1、新課預習講義選修21：第二章橢圓（二）2.2.2橢圓的幾何性質 學習目標1.掌握橢圓的簡單幾何性質2.理解離心率對橢圓扁平程度的影響.3.通過橢圓標準方程的求法，體會一元二次方程的根與系數的關系的應用4.掌握橢圓的離心率的求法及其范圍的確定5.掌握點與橢圓、直線與橢圓的位置關系，并能利用橢圓的有關性質解決實際問題.學習重點：1.橢圓的簡單幾何性質(重點)2.橢圓的方程和性質的應用及直線和橢圓的位置關系，相關的距離、弦長、中點等問題是考查的重點3.橢圓的第二定義，橢圓的焦點弦、焦半徑及其相關問題.學習難點1.本節常與幾何圖形、方程、不等式、平面向量等內容結合出題2.命題形式比較靈活，各種題型均有

2、可能出現.，命題的形式多樣化.一、自學導航知識回顧：復習1：橢圓的定義是_，復習2：橢圓的標準方程是：焦點在x軸上時，_，焦點在y軸上時_；、間的關系是_復習3：橢圓上一點到左焦點的距離是，那么它到右焦點的距離是 復習4：方程表示焦點在軸上的橢圓，則的取值范圍是 預習教材：第43頁第51頁的內容。自主梳理：1、橢圓的幾何性質：（1）范圍；（2）對稱性；（3）頂點（長軸、短軸、焦距）；（4）離心率；2、橢圓的第二定義及橢圓的準線方程（教材第51頁）預習檢測：1橢圓x24y21的離心率為()A.B.C. D.解析：將橢圓方程x24y21化為標準方程x21，則a21，b2，即a1，b，所以c，故離心

3、率e.故選A.2橢圓的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，兩頂點分別是(4,0)，(0,2)，則此橢圓的方程是()A.1或1 B.1C.1 D.1解析：由已知a4，b2，橢圓的焦點在x軸上，所以橢圓方程是1.故選C.3已知點(2,3)在橢圓1上，則下列說法正確的是()A點(2,3)在橢圓外B點(3,2)在橢圓上C點(2，3)在橢圓內 D點(2，3)在橢圓上解析：1，則點(2,3)、點(2，3)、點(2，3)在橢圓上故選D.4已知點(4,2)是直線l被橢圓1所截得的線段的中點，則l的方程是_解析：設截得的線段為AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，中點坐標為(x0，y0)，利用“點差法”得，即，

4、k，直線l的方程為y2(x4)，即x2y80.答案：x2y805過橢圓1的左焦點作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點，O為坐標原點，求弦AB的長解析：由橢圓方程得a25，b24，c21，左焦點為(1,0)直線AB的方程為y2(x1)代入1得6x210x0.x10或x2|AB|問題與困惑：二、互動探究問題探究：（一）橢圓的簡單幾何性質焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標準方程 范圍，頂點 (a,0)，(0，b)(a,0)，(0，b)軸長短軸長，長軸長焦點焦距|F1F2|對稱性對稱軸：坐標軸，對稱中心：坐標原點.離心率.（二）橢圓的第二定義、準線方程、焦半徑等1、橢圓的第二定義：若動點與定

5、點的距離和它到定直線的距離的比是常數，則動點的軌跡是一個橢圓.2、橢圓的準線方程：若焦點在軸上，則左準線是；右準線是；若焦點在軸上，則下準線是；上準線是；3、橢圓上任意一點的焦半徑（其中，為左焦點，為右焦點）：，（若焦點在軸上，其中，為下焦點，為上焦點，則，典例導析：題型一、橢圓的簡單幾何性質例1、求下列橢圓的長軸長和短軸長，焦點坐標和頂點坐標和離心率：(1)4x29y236；(2)m2x24m2y21(m0)思路點撥解題過程(1)將橢圓方程變形為1，a3，b2，c.橢圓的長軸長和焦距分別為2a6,2c2，焦點坐標為F1(，0)，F2(，0)，頂點坐標為A1(3,0)，A2(3,0)，B1(0

6、，2)，B2(0,2)，離心率e.(2)橢圓的方程m2x24m2y21(m0)可化為1.m24m2，橢圓的焦點在x軸上，并且長半軸長a，短半軸長b，半焦距長c.橢圓的長軸長2a，短軸長2b，焦點坐標為，頂點坐標為，.e.題后感悟已知橢圓的方程討論性質時，若不是標準形式的先化成標準形式，再確定焦點的位置，焦點位置不確定的要分類討論，找準a與b，正確利用a2b2c2，求出焦點坐標，再寫出頂點坐標變式訓練：1.求下列橢圓的長軸長、焦距、焦點坐標、頂點坐標和離心率(1)25x2y225；(2)4x29y21.解析：(1)將橢圓方程變形為x21，a5，b1，c2.橢圓的長軸長2a10，短軸長2b2.焦點

