1、第五講補充常微分方程求解相關知識。第二章 分離變量法l 偏微分方程定解問題常用解法，分離變量法。l 解常微分方程定解問題時，通常總是先求出微分方程的特解，由線性無關的特解疊加出通解，而后用定解條件定出疊加系數l 一階線性偏微分方程的求解問題，基本方法也是轉化為一階線性常微分方程組的求解問題l 對于二階以及更高階的偏微分方程定解問題，情況有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函數，一般來說，很難直接根據定解條件定出，因此，通常的辦法就是把它轉化為常微分方程問題（第六講）§2.1 有界弦的自由振動什么是分離變量法？使用分離變量法應具備那些條件？ 下面通過兩端固定的弦的自由振動問

2、題來說明。定解問題：考慮長為l ，兩端固定的弦的自由振動，其數理方程及定解條件為分析：1. 方程和邊界條件都是齊次的，求這樣的問題可用疊加原理。2. 我們知道，在解常微分方程定解問題時，通常總是先求出微分方程的特解，由線性無關的特解疊加出通解，而后用定解條件定出疊加系數。啟發：能否運用類似求常微分方程定解問題的方法求偏微分方程？也既是能否先找出滿足齊次方程及齊次邊界條件的足夠多的特解，再用其作線性組合使其滿足初始條件。由分析，我們現在試求方程的變量分離形式：的非零解。l 將代入方程，可得此式中，左端是關于的函數，右端是關于的函數。因此，左端和右端相等，就必須等于一個與無關的常數。設為，則有 l

3、 將邊界條件代入得此時，必有這就完成了用分離變量法求解偏微分方程定解問題的第一步：分離變量l 目標：分離變量形式的解l 結果：得到函數滿足的常微分方程和邊界條件以及滿足的常微分方程，l 條件：偏微分方程和邊界條件都是齊次的現在我們求解函數滿足的常微分方程定解問題。我們發現：方程中含有待定常數，定解條件是齊次邊界條件，與一般的常微分方程的初值問題不同：l 并非對任一的，都有既滿足齊次方程有滿足邊界條件的非零解；l 只有當取某些特定值時，才有既滿足方程又滿足邊界條件的非零解。有非零解的稱為該問題的特征值相應的非零解稱特征函數而滿足的常微分方程的定解問題稱特征值問題。第二步：求解特征值問題1) 若，

4、方程的通解形式為由定解條件知，從而，不符合要求。2) 若，方程的通解形式為由邊界條件知，從而，不符合要求。3) 若，方程的通解形式為代入邊界條件得從而得特征值問題的一系列特征值及相應的特征函數第三步：求特解，并疊加出一般解求解了特征值問題后，將每特征值代入函數滿足的方程可得出相應的解因此，也就得到滿足偏微分方程和邊界條件的特解注：l 這樣的特解有無窮多個l 每個特解都滿足齊次方程和齊次邊界條件l 一般來說，單獨任何一個特解不可能恰好滿足定解問題的初始條件，即無法找到滿足。l 把全部特解疊加起來我們知，只要級數收斂，并且二次可微，則也滿足齊次邊值問題。下面選擇合適的使滿足初始條件，即第四步：運用

5、特征值函數的正交性定疊加系數事實上，我們知道補充內容：f(x)的傅里葉級數其中總結：利用分離變量法求解偏微分方程定解問題的基本步驟：第一步：分離變量這一步所以能夠實現，先決條件使偏微分方程和邊界條件都是齊次的。而分離變量的結果是得到含有待定常數的齊次常微分方程和齊次邊界條件，即特征值問題；第二步：求解特征值問題；第三步：求出全部特解，并進一步疊加出一般解（形式解）；第四步：利用特征函數的正交性確定疊加系數。（第七講）嚴格來說，上面得到的還是形式解，對于具體問題，還必須驗證：1) 這樣得到的是否滿足偏微分方程，換句話說，級數解是否可以逐項求二階導數；2) 是否滿足邊界條件，即是否連續；3) 確定

6、系數時，逐項積分是否合理。關于上三個問題，都涉及到級數解的收斂性，由于系數都是由決定的，因而的性質就決定了上三個問題的回答。可以證明若三次可微，二次可微，則問題解存在，且此解可用上面的級數形式給出（見復旦大學數學物理方程）。從理論上講，分離變量法之所以成功，要取決于下列幾個條件：1) 特征值問題有解；2) 定解問題的解一定可以按照特征值函數展開，也既是說，特征值函數是完備的；3) 特征值函數一定具有正交性。以后適當回答這些問題。解的物理意義先看特解其中。l 代表一個駐波 駐波：頻率和振幅均相同、振動方向一致、傳播方向相反的兩列波疊加后形成的波。波在介質中傳播時其波形不斷向前推進，故稱行波；上述

