1、【課題】 31排列與組合（一）【教學目標】知識目標：理解排列的定義，掌握排列數的計算公式能力目標：學生的數學計算技能、計算工具使用技能和數學思維能力得到提高【教學重點】排列數計算公式 【教學難點】排列數計算公式【教學設計】復習兩個計數原理，一方面它是復習回顧，另一方面是做好銜接，為下面的問題及排列數的計算奠定基礎一個排列元素是不可重復的也就是說，利用排列研究問題時，元素是不可以重復選取對于元素可以重復選取的問題是直接應用兩個計數原理計算的問題排列的概念中有兩個要素一個是不同的元素，另一個是一定的順序從n個不同元素中，取出m(mn)個不同元素的所有排列的個數，叫做從n個不同元素中取出m個不同元素

2、的排列數，用符號表示.采用這個符號是執行國家的新規定有些教材中使用符合表示例2是鞏固排列數公式的題目例3與例4是排列的實際應用題其中例3是基礎題，解題關鍵是搞清原來不同元素的個數、取出不同元素的個數、是否有序例4是綜合利用計數原理與排列知識的題目講解時要注意進行數學方法的滲透首先考慮特殊元素或特殊位置，然后再考慮一般元素或位置，分步驟來研究問題，這種研究方法是本章中經常使用的方法排列數的計算一般的數字都是比較大，比較麻煩，采用計算器來完成計算非常便捷教材介紹了利用計算器計算排列數的方法【教學備品】教學課件【課時安排】2課時(90分鐘)【教學過程】教 學 過 程教師行為學生行為教學意圖時間*揭示

3、課題31排列與組合*創設情境 興趣導入基礎模塊中，曾經學習了兩個計數原理大家知道：（1）如果完成一件事，有N類方式.第一類方式有k1種方法，第二類方式有k2種方法，第n類方式有kn種方法，那么完成這件事的方法共有= + +（種） （3.1）（2）如果完成一件事，需要分成N個步驟完成第1個步驟有k1種方法，完成第2個步驟有k2種方法，完成第n個步驟有kn種方法，并且只有這n個步驟都完成后，這件事才能完成，那么完成這件事的方法共有 = · ··（種） （3.2）下面看一個問題：在北京、重慶、上海3個民航站之間的直達航線，需要準備多少種不同的機票？這個問題就是從北京、重

4、慶、上海3個民航站中，每次取出2個站，按照起點在前，終點在后的順序排列，求不同的排列方法的總數.首先確定機票的起點，從3個民航站中任意選取1個，有3種不同的方法；然后確定機票的終點，從剩余的2個民航站中任意選取1個，有2種不同的方法根據分步計數原理，共有3×2=6種不同的方法，即需要準備6種不同的飛機票：北京重慶，北京上海，重慶北京，重慶上海，上海北京，上海重慶.介紹播放課件質疑了解觀看課件思考引導啟發學生得出結果015*動腦思考 探索新知我們將被取的對象（如上面問題中的民航站）叫做元素，上面的問題就是：從3個不同元素中，任取2個，按照一定的順序排成一列，可以得到多少種不同的排列.一

5、般地，從n個不同元素中，任取m (mn)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列，時叫做選排列，時叫做全排列.總結歸納分析關鍵詞語思考理解記憶引導學生發現解決問題方法20*鞏固知識 典型例題例1寫出從4個元素a, b, c, d中任取2個元素的所有排列分析首先任取1個元素放在左邊，然后在剩余的元素中任取1個元素放在右邊解 所有排列為【說明】如果兩個排列相同，那么不僅要求這兩個排列的元素完全相同，而且排列的順序也要完全相同引領講解說明觀察思考主動求解注意觀察學生是否理解知識點25*動腦思考 探索新知從n個不同元素中，取出m(mn)個元素的所有排列的個數，叫做從n

6、個不同元素中取出m個元素的排列數，用符號表示. 例1中，從4個元素a, b, c, d中任取2個元素的的排列數為可以看到 下面研究計算排列數的公式計算可以這樣考慮：假定有排列順序的m個空位（如圖31） 第1位 第2位 第3位 第m位 圖31第一步，從n個元素中任選1個元素，填到第1個位置，有n中方法；第二步，從剩余的n1個元素中任選1個元素，填到第2個位置，有n1種方法；第三步，從剩余的n2個元素中任選1個元素，填到第3個位置，有n3種方法； 第m步，從剩余的n（m1）個元素中任選1個元素，填到第m個位置，有nm+1種方法；根據分步計數原理，全部填滿空位的方法總數為n(n1)(n2)(nm+1

