1、從一個問題的解決看教師發展的病與藥重慶南開中學 楊 飛 400030在今年重慶市高中新課程暑假培訓學習時，遇到幾位曾與我共事多年的物理教師和數學教師，他們向我提了一個問題：一塊水平放置的矩形木板上有1個靜止物體，當木板沿一條邊旋轉，然后又沿另一條邊旋轉，此時物體仍處于靜止狀態，求物體受的摩擦力的大小。據說此問題是他們學校一位學物理的校長提出來的，物理組的教師無法解答，一致認為是數學問題，可是數學老師也不能解答，他們請教教研員，還是無法解答。這個問題難倒了這么多教師，激起了我的好奇心和斗志，我的解答如下：原問題等價于求木板與水平面的二面角的大小。如圖，四邊形ABEF沿AB旋轉至矩形ABCD的位置

2、，矩形ABCD又沿AD旋轉至的位置。于是，顯然，二面角的大小為，二面角的大小為，求二面角的大小。解法1：設，二面角的大小為。由三面角公式可知：，.從而，物體所受摩擦力（為摩擦系數）.解法2：過D作平面ABEN，且，因四邊形ABCD為矩形，則，易知平面平面ABCD.又二面角的大小為，則二面角的大小為.由，則平面AOD.易知是二面角的平面角，即，令，則.令，則，.令二面角的大小為，則.從而，物體所受摩擦力（為摩擦系數）我用兩種方法解決了此問題，為什么幾位老同事和教研員都不能解答呢？讓人深感奇怪。將此問題請教我校一位年輕的物理教師，他說：“曾經做過，老老實實把二面角算出來就行了”。為什么幾位老教師和

3、教研員求不出二面角的大小呢？經過分析和思考，大致如下： 病癥1其他學科中部分教師患有數學解題能力貧乏癥在教學實踐中，筆者常遇到計算機、物理、化學和地理等學科的教師向數學教師請教一些問題，這些問題看似其他學科的問題，其實都可以轉化為數學問題。一些老師不能將問題轉化為數學問題；一些老師能轉化為數學問題，卻不能用數學方法解答。盡管教師常給學生講“數理不分家”，事實上，數學教師不會解物理題，物理教師不會解數學題在中學很普遍，既能主講數學又能主講物理的教師很少。象前面提到的問題，物理教師都知道是二面角問題，卻不能求出二面角的大小。原因在于這些教師患有數學解題能力貧乏癥，缺乏必要的數學解題能力。2應試教育

4、使數學教師患有知識狹窄癥和思維僵化癥解法1運用的三面角公式對數學教師應該不陌生，全國師范院校數學系都開設了朱德祥主編的初等幾何研究，該書對三面角進行了專門研究，還給出了三面角公式。人民教育出版社的高級中學實驗課本數學（年）中也給出了三面角公式。另外，全國各種競賽教程也給出了三面角公式。而解法2運用的是中學教學中熟知的射影面積法。為什么幾位老同事既沒想到三面角公式又不能運用射影面積法呢？原因在于：一些中學的應試教育愈演愈烈，基本上是“考什么，教什么”。 教師時刻把握高考命題規律，關注各個知識點命題概率的大小，各類考試題得分的難易程度，甚至總結出常見題型的解題方法和解題程序，三面角公式早已忘記，積

5、淀下來的唯一技能就是解高考題，從而患上了知識狹窄癥。另外，高考試題中的二面角問題都可以用常規方法解答，考題都給出圖形，條件中既有邊的數據，也有角的大小。而此問題沒有圖形，也沒有邊的數據，僅知兩個二面角的大小，和高考試題模型不同，所以，一旦教師患上思維僵化癥，精于解高考題的數學老教師就不及年輕的物理教師的思維活躍，固定的高考試題解答模式面對新問題就蒼白無力。3膜拜教育思想和理念，教研員患有專業知識荒蕪癥教研員既是一線教師的指導者，又是教育新思想、新理念傳播者，本是素質教育的急先鋒。為什么也不能解答這個問題呢？原因在于只重視教育理論和方針的吸收和傳播，忽視了對數學本身的鉆研。一些教研員對心理學、教

6、育學和數學教育等理論非常熟悉，甚至能寫出詩一般教育論文，讓中學教師贊嘆不已。但是，一些教研員和教育專家貧乏的數學素養也讓人驚詫，例如，一位小學教研員說“他不會解答初中數學題”，一位知名數學教育專家在報告中竟然說出“直線與雙曲線有4個交點”。曾有人問：“你們不懂數學，怎樣搞數學教育研究？如何指導一線教師？”他們回答：“數學和數學教育是兩個不同學科，不懂數學不會影響搞數學教育研究；足球教練不會踢球，照樣當教練，不懂數學難道就不能指導數學教師嗎？”可見，他們對教育思想和理念盲目膜拜，完全割裂數學與數學教育的關系。有些教研員過去迷戀目標教學，后來倡導研究性學習，現在又謳歌新課標精神，整天“理論不離口，

