，使新的節點關于原 點對稱，可大大降低正規方程組的條件數，從而減低病態程度。平移公式為： (2-13)對平移后的節點 (i=0,1,，m),再作壓縮或擴張處理： （2-14）其中,（r是擬合次數） （2-15）經過這樣調整可以使的數量級不太大也不太小，特別對于等距節點，

31、作式（2-14）和式（2-15）兩項變換后，其正規方程組的系數矩陣設為A，則對14次多項式擬合，條件數都不太大，都可以得到滿意的結果。變換后的條件數上限表如下：表2-6擬合次數1234=1<9.9<50.3<435 在實際應用中還可以利用正交多項式求擬合多項式。一種方法是構造離散正交多項式；另一種方法是利用切比雪夫節點求出函數值后再使用正交多項式。這兩種方法都使正規方程組的系數矩陣為對角矩陣，從而避免了正規方程組的病態性6。 例4 m=19,=328,h=1, =+ih，i=0,1,，19，即節點分布在328,347，作二次多項式擬合時， 直接用構造正規方程組系數矩

32、陣，計算可得嚴重病態，擬合結果完全不能用。 作平移變換 用構造正規方程組系數矩陣，計算可得比降低了13個數量級，病態顯著改善，擬合效果較好。 取壓縮因子作壓縮變換。用構造正規方程組系數矩陣，計算可得，又比降低了3個數量級，是良態的方程組，擬合效果十分理想。如有必要，在得到的擬合多項式中使用原來節點所對應的變量x，可寫為仍為一個關于x的n次多項式，正是我們要求的擬合多項式。第三章 曲線擬合算法的評價曲線擬合用連續曲線近似地刻畫或比擬平面上離散點組所表示的坐標之間的函數關系的一種數據處理方法。用解析表達式逼近離散數據的一種方法。在科學實驗或社會活動中，通過實驗或觀測得到量x與y的一組數據對(xi，

33、yi)（i1，2，m），其中各xi是彼此不同的 。人們希望用一類與數據的背景材料規律相適應的解析表達式，yf(x，c）來反映量x與y之間的依賴關系，即在一定意義下“最佳”地逼近或擬合已知數據。f(x，c)常稱作擬合模型 ，式中c(c1，c2，cn)是一些待定參數。當c在f中線性出現時，稱為線性模型，否則稱為非線性模型。有許多衡量擬合優度的標準，最常用的一種做法是選擇參數c使得擬合模型與實際觀測值在各點的殘差(或離差)ekykf(xk，c)的加權平方和達到最小，此時所求曲線稱作在加權最小二乘意義下對數據的擬合曲線。有許多求解擬合曲線的成功方法，對于線性模型一般通過建立和求解方程組來確定參數，從而

34、求得擬合曲線。至于非線性模型，則要借助求解非線性方程組或用最優化方法求得所需參數才能得到擬合曲線，有時稱之為非線性最小二乘擬合。實際工作中，變量間未必都有線性關系，如服藥后血藥濃度與時間的關系；疾病療效與療程長短的關系；毒物劑量與致死率的關系等常呈曲線關系。對于某些非線性的資料可以通過簡單的變量變換使之直線化，這樣就可以按最小二乘法原理求出變換后變量的直線方程，在實際工作中常利用此直線方程繪制資料的標準工作曲線，同時根據需要可將此直線方程還原為曲線方程，實現對資料的曲線擬合。在實際問題中，怎樣由測量的數據設計和確定“最貼近”的擬合曲線？關鍵在于選擇適當的擬合曲線類型，有時根據專業知識和工作經驗

35、即可確定擬合曲線類型；在對擬合曲線一無所知的情況下，不妨先繪制數據的粗略圖形，或許從中觀測出擬合曲線的類型；更一般地，對數據進行多種曲線類型的擬合，并計算均方誤差，用數學實驗的方法找出在最小二乘法意義下的誤差最小的擬合函數。對于解AX=b，平方根法要求A是對稱且正定矩陣，由于平方根法里面要計算根號，計算量就比較大，而且工程中的A不一定都是正定的。所以在工程中采用改進的平方根法（它解出來的解與真解有一點誤差，但是相當相近），也就是說A只要對稱就行了。而列主元消去法跟高斯消去法差不多，就多了一個選主元（絕對值最大）。（以列主元消去法為例，具體程序見附錄）。有些非線性擬合曲線可以通過適當的變量替換轉化為線性曲線，從而用線性擬合進行處理。對于一個實際的曲線擬合問題，一般先按觀測值在直角坐標平面上描出散點圖，看一看散點同哪類曲線圖形接近，然后選用相接近的曲線擬合方程。再通過適當的變量替換轉化為線性擬合問題，按線性擬合解出后再還原為原變量所表示的曲線擬合方程。參考文獻1詹瓊華,王雙紅,肖楚成. 開關磁阻