7、) 由此得到，從n個不同元素中任取m(mn)個元素的排列數為 =n(n1)(n2)(nm+1) （3.） 其中，且mn公式（3.3）叫做排列數公式當m=n時，由公式（3.3）得=n(n1)(n2)3×2×1. （3.4）正整數由1到n的連乘積，叫做n的階乘，記作n!.【說明】規定即 n! = n(n1)(n2)3×2×1.因此公式（3.4）還可以寫成 =n! （3.5）一般地， 因此，當mn時，公式（3.3）還可以寫成 （3.6）總結歸納仔細分析講解關鍵詞語思考理解記憶啟發引導學生發現解決問題的方法40*鞏固知識 典型例題【例題】例2 計算和解 =5&#

8、215;4=20， 例3 小華準備從7本世界名著中任選3本，分別送給甲、乙、丙3位同學，每人1本，共有多少種選法？分析選出3本不同的書，分別送給甲、乙、丙3位同學，書的不同排序，結果是不同的.因此選法的種數是從5個不同元素中取3個元素的排列數解 不同的送法的種數是 即共有210種不同送法說明 公式（3.3）與公式（3.6）都是計算排列數的公式.計算排列數，通常使用公式（3.3）；進行有關排列數的證明與研究通常使用公式（3.6）.例4用0，1，2，3，4，5可以組成多少個沒有重復數字的3位數？分析 因為百位上的數字不能為0，所以分成兩步考慮問題第一步先排百位上的數字；第二步從剩余的數字中任取2個

9、數排列解 所求三位數的個數為【說明】象例4這樣，“首先考慮特殊元素或特殊位置，然后再考慮一般元素或位置，分步驟來研究問題”是本章中經常使用的方法引領講解說明引領分析說明引領講解說明觀察思考主動求解觀察思考理解思考主動求解注意觀察學生是否理解知識點學生自我發現歸納55*動腦思考 探索新知【計算器使用】利用計算器，可以方便地求出任意一個正整數的階乘.以計算為例，計算方法是：輸入數字4，然后依次按鍵SHIFT 、 、 = ， 顯示24.即=24.利用計算器，可以方便地計算排列數.以計算為例，計算方法是：輸入數字6，然后依次按鍵SHIFT 、 ，然后輸入數字3，按鍵 = ，顯示120.即=120.仔細

10、分析講解關鍵詞語思考記憶啟發引導學生發現解決問題的方法60*運用知識 強化練習 1.填空 （1）已知=56，那么n= . （2）用1，2，3，4，5這五個數字組成沒有重復數字的三位數，共有 個.2.在A，B，C，D四個候選人中，選出正副班長各一個，選法的種數是多少？提問巡視指導動手求解及時了解學生知識掌握情況65*理論升華 整體建構思考并回答下面的問題：排列數計算公式的內容是什么？結論：從n個不同元素中任取m(mn)個元素的排列數為=n(n1)(n2)(nm+1)質疑歸納強調回答理解強化師生共同歸納強調重點70*歸納小結 強化思想本次課學了哪些內容？重點和難點各是什么？引導回憶75*自我反思

11、目標檢測 本次課采用了怎樣的學習方法？你是如何進行學習的？你的學習效果如何？用1，2，3，4，5這五個數字，組成沒有重復數字的三位數，其中偶數有多少個？提問巡視指導反思動手求解培養反思學習過程的能力85*繼續探索 活動探究(1)讀書部分：教材(2)書面作業：教材習題31（必做）；學習指導31（選做）(3)實踐調查：運用本課所學知識，解決實際問題說明記錄分層次要求90【教師教學后記】項目反思點學生知識、技能的掌握情況學生是否真正理解有關知識；是否能利用知識、技能解決問題；在知識、技能的掌握上存在哪些問題；學生的情感態度學生是否參與有關活動；在數學活動中，是否認真、積極、自信；遇到困難時，是否愿意

12、通過自己的努力加以克服；學生思維情況學生是否積極思考；思維是否有條理、靈活；是否能提出新的想法；是否自覺地進行反思；學生合作交流的情況學生是否善于與人合作；在交流中，是否積極表達；是否善于傾聽別人的意見；學生實踐的情況學生是否愿意開展實踐；能否根據問題合理地進行實踐；在實踐中能否積極思考；能否有意識的反思實踐過程的方面；【課題】 31排列與組合（二）【教學目標】知識目標：理解組合的定義，掌握組合數的計算公式能力目標：學生的數學計算技能、計算工具使用技能和數學思維能力得到提高【教學重點】組合數計算公式 【教學難點】組合數計算公式【教學設計】組合與排列的區別是，組合與順序無關因此判斷是排列問題還是

