1、可靠性數學基礎知識        窗體頂端   概率論、數理統計、圖論、運籌學是可靠性工程學的最重要的數學基礎。本章簡述其中的概率論的部分內容。 21 事件和直方圖    數學、物理中討論的常量和變量，它們有確定的規律，可以用確定的數學表達式來描述。然而，在客觀世界上有許多參量事先不能完全預測，沒有確定的規律，完全是隨機的。概率論就是專門研究這種隨機變化現象規律性的一門科學。在概率論中，我們把隨機現象稱為事件。事件：指科研、生產中的任何現象或試驗的結果。事件分為必然

2、事件、不可能事件和隨機事件三類。事件的頻率是指若隨機事件A在n次觀測中出現m次，則稱m/n為事件A出現的頻數。如投幣試驗、扔針試驗等。    將事件的頻數用平面直角坐標系表示出來，就得到該事件的頻數直方圖。 22 概率的定義、事件的基本運算   一、概率的定義    設試驗的所有可能的結果可以表示為n個互不相容且等可能的事件，其中有且僅有m個事件是包含與隨機事件A的（即當且僅當其中的m個事件中任一事件發生時A發生），則隨機事件A能包含的事件m與基本事件n的比值叫作隨機事件A的概率。   

3、;          即：   P（A）=m/n    通俗的講，就是假定在不變的一組條件下，重復作n次觀測，記m為n次觀測中事件A出現的次數。則當m/n在某一值附近擺動時，稱該數值為事件A在該條件下發生的概率。   二、 事件的基本運算     如果事件A發生時，事件B必然發生，則稱事件A導致事件B。稱為A包含于B或B包含A。當事件A導致事件B，事件B也導致事件A，則稱事件A、B等價。記為

4、60;                    A=B    事件A和事件B的和仍然是事件。當事件A發生或事件B發生或事件A、B同時發生，則和事件A+B發生。當A、B都不發生時，和事件也不發生。事件和運算法則：              A+B=B+A

5、              A+（B+C）=（A+B）+C              A+A=A              A+I=I      &#

6、160;       A+=A              A·B= B·A              A·A=A           

7、60;  A·I=A              A·=              A·（B+C）= A·B+A·C       其中I為必然事件，為不可能事件。  三、 加法原理  

8、0; 設A、B為兩個事件，P（A）為A出現的概率，P（B）為B出現的概率，P（A+B）為事件A+B出現的概率，則：               P（A+B）=P（A）+P（B）P（AB）  四、 乘法原理    事件A和事件B的積事件AB發生的概率為P（AB），等于其中一個事件發生的概率與此事件發生下另一事件發生的概率之積。即：       

9、60;         P（AB）=P（A）P（B|A）                        =P（B）P（A|B）       這里，P（B|A）表示在事件A發生的條件下事件B發生的概率。稱為條件概率。  五

10、、 全概率公式     適用于解決已知某事件在各個不同條件下的條件概率時，如何求該事件的無條件概率的問題。設H1，H2， Hn為n個事件，且滿足：              H1 +H2 +Hn =I；Hi Hj =；（ij）；      則有全概率公式：           六、 貝葉斯公式

11、60;    設H1，H2， Hn為n個事件，且滿足：             H1 +H2 +Hn =I；Hi Hj =；（ij）；公式：                 適用于：當看到某種現象A時，要設法找到引起A發生的原因，而A發生的可能原因是幾個互斥原因之一，當求由Hk原因引起A發生的概率時運用此公式

12、。 2 3隨機變量及其概率分布，數字特征  一、 隨機變量    某變量所取的值，不能準確預測，與觀測結果有關，那么該變量就叫做隨機變量。隨機變量分為離散型隨機變量和連續型隨機變量兩類。隨機變量只取有限多個值，或無限多個可數值時，稱為離、散型隨機變量。如從抽取產品中得到的次品數就屬于這一類。    隨機變量的取值能充滿某個區間（a，b）時，稱為連續型隨機變量。如電視機的壽命在（0，）內取值。  二、 離散型隨機變量的概率分布     定義：離散型隨機變量X可能取的值有x1，x

13、2， xn，它們分別取這些值的概率為：               P（X=xK）= PK ，K=1，2，n    則稱這一系列數P1，P2， Pn為離散型隨機變量X的概率分布。    它的分布也可用表格表示：                 三、

14、連續型隨機變量的概率分布     定義：如果隨機變量的分布函數F（x）可寫成如下的形式：                       其中f（x）>0，則稱為連續型隨機變量，稱f（x）為隨機變量的分布密度函數。常用連續型分布有均勻分布、正態分布等。     離散型隨機變量的概率分布和連續型隨機變量的概率

15、分布在下一章中詳細介紹。  四、 隨機變量的數字特征     隨機變量的期望是最重要的數字特征，它也稱為數學期望（或均值）。實際上，期望是隨機變量真正的平均值。    離散型隨機變量X以概率Pi取值 ，其期望E（X）為：                        其中求和是對X的所有可能的取值進行的。 &

16、#160;   概率密度函數f（x）的連續型隨機變量X，其期望E（X）為：                     其中積分域D為X的取值范圍。    方差是表示隨機變量X取值分散程度的一個量。    方差定義為中心化隨機變量（XE（X）平方的期望，記作 D（X）。       

17、                   于是得離散型隨機變量X以概率Pi取值 的方差為：                    對于概率密度函數為f（x）的連續隨機變量X，其方差為：      

18、0;               其中積分域D為X的取值范圍。    方差有以下的性質：          1、 D（C）=0，C是常數；          2、 D（CX）=C2D（X）；      

19、;    3、 若X與Y相互獨立，有               D（XY）=D（X）D（Y）；          4、D（X）=E（X2）（E（X）2 24 點估計與區間估計     在進行產品的可靠性數據處理時，首先要求出總體分布和總體分布的具體參數及數字特征。前一問題稱為分布類型估計，后一問題

20、則是參數估計。參數估計通常分為點估計和區間估計兩類。常用的點估計方法有：     1、 數字特征法：     數字特征法是求點估計量最簡單且常用的方法，實質就是把樣本的均值作為總體的均值的估計量，把樣本的方差作為總體的方差的估計量，然后從總體期望和方差的估計量再來求待估計參數的估計量，這就是常說的“矩法”。優點：計算簡單、適應性強，在不知總體分布時可適用；缺點：效率低，常常有偏。     2、 極大似然估計法：     極大似然估計法只

21、能用于總體的分布類型已知，僅僅是分布的函數式中某些參數待估計的情況。方法是首先構造極大似然函數，然后求偏導，令偏導為“0”，求出帶估計參數。對離散型隨機變量，設其分布概率為P（X=x，m）的形式已知，分布中的參數m未知。經試驗取得一個樣本X1，X2， Xn的觀測值X1，X2， Xn當各樣本單位相互獨立時，似然函數為：L（m）=P（X=x1，m）P（X=x2，m）P（X=xn，m）對連續隨機變量，設其分布概率為f（x，m）的形式已知，分布中的參數m未知。經試驗取得一個樣本X1，X2， Xn的觀測值X1，X2， Xn當各樣本單位相互獨立時，似然函數為：L（m）=f（X=x1，m）f（X=x2，m）f（X=xn，m）    3、 最佳線性無偏估計法；    4、 最佳線性不變估計法；    5、 簡單線性無偏估計法；    6