1、2009年全國初中數學聯合競賽試題參考答案第二試 （A）一（本題滿分20分）已知二次函數的圖象與軸的交點分別為A、B，與軸的交點為C.設ABC的外接圓的圓心為點P.（1）證明：P與軸的另一個交點為定點.（2）如果AB恰好為P的直徑且，求和的值.解: （1）易求得點的坐標為，設，則，.設P與軸的另一個交點為D，由于AB、CD是P的兩條相交弦，它們的交點為點O，所以OAOBOCOD，則.因為，所以點在軸的負半軸上，從而點D在軸的正半軸上，所以點D為定點，它的坐標為(0,1). （2）因為ABCD，如果AB恰好為P的直徑，則C、D關于點O對稱，所以點的坐標為，即. 又，所以，解得. 二（本題滿分25

2、分）設CD是直角三角形ABC的斜邊AD上的高，、分別是ADC、BDC的內心，AC3，BC4，求.解 作EAB于E，FAB于F.在直角三角形ABC中，AC3，BC4，.又CDAB，由射影定理可得，故，. 因為E為直角三角形ACD的內切圓的半徑，所以.連接D、D，則D、D分別是ADC和BDC的平分線，所以DCDADCDB45，故D90，所以DD，. 同理，可求得，. 所以. 三（本題滿分25分）已知為正數，滿足如下兩個條件： 證明：以為三邊長可構成一個直角三角形.證法1 將兩式相乘，得，即， 即，即， 即，即，即，即，即， 所以或或，即或或.因此，以為三邊長可構成一個直角三角形. 證法2 結合式，

3、由式可得，變形，得 又由式得，即，代入式，得，即. ， 所以或或.結合式可得或或.因此，以為三邊長可構成一個直角三角形. 第二試 （B）一（本題滿分20分）題目和解答與（A）卷第一題相同.二 （本題滿分25分） 已知ABC中，ACB90，AB邊上的高線CH與ABC的兩條內角平分線 AM、BN分別交于P、Q兩點.PM、QN的中點分別為E、F.求證：EFAB. 解 因為BN是ABC的平分線，所以.又因為CHAB，所以，因此. 又F是QN的中點，所以CFQN，所以，因此C、F、H、B四點共圓. 又，所以FCFH，故點F在CH的中垂線上. 同理可證，點E在CH的中垂線上.因此EFCH.又ABCH，所以EFAB. 三（本題滿分25分）題目和解答與（A）卷第三題相同. 第二試 （C）一（本題滿分20分）題目和解答與（A）卷第一題相同. 二（本題滿分25分）題目和解答與（B）卷第二題相同. 三（本題滿分25分）已知為正數，滿足如下兩個條件： 是否存在以為三邊長的三角形？如果存在，求出三角形的最大內角.解法1 將兩式相乘，得，即， 即，即， 即，即，即，即，即， 所以或或，即或或.因此，以為三邊長可構成一個直角三角形，它的最大內角為90.解法2 結合式，由式可得，變形，得 又