13、組合問題的關鍵是看元素是否有序從n個不同元素中取m（mn）個不同元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個不同元素的組合數，用符號表示組合數的計算公式及組合數的性質中，教學重點是組合數計算公式和性質1利用它們可以方便地計算組合數例5是組合數計算問題例6 是組合的實際應用與排列數的計算一樣，教材介紹了利用計算器計算組合數【教學備品】教學課件【課時安排】2課時(90分鐘)【教學過程】教 學 過 程教師行為學生行為教學意圖時間*揭示課題31排列與組合*創設情境 興趣導入在北京、重慶、上海3個民航站的直達航線之間，有多少種不同的飛機票價（假設兩地之間的往返票價和艙位票價是相同的）：飛機票的價格

14、有如下三種： 北京重慶（重慶北京） 北京上海（上海北京） 重慶上海（上海重慶）這個問題，是從3個不同的元素中任取2個，不管是怎樣的順序總認為是一組，求一共有多少個不同的組一般地，從n個不同的元素中，任取m（mn）個不同元素，組成一組，叫做從n個不同元素中取m個不同元素的一個組合三地之間不同的飛機票價種數，就是從3個不同元素中，取出2個不同元素的所有組合的個數【注意】：組合問題與排列問題的區別是：從n個不同元素取m（mn）個元素的一個組合，與m個元素排列的順序無關，而從n個不同元素中取m（mn）個元素的一個排列，與m個元素的排列順序有關介紹播放課件質疑了解觀看課件思考引導啟發學生得出結果015*

15、動腦思考 探索新知一般地，從n個不同元素中取m（mn）個不同元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個不同元素的組合數，用符號表示下面我們通過研究計算的方法來研究組合數的計算公式我們用兩種不同的方法來計算方法1： =4×3×2方法2：從4個不同元素中取3個不同元素的一個排列，可以分兩步完成第一步，從4個不同元素中取3個元素組成一組，有種取法；第二步，對每一組中的3個不同元素進行全排列根據分步計數原理，得 所以 類似地，可以得到組合數的計算公式一般地，求從n個不同元素中取m（mn）個不同元素的組合數為 由于 故組合數公式還可以寫作其中，并且mn可以證明，組合數具有如下

16、性質（證明略）：性質1 （mn）利用這個性質，當m時，通過計算可以簡單得到的值，如 性質2 （mn）性質2反映出組合數公式中的m與n之間存在的聯系總結歸納分析關鍵詞語思考理解記憶引導學生發現解決問題方法35*鞏固知識 典型例題例5 計算和解 說明 一般地，可以得到例6 圓周上有10個點，以任意三點為頂點畫圓內接三角形，一共可以畫多少個？分析只要選出三個點三角形就唯一確定，與三個點的排列順序無關，所以是計算從10個不同元素中取3個元素的組合數問題解可以畫出的圓內接三角形的個數為 即可以畫出120個圓內接三角形說明 公式（37）與公式（38）都是計算組合數的公式計算組合數，通常使用公式（33）；進

17、行有關組合數的證明與研究通常使用公式（36）引領講解說明觀察思考主動求解注意觀察學生是否理解知識點50*動腦思考 探索新知【計算器使用】利用計算器可以方便地計算組合數以計算為例，計算方法為：輸入數字6，依次按鍵 SHIFT 、nCr ,然后輸入數字2，按鍵 = ，顯示15即 =15仔細分析講解關鍵詞語思考記憶引導學生發現解決問題方法60*運用知識 強化練習 1 計算下列各數： （1）；（2）；（3） ；（4） 2 6個朋友聚會，每兩人握手一次，一共握手多少次？3 從3，5，7，11這四個質數中任取兩個相乘，可以得到多少個不相等的積？提問巡視指導動手求解及時了解學生知識掌握情況65*理論升華 整

18、體建構思考并回答下面的問題：組合數計算公式的內容是什么？結論：從n個不同元素中任取m(mn)個元素的組合數為質疑歸納強調回答理解強化師生共同歸納強調重點70*歸納小結 強化思想本次課學了哪些內容？重點和難點各是什么？引導回憶75*自我反思 目標檢測 本次課采用了怎樣的學習方法？你是如何進行學習的？你的學習效果如何？1學校開設了6門任意選修課，要求每個學生從中選學3門，共有多少種不同的選法？2現有3張參觀券，要在5人中確定3人去參觀，共有多少種不同的選法？提問巡視指導反思動手求解培養反思學習過程的能力85*繼續探索 活動探究(1)讀書部分：教材(2)書面作業：教材習題31（必做）；學習指導31（

19、選做）(3)實踐調查：運用本課所學知識，解決實際問題說明記錄分層次要求90【教師教學后記】項目反思點學生知識、技能的掌握情況學生是否真正理解有關知識；是否能利用知識、技能解決問題；在知識、技能的掌握上存在哪些問題；學生的情感態度學生是否參與有關活動；在數學活動中，是否認真、積極、自信；遇到困難時，是否愿意通過自己的努力加以克服；學生思維情況學生是否積極思考；思維是否有條理、靈活；是否能提出新的想法；是否自覺地進行反思；學生合作交流的情況學生是否善于與人合作；在交流中，是否積極表達；是否善于傾聽別人的意見；學生實踐的情況學生是否愿意開展實踐；能否根據問題合理地進行實踐；在實踐中能否積極思考；能否

