1、拋物線拋物線xyOlFxyOlFlFxyOxyOlF定義平面內與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點叫做拋物線的焦點，直線叫做拋物線的準線。=點M到直線的距離范圍對稱性關于軸對稱關于軸對稱焦點(,0)(,0)(0,)(0,)焦點在對稱軸上頂點離心率=1準線方程準線與焦點位于頂點兩側且到頂點的距離相等。頂點到準線的距離焦點到準線的距離焦半徑焦點弦長oxFy焦點弦的幾條性質以為直徑的圓必與準線相切若的傾斜角為，則若的傾斜角為，則 切線方程1. 直線與拋物線的位置關系直線，拋物線，消y得：（1）當k=0時，直線與拋物線的對稱軸平行，有一個交點；（2）當k0時， 0，直線與拋物線相交

2、，兩個不同交點； =0， 直線與拋物線相切，一個切點； 0，直線與拋物線相離，無公共點。（3） 若直線與拋物線只有一個公共點,則直線與拋物線必相切嗎?（不一定）（4）2. 關于直線與拋物線的位置關系問題常用處理方法直線： 拋物線，1 聯立方程法： 設交點坐標為,，則有,以及，還可進一步求出， 在涉及弦長，中點，對稱，面積等問題時，常用此法，比如a. 相交弦AB的弦長 或 b. 中點, ， 2 點差法：設交點坐標為，代入拋物線方程，得 將兩式相減，可得a. 在涉及斜率問題時，b. 在涉及中點軌跡問題時，設線段的中點為， 即，同理，對于拋物線，若直線與拋物線相交于兩點，點是弦的中點，則有（注意能用

3、這個公式的條件：1）直線與拋物線有兩個不同的交點，2）直線的斜率存在，且不等于零）一、拋物線的定義及其應用例1、設P是拋物線y24x上的一個動點(1)求點P到點A(1,1)的距離與點P到直線x1的距離之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|PF|的最小值例2、(2011山東高考)設M(x0，y0)為拋物線C：x28y上一 點，F為拋物線C的焦點，以F為圓心、|FM|為半徑的圓和拋物線C的準線相交，則y0的取值范圍是() A(0,2)B0,2 C(2，) D2，)二、拋物線的標準方程和幾何性質例3、拋物線y22px(p0)的焦點為F，準線為l，經過F的直線與拋物線交于A、B兩點，交準線于C

4、點，點A在x軸上方，AKl，垂足為K，若|BC|2|BF|，且|AF|4，則AKF的面積是 ()A4 B3 C4 D8例4、過拋物線y22px(p0)的焦點F的直線交拋物線于點A、B，交其準線l于點C，若|BC|2|BF|，且|AF|3則此拋物線的方程為 ( ) Ay2xBy29x Cy2x Dy23x三、拋物線的綜合問題例5、(2011江西高考)已知過拋物線y22px(p0)的焦點，斜率為2的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)上，M點到拋物線C的焦點F的距離為2，直線l：yxb與拋物線C交于A，B兩點(1)求拋物線C的方程；(2)若以AB為直徑的圓與x軸相切，求該圓的

5、方程練習題1已知拋物線x2ay的焦點恰好為雙曲線y2x22的上焦點，則a等于 ()A1B4 C8 D162拋物線y4x2上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是 ()A B C. D.3(2011遼寧高考)已知F是拋物線y2x的焦點，A，B是該拋物線上的兩點，|AF|BF|3，則線段AB的中點到y軸的距離為 () A. B1 C. D.4已知拋物線y22px，以過焦點的弦為直徑的圓與拋物線準線的位置關系是 ()A相離 B相交 C相切 D不確定5(2012宜賓檢測)已知F為拋物線y28x的焦點，過F且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點，則|FA|FB|的值等于 () A4 B8 C8 D16

6、6在y2x2上有一點P，它到A(1,3)的距離與它到焦點的距離之和最小，則點P的坐標是 ()A(2,1) B(1,2) C(2,1) D(1,2) 7(2011陜西高考)設拋物線的頂點在原點，準線方程為x2，則拋物線的方程是 ( ) Ay28x By28x Cy24x Dy24x8(2012永州模擬)以拋物線x216y的焦點為圓心，且與拋物線的準線相切的圓的方程為_9已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為y軸，拋物線上一點Q(3，m)到焦點的距離是5，則拋物線的方程為_10已知拋物線y24x與直線2xy40相交于A、B兩點，拋物線的焦點為F，那么| | | | _.11過拋物線y24x的焦點作直線交

7、拋物線于A(x1，y1)，B(x2， y2)兩點，若x1x26，那么 |AB|等于_12根據下列條件求拋物線的標準方程：(1)拋物線的焦點是雙曲線 16x29y2144的左頂點；(2)過點P(2，4)13已知點A(1,0)，B(1，1)，拋物線C：y24x，O為坐標原點，過點A的動直線l交拋物線C于M，P兩點，直線MB交拋物線C于另一點Q.若向量與的夾角為，求POM的面積參考答案：一、拋物線的定義及其應用例1、(1)如圖，易知拋物線的焦點為F(1,0)，準線是x1.由拋物線的定義知：點P到直線x1的距離等于點P到焦點F的距離于是，問題轉化為：在曲線上求一點P，使點P到點A(1,1)的距離與點P

