1、第六章 定積分的應用本章將應用第五章學過的定積分理論來分析和解決一些幾何、物理中的問題，其目的不僅在于建立這些幾何、物理的公式，而且更重要的還在于介紹運用元素法將一個量表達為定積分的分析方法。一、教學目標與基本要求：使學生掌握定積分計算基本技巧；使學生用所學的定積分的微元法（元素法）去解決各種領域中的一些實際問題；掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積、變力作功、引力、壓力及函數的平均值等）二、本章教學內容的重點難點：找出未知量的元素（微元）的方法。用元素法建立這些幾何、物理的公式解決實際問題。運用元素法將一

2、個量表達為定積分的分析方法§6.1定積分的微小元素法一、內容要點1、復習曲邊梯形的面積計算方法，定積分的定義面積面積元素=2、計算面積的元素法步驟：（1）畫出圖形； （2）將這個圖形分割成個部分，這個部分的近似于矩形或者扇形；（3）計算出面積元素；（4）在面積元素前面添加積分號，確定上、下限。二、教學要求與注意點掌握用元素法解決一個實際問題所需要的條件。用元素法解決一個實際問題的步驟。§6.2 定積分在幾何中的應用一、內容要點1、在直角坐標系下計算平面圖形的面積方法一面積元素=，面積=第一步：在邊界方程中解出的兩個表達式，.第二步：在剩下的邊界方程中找出的兩個常數值，；不夠

3、時由解出， ，面積=方法二 面積元素=，面積=第一步：在邊界方程中解出的兩個表達式，.第二步：在剩下的邊界方程中找出的兩個常數值，；不夠時由解出， ，面積=例1 求，圍成的面積解，。當時，于是面積例2 計算圍成的面積解 由，得，當時 面積=18。2、在曲邊梯形、（）中，如果曲邊的方程為參數方程為，則其面積 =，其中例3 求軸與擺線,圍成的面積解 面積 例4 星形線()圍成的面積. 解 面積=3、極坐標系下計算平面圖形的面積。極坐標曲線圍成的面積的計算方法：解不等式，得到。面積=4、平行截面面積為已知的空間物體的體積過軸一點作垂直于軸的平面，該平面截空間物體的截面面積為，,則該物體的體積 例1

4、一空間物體的底面是長半軸，短半軸的橢圓，垂直于長半軸的截面都是等邊三角形，求此空間體的體積。解 截面面積5、旋轉體體積在上 ，曲線、直線圍成的曲邊梯形1）繞軸旋轉一周形成旋轉體，其截面面積，旋轉體體積。2）繞軸旋轉一周形成旋轉體：位于區間x,x+dx上的部分繞軸旋轉一周而形成的旋轉體體積，原曲邊梯形繞軸旋轉一周形成的旋轉體體積。 例2擺線與x軸圍成的圖形1）繞軸旋轉形成的旋轉體體積 =2）繞軸旋轉形成的旋轉體體積 = 3）繞旋轉形成的旋轉體的截面面積。繞旋轉形成的旋轉體體積 例3 求心形線與射線、圍成的繞極軸旋轉形成的旋轉體體積解 心形線的參數方程為，旋轉體體積=6、平面曲線的弧長 曲線方程自

5、變量的范圍弧微分弧長顯函數參數方程極坐標表中當時，弧微分。例1求擺線的長解，。弧長例2擺線上求分擺線第一拱成1：3的點的坐標解設A點滿足要求，此時。根據例2擺線第一拱成弧長，。由條件弧OA的長為，即,點A的坐標為例3 求星形線的全長解星形線的參數方程為, , ,，.弧長。例4 求對數螺線上到的一段弧長解 ，弧長=二、教學要求與注意點掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積一、直角坐標的情形定理1：由兩條連續曲線, 以及直線x=a,x=b所圍平面圖形的面積為：證明：有微小元素法：,則注意：1 從幾何意義容易看出2