7、坐標為F1(0，2)，F2(0,2)，頂點坐標A1(0，5)，A2(0,5)，B1(1,0)，B2(1,0)離心率e.(2)橢圓的長軸長和焦距分別為2a1,2c，離心率e，焦點坐標為F1，F2，頂點坐標為A1，A2，B1，B2題型二、由橢圓的幾何性質求橢圓的標準方程例2、求適合下列條件的橢圓的標準方程(1)長軸在x軸上，長軸的長等于12，離心率等于；(2)長軸長是短軸長的2倍，且橢圓過點(2，4)思路點撥解題過程(1)由已知2a12，e，得a6，c4，從而b2a2c220，又長軸在x軸上，故所求橢圓的標準方程為1.(2)2a22b，a2b，當焦點在x軸上時，設方程為1，點(2，4)在橢圓上，1

8、，b217.橢圓的標準方程為1，當焦點在y軸上時，設方程為：1，點(2，4)在橢圓上，1，b28，橢圓的標準方程為：1.綜上，橢圓的標準方程為1或1.題后感悟(1)利用橢圓的幾何性質求標準方程通常采用待定系數法(2)根據已知條件求橢圓的標準方程的思路是“選標準，定參數”，一般步驟是：求出a2，b2的值；確定焦點所在的坐標軸；寫出標準方程(3)解此類題要仔細體會方程思想在解題中的應用變式訓練：2.求適合下列條件的橢圓的標準方程(1)在x軸上的一個焦點，與短軸兩個端點的連線互相垂直，且焦距為6；(2)以坐標軸為對稱軸，長軸長是短軸長的5倍，且經過點A(5,0)解析：(1)設橢圓方程為1(ab0)如

9、圖所示，A1FA2為一等腰直角三角形，OF為斜邊A1A2的中線(高)，且|OF|c，|A1A2|2b，cb3，a2b2c218，故所求橢圓的方程為1.(2)方法一：若橢圓的焦點在x軸上，設其標準方程為1(ab0)由題意，得解得故所求的標準方程為y21；若橢圓的焦點在y軸上，設其標準方程為1(ab0)，由題意，得解得故所求的標準方程為1.綜上所述，所求橢圓的標準方程為y21或1.方法二：設橢圓方程為1(m0，n0，mn)，由題意，得或解得或故所求橢圓的標準方程為y21或1.題型三、求橢圓的離心率例3、如圖所示，橢圓的中心在原點，焦點F1，F2在x軸上，A，B是橢圓的頂點，P是橢圓上一點，且PF1

10、x軸，PF2AB，求此橢圓的離心率思路點撥 求橢圓的離心率就是要設法建立a、c的關系式，可借助PF1F2AOB來建立a、c的關系式規范作答設橢圓的方程為1(ab0)如題圖所示，則有F1(c,0)，F2(c,0)，A(0，b)，B(a,0)，直線PF1的方程為xc，代入方程1，得y，P.又PF2AB，PF1F2AOB.，b2c.b24c2，a2c24c2，.e2，即e，所以橢圓的離心率為.題后感悟(1)求離心率e時，除用關系式a2b2c2外，還要注意的代換，通過解方程求離心率(2)在橢圓中涉及三角形問題時，要充分利用橢圓的定義、正弦定理及余弦定理、全等三角形、相似三角形等知識 變式訓練：3.已知

11、橢圓的兩個焦點為F1、F2，A為橢圓上一點，且AF1AF2，AF2F160，求該橢圓的離心率解析：不妨設橢圓的焦點在x軸上，畫出草圖如圖所示由AF1AF2知，AF1F2為直角三角形，且AF2F160.由橢圓定義，知|AF1|AF2|2a，|F1F2|2c.則在RtAF1F2中，由AF2F160得|AF2|c，|AF1|c，所以|AF1|AF2|2a(1)c，所以離心率e1.題型四、直線與橢圓的位置關系例4、若直線ykx1與焦點在x軸上的橢圓1總有公共點，求m的取值范圍思路點撥 解題過程方法一：由消去y，得(m5k2)x210kx5(1m)0，100k220(m5k2)(1m)20m(5k2m1

12、)直線與橢圓總有公共點，0對任意kR都成立m0，5k21m恒成立，1m0，即m1.又橢圓的焦點在x軸上，0m5，1m5.方法二：直線ykx1過定點M(0,1)，要使直線與該橢圓總有公共點，則點M(0,1)必在橢圓內或橢圓上，由此得解得1m5.題后感悟判斷直線與橢圓的位置關系的常用方法為：聯立直線與橢圓方程，消去y或x，得到關于x或y的一元二次方程，記該方程的判別式為，則(1)直線與橢圓相交0；(2)直線與橢圓相切0；(3)直線與橢圓相離b0)直線與橢圓的兩個交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AB|x1x2|或|AB|y1y2|.當k0時，直線平行于x軸，|AB|x1x2|.（2）弦長