8、到F(1,0)的距離之和最小顯然，連結AF交曲線于P點，則所求的最小值為|AF|，即為.(2)如圖，自點B作BQ垂直準線于Q，交拋物線于點P1，則|P1Q|P1F|.則有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4.即|PB|PF|的最小值為4.例2、解析：圓心到拋物線準線的距離為p，即p4，根據已 知只要|FM|4即可根據拋物線定|FM|y02由y024，解得y02，故y0的取值范圍是(2，)二、拋物線的標準方程和幾何性質例3、設點A(x1，y1)，其中y10.由點B作拋物線的準線的垂線，垂足為B1.則有 |BF|BB1|；又|CB|2|FB|，因此有|CB|2|BB1|，cosCBB1，CBB1

9、.即直線AB與x軸的夾角為.又|AF|AK|x14，因此y14sin2，因此AKF的面積等于|AK|y1424.例4分別過點A、B作AA1、BB1垂直于l，且垂足分別為A1、B1，由已知條件|BC|2|BF|得|BC|2|BB1|，BCB130，又|AA1|AF|3，|AC|2|AA1|6，|CF|AC|AF|633，F為線段AC的中點故點F到準線的距離為p|AA1|，故拋物線的方程為y23x.三、拋物線的綜合問題例5、(1)直線AB的方程是y2(x)，與y22px聯立，從而有4x25pxp20，所以：x1x2，由拋物線定義得：|AB|x1x2p9，所以p4，從而拋物線方程是y28x.(2)由

10、p4,4x25pxp20可簡化為x25x40，從而x11，x24，y12，y24，從而A(1，2)，B(4,4)；設 (x3，y3)(1，2)(4,4)(41,42)又y8x3，即2(21)28(41)即(21)241.解得0，或2.例6、 (1)設動點P的坐標為(x，y)，由題意有|x|1.化簡得y22x2|x|.當x0時，y24x；當x0時，y0.所以，動點P的軌跡C的方程為y24x(x0)和y0(x0)的準線為x，由拋物線定義和已知條件可知|MF|1()12，解得p2, 故所求拋物線C的方程為y24x.(2)聯立消去x并化簡整理得y28y8b0.依題意應有6432b0，解得b2.設A(x

11、1，y1)，B(x2，y2)，則y1y28，y1y28b，設圓心Q(x0，y0)，則應用x0，y04.因為以AB為直徑的圓與x軸相切，所以圓的半徑為r|y0|4.又|AB|所以|AB|2r8，解得b.所以x1x22b2y12b2y24b16，則圓心Q的坐標為(，4)故所求圓的方程為(x)2(y4)216.練習題：1C解析：根據拋物線方程可得其焦點坐標為(0，)，雙曲線的上焦點為(0,2)，依題意則有2解得a8.2B解析：拋物線方程可化為x2，其準線方程為y.設M(x0，y0)，則由拋物線的定義，可知y01y0.3C解析：根據拋物線定義與梯形中位線定理，得線段AB中點到y軸的距離為：(|AF|B

12、F|).4C解析：設拋物線焦點弦為AB，中點為M，準線l，A1、B1分別為A、B在直線l上的射影，則|AA1|AF|，|BB1|BF|，于是M到l的距離d(|AA1|BB1|)(|AF|BF|)|AB|半徑，故相切5C解析：依題意F(2,0)，所以直線方程為yx2由，消去y得x212x40.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|FA|FB|(x12)(x22)|x1x2|8.6B解析：如圖所示，直線l為拋物線y2x2的準線，F為其焦點，PNl，AN1l，由拋物線的定義知，|PF|PN|，|AP|PF|AP|PN|AN1|，當且僅當A、P、N三點共線時取等號P點的橫坐標與A點的橫坐標相同即為

13、1，則可排除A、C、D.答案：B7B解析：由準線方程x2，可知拋物線為焦點在x軸正 ，半軸上的標準方程，同時得p4，所以標準方程為 y22px8x8解析：拋物線的焦點為F(0,4)，準線為y4，則圓心為(0,4)，半徑r8. 所以，圓的方程為x2(y4)264.9解析：設拋物線方程為x2ay(a0)，則準線為y.Q(3，m)在拋物線上，9am.而點Q到焦點的距離等于點Q到準線的距離，|m()|5.將m代入，得|5，解得，a2，或a18，所求拋物線的方程為x22y，或x218y.10解析：由，消去y，得x25x40(*)，方程(*)的兩根為A、B兩點的橫坐標，故x1x25，因為拋物線y24x的焦點為F(1,0)，所以| | | | (x11)(x21)711解析：因線段AB過焦點F，則|AB|AF|BF|.又由拋物線的定義知|AF|x11，|BF|x21，故|AB|x1x228.12解析：雙曲線方程化為1，左頂點為