1、數學故事戰國七雄的博弈秦國在商鞅變法之前，實力平平，在戰國初期，地理位置偏僻的秦國在戰國諸雄之中甚至處于墊底的位置，也就是個“小丙”。在戰國初期，七國中實力最強的國家是魏國，這是因為當時魏國有兩個牛人，文有李悝，武有吳起，兩人對國家進行改革，使得魏國從諸侯中脫穎而出，稱霸一時。魏國與周圍國家的戰爭中不斷取勝，稱得上是七國中的“甲老大”。不過其它國家也不甘心于魏國一天天的牛叉哄哄的樣子，東邊的齊國就是其中一個，齊擁有田忌和孫臏（賽馬的那兩位）兩位大神，有一次，魏國去攻打趙國，齊國來了個“圍魏救趙”，給魏國了一個下馬威。后來魏國的龐涓和齊國的田忌、孫臏多次交手，在襄陵之戰中，魏國打敗齊國，但是后來

2、的馬陵之戰中孫臏使用計謀讓龐涓中了埋伏，齊國取得決定性勝利。在這段歷史時期，作為魏國鄰居的秦國商鞅變法剛剛開始，國家實力依然較弱，不僅比不上最強大的魏國，恐怕也不敢跟魏國的對手齊國趙國等過叫板，在魏國與其它國家進行戰爭的時候，起初秦國也想去分一杯羹，摻和摻和。但后來商鞅向秦王進諫說，現在秦還不夠強大，如果去幫魏國，魏國打贏了那些國家，回頭就會解決咱們；如果幫別的國家打魏國，那些國家打敗魏國之后恐怕也要順便解決了咱們。咱們最好還是誰也不惹，韜光養晦，讓那些國家之間殘殺，坐山觀虎斗，時機成熟了再出手，于是秦王為了不得罪魏國，乖乖地尊魏國為王，同時也與其它國家和好。此時秦國作為丙，讓那些強大的甲和乙

3、之間互相決斗，自己不出手，等待機會，正如丙作為輪流射擊的三個火槍手中的第一個的情況。待到后來，馬陵之戰后，魏國實力下降，而經過多年的發展，秦國實力逐漸上升，如果魏國還是甲的話，秦國至少已經是乙了，此時坐在旁邊看已經不是最佳策略，這是正趕上齊國、趙國的聯軍進攻魏國，秦軍也加入進去，魏國被打的滿地找牙，秦國也從魏國那里獲得了不少好處。再后來，秦國實力進一步增強，已經成了戰國七雄中的老大，稱得上“甲”了，可是魏國越來越衰，從當年的霸主踏入了第三世界，淪落成了“小丙”。在甲乙丙的博弈中，乙和丙常常會同時把槍口對準了甲，對于甲來說，如果能把丙拉到自己一邊將會很有利。于是秦國對待魏國的態度再次發生了轉變，

4、這是秦國的主要對手“乙”是齊國、楚國那些國家，魏國已經不再舉足輕重，所以秦國主要不再攻打魏國，而是拉攏魏國作為自己的同盟，一起攻打其它國家。在戰國后期，其它六國聯合到一起進攻秦國成為“合縱”，秦國把六國中較弱的國家拉攏過來，拆散聯盟成為“連橫”，最終“合縱”一直被“連橫”破壞，秦國得以逐一把六國滅掉。在戰國七雄稱霸中，秦國最后能夠滅六國統一中原除了依靠實力以外，在甲乙丙不同的實力對比階段，采取了正確的博弈策略也是制勝法寶之一。4 四邊形綜合知識目標目標一 掌握四種特殊四邊形的性質之間的聯系和區別目標二 掌握四種特殊四邊形的判定之間的聯系和區別目標三 綜合應用特殊四邊形的性質和判定知識導航四邊形

5、知識結構圖四邊形平行四邊形正方形菱形矩形一個角是直角兩組對邊矩形分別平行四邊形平行四邊形一組鄰邊相等菱形一組鄰邊相等正方形一個角是直角題型一 特殊四邊形的判定綜合例1如圖，在四邊形ABCD中，E、F分別為對角線BD上的兩點，且BE=DF。（1） 若四邊形AECF是平行四邊形，求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（2） 若四邊形AECF是菱形，則四邊形ABCD是菱形嗎？請說明理由；（3） 若四邊形AECF是矩形，則四邊形ABCD是矩形嗎？不必寫出理由。練如圖，ABC中，AB=AC，AD是BAC的角平分線，點O為AB的中點，連接DO并延長到點E，使OE=OD，連接AE、BE。（1） 求證：四邊形AE

6、BD是矩形；（2） 當ABC滿足什么條件時，矩形AEBD是正方形，并說明理由。題型二 折疊問題例2一張矩形ABCD的紙片，按如圖操作：將ABE沿BE翻折，使點A落在對角線BD上的M點，將CDF沿DF翻折，使點C落在對角線BD上的N點。（1） 求證：四邊形BFDE是平行四邊形；（2） 若四邊形BFDE是菱形，AB=2，求菱形BFDE的面積。練如圖，在矩形ABCD中，E是BC的中點，將ABE沿AE折疊后得到AFE，點F在矩形ABCD內部，延長AF交CD于點G。（1） 猜想線段GF與GC有何數量關系？并證明你的結論；（2） 若AB=3，AD=4，求線段GC的長。例3如圖，將一張矩形紙片ABCD沿直線