7、兩列波疊加后波形并不向前推進，故稱駐波。l 表示弦上各點的振幅分布l 是振動的固有頻率，稱為弦的固有頻率或特征（本征）頻率l 為初相位，由初始條件決定l 在的各點上，振動振幅恒為零，稱為波節（節點），包含兩個端點共有個節點l 在的各點上，振幅絕對值恒為最大，稱為波峰（腹點），共有n個l 滿足定解問題的級數解則是這些駐波的疊加，因此也稱分離變量法為駐波法l 就兩端點固定的弦來說，固有頻率中有一最小值，即，稱為基頻，其他頻率都是其倍數，稱為倍頻。實際例子：l 弦的基頻決定了聲音的音調。在弦樂器中，當弦的質料一定時，可以通過改變弦的繃緊程度，調解的大小。l 的相對大小，決定了聲音的頻譜分布，即決定了

8、音色。l 和數與弦的能量成正比，決定了聲音的強度。分離變量法舉例例題1. 有一根長為10個單位的弦，兩端固定，初速為零，初位移為，求弦作微小橫振動的位移。解：設位移為，它的定解問題的解。給定，顯然，這個問題的傅立葉級數解可由給出，其系數為因此，所求的解為例題2. 解定解問題解：運用分離變量可得將邊界條件代入可得相應的特征值問題重復前面的解法，知當時，特征值問題有解，此時通解形式為代入邊界條件得從而求得一系列特征值和特征函數與這些特征值相對應得的通解表示為于是，所求定解問題的形式解可表示為利用初始條件確定其中的系數得故所求的解為（第八講）§2.2 有限桿上的熱傳導定解問題：一均勻細桿，

9、長為，兩端坐標為。桿的側面絕熱，且在端點處溫度為零，而在處桿的熱量自由發散到周圍溫度為0的介質中。初始溫度為，求桿上的溫度變化情況，即考慮下定解問題：仍用分離變量法求解。此定解問題的邊界條件為第三類邊界條件。類似§2.1中步驟，設，代入上面的方程可得從而可得通解由邊界條件知從而令 上方程的解可以看作曲線，交點的橫坐標，顯然他們有無窮多個，于是方程有無窮多個根。用下符號表示其無窮多個正根于是得到特征值問題的無窮個特征值及相應的特征函數再由方程， 可得，從而我們得到滿足邊界條件的一組特解由于方程和邊界條件是齊次的，所以仍滿足此方程和邊界條件。下面研究一下其是否滿足初始條件。可以證明在區域

10、0,l上具有正交性，即證明：完成。令于是，從而得到定解問題得解。§2.3 圓域內的二維Laplace方程的定解問題平面極坐標和直角坐標的關系是由此可得即是由復合函數求導法則，可得進一步，可得在此基礎上，還可以得到柱坐標系下的Laplace算符(第九講)考慮圓域內的穩定問題：其在極坐標下的表示形式：因圓域內溫度不可能為無限，尤其是在圓盤中心點的溫度應該有限，并且表示同一點，故而我們有下約束下面用分離變量法求解該問題。令 代入極坐標下方程可得：從而可得常微分方程由有限性及周期邊界條件知，從而得定解問題求解： 時，通解為由周期邊界條件可得 從而，不可取。時，通解為由周期邊界條件可得 B任意

11、，說明為一特征值，相應得特征函數為。時，通解為因以為周期，所以有 從而可得特征值特征函數為接下來，求特解，并疊加出一般解。由Euler方程若令，即，則上方程可寫為故 時，通解時，通解為為保證，所以可得，即從而，滿足齊次方程和周期條件及有限性的解可以表示為級數最后，為了確定系數，我們利用邊界條件可得運用性質從而可得因而，我們有利用下面的求和公式所以，稱此表達式為圓域內的Poisson公式，它的作用是把解寫成積分形式，便于作理論上的研究。例題 解下列定解問題：解：利用公式可知， 所以。（第十講）Laplace變換法定義：函數當時有定義，當s屬于某區間內時廣義積分收斂，則由此積分確定的函數稱為的La