13、公式：適用于所有圓錐曲線.變式訓練：3.橢圓ax2by21與直線xy10相交于A，B兩點，C是AB的中點，若|AB|2，OC的斜率為，求橢圓的方程解析：方法一：設A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入橢圓方程并作差得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0，而1，kOC，代入上式可得ba.再由|AB|x2x1|2，其中x1、x2是方程(ab)x22bxb10的兩根，故244，將ba代入得a，b，所求橢圓的方程是x2y23.方法二：由，得(ab)x22bxb10.設A(x1，y1)、B(x2，y2)，則|AB|.|AB|2，1.設C(x，y)，則x，y1x，OC的斜率為，.代入，

14、得a，b.橢圓方程為y21.題型七、橢圓第二定義、焦半徑及其應用例7、已知、是橢圓的兩個焦點，能否在橢圓上求一點（在軸的左側），使到左準線的距離是與的等比中項，若能，求出該點的坐標，若不能，請說明理由.思路點撥 因為題目中涉及焦半徑及到左準線的距離，所有考慮用橢圓的第二定義.解析：假設存在點（，）（滿足,橢圓方程，；又,由得解此方程得或但，故不存在適合題意的點題后感悟當題目種涉及焦半徑、焦點弦問題時，用橢圓的第二定義常常使解題更簡便.變式訓練：7、已知點A（2，），設為橢圓的右焦點，為橢圓上一動點，求的最小值，并求出此時點的坐標.解析：過A作右準線的垂線，垂足為，與橢圓交于.離心率，由得,的最

15、小值即為線段的長，2810的最小值為10，此時（2，）題型八、橢圓的綜合問題例8、如圖，點A是橢圓C：1(ab0)的短軸位于y軸下方的端點，過點A且斜率為1的直線交橢圓于點B，若P在y軸上，且BPx軸，=9.(1)若點P的坐標為(0,1)，求橢圓C的標準方程；(2)若點P的坐標為(0，t)，求t的取值范圍思路點撥 解答第(1)問的關鍵是由已知條件準確分析出|與| |的關系，再由向量的數量積，得|，從而用待定系數法求出橢圓C的方程，解答第(2)問的關鍵是利用a2b20，構造t的不等式解出t的范圍規范作答直線AB的斜率為1，BAP45，即BAP是等腰直角三角形，|.A9，|cos 45|2cos

16、459，|A|3.(1)P(0,1)，|1，|2，即b2，且B(3,1)，B在橢圓上，1，得a212，(2)由點P的坐標為(0，t)及點A位于x軸下方，得點A的坐標為(0，t3)，t3b，即b3t.顯然點B的坐標是(3，t)，將它代入橢圓方程得：1，解得a2.a2b20，(3t)20.1，即10，所求t的取值范圍是0tb0)的兩個焦點，過F2作橢圓的弦AB，若AF1B的周長為16，橢圓離心率e，則橢圓的方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析：由題意知4a16，即a4，又e，c2，b2a2c216124，橢圓的標準方程為1.答案：B3已知以F1(2,0)，F2(2,0)為焦點的橢圓與直線xy

17、40有且僅有一個交點，則橢圓的長軸長為()A3 B2C2 D4解析：設橢圓方程為1(ab0)由得(a23b2)y28b2y16b2a2b20，由題意得(8b2)24(a23b2)(16b2a2b2)0且a2b24，可得a27，2a2.答案：C4過橢圓1的右焦點且傾斜角為45的弦AB的長為()A5 B6C. D7解析：橢圓的右焦點為(4,0)，直線的斜率為k1，直線AB的方程為yx4，由得9x225(x4)2225，由弦長公式易求|AB|.二、填空題(每小題5分，共10分)5若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數列，則該橢圓的離心率是_解析：設橢圓的長軸、短軸、焦距分別為2a,2b,2c

18、，由題意可得2a2c4b，ac2b，又b，所以ac2，整理得5e22e30，e或e1(舍去)答案：6若傾斜角為的直線交橢圓y21于A，B兩點，則線段AB的中點的軌跡方程是_解析：設中點坐標為(x，y)，直線方程為yxb，代入橢圓方程得5x28bx4(b21)0，則得x4y0.由0得b，故xb0)的離心率為，x軸被曲線C2：yx2b截得的線段長等于C1的長半軸長(1)求C1，C2的方程(2)設C2與y軸的交點為M，過坐標原點O的直線l與C2相交于點A，B，直線MA，MB分別與C1相交于點D，E.證明：MDME.解析：由題意知e，從而a2b.又2a，所以a2，b1.故C1，C2的方程分別為y21，yx21.(2)證明：由題意知，直線l的斜率存在，設為k，則直線l的方程為ykx.由得x2kx10.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2是上述方程的兩個實根，于是x1x2k，x1x21.又點M的坐標為(0，1)，所以kMAkMB1.故MAMB，即MDME.9.（10分）已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，短軸一個端點到右焦點的距離為.(1)求橢圓C的方程；(2)設直線l與橢圓C交于A，B兩點，坐標原點O到直線