7、方針到處吼”，而對數學中的問題漠不關心，甚至不屑或不敢過問數學問題。雖然人們稱其為“專家”，其實他們并非數學人。處方1改變重教育理論輕專業技能的教師培訓觀念，實現數學與教育并進目前基礎教育培訓名目繁多，如國培計劃、西部教師培訓、特級教師培訓、培訓者培訓、骨干教師培訓。筆者有幸參加過一些培訓，發現這些培訓有一個共同特點重教育理論輕專業技能，培訓教師都是大學教授或知名專家，主講內容通常有三類，第一，國內外教育學或心理學的理論；第二，新課程改革和新課程標準中的思想和理念；第三，課堂教學的有效性策略。偶爾也有課堂教學觀摩或高考試題研究，針對學科專業技能的培訓很少。事實上，一線教師迫切需要是學科技能的培

8、訓。比如研究性學習，全日制高中課程計劃明文提出，要求研究性學習在高中每周平均課時為9課時，而目前的現狀是“有教材,無老師；有課表,不上課；口號響,無行動；著作多,無實效”，很多學校的研究性學習成果中沒有一個與數學學科密切相關的課題。為什么數學教師和學生不開展數學研究性學習呢？為什么新課標的精神和各種培訓在數學研究性學習中沒有產生效力呢？原因在于很多教師缺乏數學研究的習慣和興趣，連解答教學中的難題都很困難，哪有能力指導學生研究性學習。所以，提高學科專業技能才是教師實踐需要，只懂教育理論而缺乏數學探究的教師應該是“殘疾”，在教師培訓中有必要強化教師的專業技能，實現數學與教育并進。2開設新型的初等數

9、學研究，提高其他學科教師的數學解題能力在教學中，參加物理競賽和計算機競賽的學生愛問一些問題，個別問題讓物理教師和計算機教師為難，他們雖知道是數學問題，卻無法解答。這些問題所涉及的都是初等數學知識，而其他學科教師沒有學過初等數學研究，所學的高等數學又無能為力。在教學中沒有初等數學培訓的機會，他們的數學解題能力缺乏鍛煉和提高，部分年輕教師的數學解題能力較好一些，一些老教師的數學解題能力不及優秀的中學生。要提高其他學科教師的數學解題能力，有必要開設一門與其學科相關的初等數學研究課程，這門課程可以以選修課的形式在師范院校開設，也可以在教師培訓中開設，也可以作為教師的課外讀物。3加強數學應用與數學建模培

10、訓，提高數學教師應用數學的能力其他學科教師和其他學科競賽的學生所問的一些問題，雖然可以轉化為數學問題，但數學教師對這些問題并非得心應手，通常是陌生和茫然。由于數學教師缺乏這些學科知識，對于這些問題的背景生疏、甚至無知，即使一個簡單問題也需要其他學科教師解釋很久才能真正理解問題的含義和實質。顯然，數學教師要解答這些問題，必需具備理解問題背景的能力和數學建模的能力。要提高數學教師的這些能力，僅靠教育理論知識和課改精神是不夠的，必需對教師進行數學應用能力的培養和提升，迫切需要編寫一部切合中學教學實際的數學建模教材。該教材有別于大學數學建模教材，其內容必須與中學的計算機、物理、地理、化學、生物等學科密

11、切相關，所涉及的問題和難度必須符合中學教學實際。4開發校本課程和選修課，提高教師解決非常規問題的能力韓愈說：“師者，傳道授業解惑也”，這里的“惑”不能局限于教材上的習題和高考試題，應該是學生在學習過程中所有與數學相關的問題，既包括其他學科中涉及的數學問題，也包括生活實踐中抽象出來的數學問題，這就要求數學教師具備靈活的數學思維能力和解決非常規問題的能力。但知識不等于“解惑”能力，數學中的解惑不是對知識的簡單復述，而是對知識的加工和再創造。要提高教師解決非常規問題的能力，閱讀幾本大學教材意義不大，多參加幾次培訓也未必有明顯效果，最佳方法是教師主動參與解題錘煉和課程開發。值得一提是，這里的的課程開發不是課堂教學的簡單延續和拓展，而是對其他學科問題和生活中的實際問題進行提煉、