6、 若無這一條件，則面積3 同理，曲線與y=c,y=d所圍區域的面積為，其中例1：求拋物線及其點和處的切線所圍成圖形的面積解：在點處，切線方程 在點處，切線方程 得交點 定理2：若平面曲線由參數方程給出，且在連續，則曲線與x=a,x=b 以及x軸所圍的曲邊梯形的面積為：例1 求擺線x=a(t-sint),y=a(1-cost) (a>0)的一拱與x軸所為的面積解：二、極坐標的情形定理3：設曲線且 在上連續，非負則有曲線與射線所圍區域（稱為曲邊扇形）的面積為：證明：又微小元素法上的面積微元是：，所以 例1、 求雙紐線所圍的平面圖形的面積。解：又由圖形的對稱性以及公式有：例2、求由曲線所圍圖形

7、公共部分的面積解：兩曲線的交點+ 體積一、 平行截面面積為已知的立體體積定理一：設V是位于a,b間的一空間立體，A(x)（）是截面積的函數，且在a,b上連續，則立體V的體積為證明：在x,x+dx上的體積微元是dV=A(x)dx,則體積為：例1：求由圓柱面所圍立體的體積解：由于對稱性，我們只要求第一卦限立體體積，過x點（）且垂直于x軸的平面與該立體的截面為邊長為的正方形，則二、 旋轉體的體積旋轉體是一種特殊的空間立體，它是一條平面圖形饒平面一直線l旋轉一周所得，特別地，直線為x軸，一般地，設旋轉體由曲線y=f(x),x=a,x=b,以及x軸所圍的曲邊梯形饒x軸旋轉一周所得的一個立體，用垂直于x軸

8、的平面去截立體得到截面面積為A(x)=,則旋轉體的體積為：例1例3、過點作拋物線的切線，求該切線與拋物線及軸所圍平面圖形繞軸旋轉而成的旋轉體體積解：設切點為切線方程Q 切點在切線上，（3,1）0 1 2 3 ， 切線方程：平面曲線的弧長一、直角坐標系定理1：設y=f(x)在a,b上連續，且有一階連續導數，則 y=f(x) 在a,b上的弧長為這由弧微分很容易推導出來。例1曲線相應于的一段解：1. 二、參數方程的情形 當曲線以參數方程 給出時要求t由時的曲線弧長。由弧微分容易知道：例1擺線 的一拱 3. 三、極坐標的情形定理3：若曲線的極坐標方程為,那么相應于的一段弧長為：例1：心形線的全長 ，=

9、8a=8a(3) §6.3定積分在物理中的應用一、內容要點1、變力沿直線運動所做的功如左圖，設dx很小，物體在變力 的作用下從點x移動到點x+dx所做的功元素為，從點a移動到點b, 在變力所做的功 例1一物體按規律直線運動，所受的阻力與速度的平方成正比，計算物體從 運動到時，克服力所做的功。 解 位于處時物體運動的速度，所受的阻力。如圖從點x運動到點x+dx所做的功元素。物體從運動到時，克服力所做的功。 例2一個圓拄形水池，底面半徑5米，水深10米，要把池中的水全部抽出來，所做的功等于多少？（水的密度=1）解如圖，將位于處、厚度為的薄層水抽出來，其質量密度體積，當薄層水的厚度很小時，

10、所做的功元素。要把池中的水全部抽出來，所做的功例3一條均勻的鏈條長，質量，懸掛于某建筑物頂部，需做多少功才能把它全部拉上建筑物頂部解如圖，將位于處、長度為的一小段拉到頂部，其質量為，所做的功元素。全部拉上建筑物頂部所做的功2、液體的壓力例4 一塊矩形木板長10米，寬5米。木板垂直于水平面，沉沒于水中，其一寬與水面一樣高，求木板一側受到的壓力。（水的密度=1）解如圖，木板在處所受的壓強為。位于處、長為5米、寬為米的小矩形受到的壓力元素（噸）。整塊木板一側受到的壓力（噸）。3、引力例5 如圖一質量為的質點位于原點，一根密度為、長為的均勻細棒區間上，求細棒對質點的引力解位于處、長為的小段，其質量為，對質點的引力元素。細棒對質點的引力 例6 設星形線，上每一點處的線密度的大小