20、有意識的反思實踐過程的方面；【課題】 31排列與組合（三）【教學目標】知識目標：利用排列數組合數計算公式解決簡單的應用問題能力目標：學生的數學計算技能、計算工具使用技能和數學思維能力得到提高【教學重點】排列與組合的綜合應用 【教學難點】排列與組合的綜合應用【教學設計】實際應用過程中，要注意區分以下3點：（1）元素是否允許重復元素不允許重復的是排列與組合問題；元素允許重復的是直接應用計數原理的問題（2）元素是否有序有序是排列問題，無序是組合問題（3）是否需要分類或分步驟來進行研究例7是簡單的排列與組合訓練題要注意分清是排列問題還是組合問題例8是產品檢驗的抽樣計算問題，是組合應用的典型問題在題目的

21、說明中，介紹了對立事件例9是照相排隊問題，是排列應用的典型問題要注意“先考慮特殊元素或特殊位置，再考慮一般元素或位置”這種分步驟研究方法的使用例10是排列組合綜合應用問題“先取出元素，然后再安排”是這類問題的典型方法例11元素可以重復，不是排列與組合問題，直接應用分步計數原理計算【教學備品】教學課件【課時安排】2課時(90分鐘)【教學過程】教 學 過 程教師行為學生行為教學意圖時間*揭示課題31排列與組合介紹了解1*鞏固知識 典型例題例7從5名學生中，選出2名學生（1）去參加一個調查會，有多少種不同的選法？（2）擔任兩項不同的工作，有多少種不同的選法？分析 兩個人參加一個調查會，是無序的，是組

22、合問題；兩個人擔任兩項不同的工作，是有序的，是排列問題解 （1）不同的選法共有（種）（2）不同的選法共有（種）例8100件產品中有兩件次品，從中任意抽取3件產品進行檢查問（1）一共有多少種不同的抽取方法？（2）抽取的3件產品中，恰有一件是次品的不同抽取方法有多少種？（3）抽取的3件產品中，至少有一件是次品的不同抽取方法有多少種？解 （1）不同的抽取方法的總數為從100件產品中取出3件的組合數（2）分成兩步來完成第一本從2件次品中抽出1件，第二步從98件正品中抽出的2件中.由分步計數原理知，恰有1件次品的不同抽取方法的種數為（3）從任意抽取不同的3件產品的抽取方法總數中，減去3件全是正品的抽取方

23、法種數，就是至少有一件是次品的不同抽取方法種數即【想一想】例8（3）是否還有其他的解法？例9 如果7名學生照集體像，要排成一列，有兩名學生必須要相鄰，那么共有多少種不同的排法？分析 分成兩步來排隊第一步，將這兩個人的順序排好；第二步，將這兩個人作為一個總體，與剩下的5名學生一起排隊解 不同的排法共有（種）【說明】要注意“先考慮特殊元素或特殊位置，再考慮一般元素或位置”這種分步驟研究方法的使用例10從6名男生和5名女生中選出3名男生和2名女生排成一行，有多少種不同排法?分析可以首先將男生選出，再將女生選出，然后對選出的5名學生排序解 不同排法的總數為（種）例11某城市的電話號碼是從0、1、2、3

24、、4、5、6、7、8、9中取8個數字組成（允許數字重復），但0和1不能作為電話號碼的首位數問該城市最多可以裝多少部電話？分析將一個電話號碼的組成分成兩個步驟第一步，選首位數字，從2、3、4、5、6、7、8、9中取1個數；第二步，從第2位至第8位，每個位置填入上述10個數字中的任意一個數再根據分步計數原理計算解 城市最多可以裝電話的數量為（部）【注意】研究實際問題的時候，一定要注意區別是否允許重復，是否有序的問題引領講解說明引領講解說明引領分析說明引領講解說明觀察思考主動求解觀察思考主動求解觀察思考理解思考主動求解注意觀察學生是否理解知識點注意觀察學生是否理解知識點學生自我發現歸納45*運用知識 強化練習 1平面內有8個點（1）以其中每2個點為端點的線段共有多少條？（2）以其中每2個點為端點的有向線段共有多少條？ 2某城市的電話號碼是由0到9中的7個數字組成（允許重復），問該城市最多可以裝多少部電話？ 3有11個隊參加的籃球比賽分成兩個階段進行第一階段，分組成2個小組，第1小組5個隊，第2小組6個隊，各組都進行單循環比賽；