12、place變換。記，同時把稱為的逆Laplace變換，記為。性質：1 線性性質：a，b為常數，則對，的拉氏變換同時存在的s有2 若則3 微分性質：設在區間上連續，其導數是分段連續的，且存在常數M，使得 ，對于。則對任，拉氏變換存在，且 。更一般的形式 4 積分性質：設在區間上連續，其導數是分段連續的，且存在常數M，使得 ，對于。則對任，則有5 設在區間上連續，其導數是分段連續的，且存在常數M，使得 ，對于，。則對任，則有，更一般的是6 設在區間上分段連續的，且存在常數M，使得 ，對于，且存在，則對任，7 卷積性質：設，在區間上分段連續的，且存在常數M，使得 ，則對任，卷積的拉氏變換存在且8 平

13、移性質：若對存在，則對于，則其中 為Heavivide函數。一些常見函數的Laplace變換：1）;2) ;3) ;4) ;5) ;6) 7) 8) 9) §2.4 非齊次方程的解法分離變量法成功的關鍵是：方程和邊界條件都是齊次的。若方程非齊次的，邊界條件為齊次的，能否運用分離變量法？若能，如何求解？下面以弦的強迫振動為例，來討論非齊次方程的解法。問題模型：兩端固定的弦，受強迫力作用產生振動現象。其定解問題如下： （1）此情況下，弦的振動是由兩部分干擾引起的，一是強迫力，一是初始狀態，因此，振動可以看作為僅由強迫力引起的振動和僅由初始狀態引起的振動。啟發：可設解為其中表示僅強迫振動的

14、位移，滿足 （2）而表示純初始狀態引起的振動位移，滿足 （3）注：不難驗證，只要為（2）的解，為（3）的解，則必為（1）的解。問題（3）由分離變量法很容易求解，因此（2）的求解是關鍵。下面討論如何求解純強迫振動問題的解。思路：類似于線性非齊次常微分方程中常用的常數變易法（補充線性非齊次常微分方程的求解），希望問題（2）的解可分解為無窮多個駐波的疊加，而每個駐波的波形由相應的齊次方程通過分離變量所得的特征值問題的特征函數所決定，既解有形式：（運用對應齊次問題的特解的線性組合去構造非齊次問題的特解） （4）其中為待定系數。為確定，我們將自由項也按特征函數展開 （5）將（4）和（5）代入問題（2）的

15、方程得由此得再將（4）代入初始條件得因此確定只需求解如下定解問題 （6）用Laplace變換法（或參數變易法）解出（6），得所以，將此解與問題（3）的解加起來就得定解問題（1）的解。注：l 求解上面的非齊次方程的方法稱為特征函數法，其實質就是將方程自由項及解都按齊次方程所對應的一族特征函數展開。l 該方法也適用于其他類的齊次邊界問題。（第十一講）例：在環型域內求解下定解問題 （7）解：因解域為環形區域，故可選平面極坐標系，利用平面極坐標和直角坐標的關系則上問題可表示為 （8）此方程為非齊次方程附有齊次邊界條件。用特征函數法求解。由§2.3節中得到關于圓域內laplace方程對應的特征

16、函數，可令問題（8）的解為代入（8）中方程可得比較兩端系數可得（9）再由（8）的條件可得 （10）（9）中第二、三個方程都是齊次的Euler方程，其通解為由邊界條件（10）可得 下面求。因（9）第一方程為非齊次Euler方程，首先用待定系數法可求的其一特解，從而，他的通解為，由條件（10）第一式，可得所以故。(第十二講)§2.5 非齊次邊界條件的處理前面討論的定解問題，無論方程是齊次還是非齊次的，邊界條件都是齊次的，對于邊界條件為非齊次的如何處理？原理：將邊界齊次化。下以波動方程的定解問題為例說明。考慮如下定解問題： （1）為應用分離變量法，設法作一代換將邊界條件齊次化，為此令 （2）適當選擇，使得的邊界條件化為齊次的，即 （3）因此，由（1）和（2）可知，滿足 （4）所以只要找到滿足（4）就達到目的。對于這樣的有很多選法，例如取其為一次式，即要滿足（4），則可得從而這樣只要作代換 （5）就能使得滿足齊次邊界條件，即有 （6）顯然（6）可以用特征函數法求解。注：1 上面選擇一次式，是因為簡單易求，可以有別的形式；2 若f，u1，u2與t無關，則可選適當的使得滿足的方程和邊界條件都是齊次的，減少求解的工作量。（見例1）3 此方法對其他類邊界條件依然成立，只不過是表達式不同而