7、MN折疊，使點C落在點A處，點D落在點E處，直線MN交BC于點M，交AD于點N，連接CN。（1） 如圖1，求證：CM=CN；（2） 如圖1，若CMN的面積與CDN的面積比為3:1，求的值；（3） 如圖2，已知點P、Q、T分別是CM、CN、MN上的動點，若AN=3，BM=1，試直接寫出PT+QT的最小值_。練如圖所示，現有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點P為正方形AD邊上的一點（不與點A、點D重合）將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH。（1） 求證：APB=BPH；（2） 當點P在邊AD上移動時，PDH的周長是否發生變化？并證明你的結論；

8、（3） 若AP=1，求四邊形EFGP的面積。 備用圖拓如圖所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=，點E是折線段ADC上的一個動點，（點E與點A不重合），點P是點A關于BE的對稱點。使PCB為等腰三角形的點E的位置共有_個。題型三 四邊形綜合問題例4已知等腰RtABC，以BC為邊作BCEH，連AE，以AE為斜邊再作等腰RtADE，連DC、HC。（1）如圖1，當四邊形BCEH為矩形時，CH與CD之間有何數量關系？請證明；（2）如圖2，當四邊形BCEH為BCEH時，試探究CH與CD之間有何數量關系，并證明；（3）如圖3，若DC與AE交于P點，與AB交于Q點，當圖形變換過程中，AEC是否可以為等邊三角

9、形，若可以，則 (直接寫出答案) 圖1 圖2 圖3練在ABCD中，ADC的平分線交直線BC于點E、交AB的延長線于點F，連接AC。（1）如圖1，若ADC=90°，G是EF的中點，連接AG、CG；求證：BE=BF請判斷AGC的形狀，并說明理由；（2）如圖2，若ADC=60°，將線段FB繞點F順時針旋轉60°至FG，連接AG、CG。那么AGC又是怎樣的形狀。（直接寫出結論不必證明） 圖1 圖2例5（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F是AD延長線上一點，且DF=BE，求證：CE=CF；（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點，G是AD上一點，如果

10、GCE=45°，請你利用（1）的結論證明：GE=BE+GD;（3）運用（1）（2）解答中所積累的經驗和知識，完成下題：如圖3，在直角梯形ABCD中，ADBC（BC>AD），B=90°，AB=BC，E是AB上一點，且DCE=45°，AD=6，DE=10，直接寫出直角梯形ABCD的面積。 圖1 圖2 圖3練如圖，正方形ABCD的邊長為1，M、N分別為射線CB和射線DC上的點。（1）如圖1，M、N分別為射線CB和射線DC上的點，MAN=45°，延長CD到E，使DE=BM，連接AE，則ABMADE(SAS)，請證明：NAENAM；（2）如圖2，若DN=BM

11、+MN，求證：MAN=45°；（3）在（2）的條件下，若C為DN的中點，請直接寫出MN的長為 。 圖1 圖2例6如圖1，已知ABCD，AB=CD, A=D.（1）求證:四邊形ABCD為矩形；（2）E是AB邊的中點，F為AD邊上一點，DFC=2BCE;如圖2，若F為AD的中點，DF=1.6，求CF的長度；如圖3，若CE=4，CF=5，則AF+BC= ，AF= . 圖1 圖2 圖3練四邊形ABCD為矩形，G是BC上的任意一點，DEAG于點E.（1）如圖1，若AB=BC，BFDE，且交AG于點F，求證：AF-BF=EF;（2）如圖2，在（1）條件下，,求;（3）如圖3，連EC，若CG=CD

12、，DE=2，GE=1，則CE= .（直接寫出結果） 圖1 圖2 圖3例7如圖1，正方形ABCD的邊長為6cm,點F從點B出發，沿射線AB方向以1cm/秒的速度移動，點E從點D出發，向點A以1cm/秒的速度移動（不到點A）.設點E、F同時出發移動t秒.（1）在點E、F移動過程中，連接CE、CF、EF，則CEG的形狀是 ，始終保持不變；（2）如圖2，連接EF，設EF交BD于點M，當t=2時，求AM的長；（3）如圖3，點G、H分別在邊AB、CD上，且cm,連接EF，當EF與GH的夾角為45°，求t的值.例8如圖1，點E為正方形ABCD的邊AB上一點，EFEC，且EF=EC，連接AF.（1）

13、求EAF的度數；（2）如圖2，連接FC交BD于M，交AD于N；求證：；若，AN=12，則MD的長為 . 圖1 圖2第4講 課后作業1、 如圖，ABC的中線BD、CE相交于點O，F、G分別為OB、OC的中點。（1） 求證：EG和FD互相平分；（2） 當圖中的線段OA滿足什么條件時，四邊形DEFG是菱形，并說明理由。2、 如圖，四邊形ABCD是一張矩形紙片，AB=6，AD=8，在AB上取一點E，將紙片沿DE翻折，使點A落在BD上的點F處，求AE的長。3、 以四邊形ABCD的邊AB、AD為邊分別向外側作等邊ABF和等邊ADE，連接EB、FD，交點為G。（1） 當四邊形ABCD為正方形時（如圖1），E

14、B和FD的數量關系是_;（2） 當四邊形ABCD為矩形時（如圖2），EB和FD具有怎樣的數量關系？并加以證明；（3） 四邊形ABCD由正方形到矩形到一般平四邊形變化過程中，EGD是否發生變化？如果改變，請說明理由；如果不變，請在圖3中求出EGD的度數。 圖1 圖2 圖34、 如圖，正方形ABCD中，點P是邊BC上一點，PHBC交BD于點H，連接AP交BD于點E，點F為DH中點，PF交CD的延長線于點M，連接AF。（1） 求證：PHFMDF；（2） 當點P在線段BC上運動時，PAF的大小是否會發生變化？若不變，請求出PAF的值；若變化，請說明理由。5、 如圖，矩形ABCD中，E是AD中點，將ABE沿BE翻折