1、第六章 簡單超靜定問題§61超靜定結構概述1. 定義2.用靜力學平衡方程無法確定全部約束力和內力的結構或結構系統，統稱為超靜定結構或系統，也稱為靜不定結構或系統。圖61 靜定結構與幾何可變系2. 靜定、超靜定結構（系統）無多余聯系的幾何不變的承載結構系統，其全部支承反力與內力都可由靜力平衡條件求得，此系統稱為靜定結構或系統。靜定結構除了變形外，沒有可運動的自由度（圖6-1（a、b）圖62超靜定結構如解除簡支梁的右端鉸支座，或解除懸臂梁固端對轉動約束，使之成為鉸支座，則此時的梁變成了圖6.1（c）的可動機構，是幾何可變系不能承受橫向載荷。在無多余聯系的幾何不變的靜定系統上增加約束或聯系

2、，稱為多余約束，并因而產生多余約束反力，則這樣的有多余約束的系統，僅利用靜力平衡條件無法求得其反力和內力，稱為超靜定（或靜不定）系統。如圖6-2所示。3. 靜不定次數的確定 在超靜定問題中，都存在維持平衡所必需的支座或桿件，習慣上稱其為“多余”約束。由于多余約束的存在，未知力的數目必然多于獨立平衡方程的數目。未知力數目超過獨立方程數的數目，稱為超靜定次數。因此，超靜定次數就等于多余約束或多余未知力的數目。4. 基本靜定系（靜定基），相當系統 解除靜不定結構的某些約束后得到靜定結構，稱為原靜不定結構的基本靜定系（簡稱靜定基）。靜定基的選擇可根據方便來選取，同一問題可以有不同選擇。在靜定基上加上外

3、載荷以及多余約束力的系統稱為超靜定結構的相當系統。5.解超靜定問題的步驟(1) 建立相當系統，列靜力學平衡方程。(2) 觀察靜定基在多余約束處的變形與實際相協調的關系式-建立變形協調方程。(3) 建立物理方程（如胡克定律，熱膨脹規律等）。(4) 聯立靜力平衡方程以及根據變形協調方程和物理方程所建立的補充方程，求出未知力（約束力或內力）。注意：注意：變形協調條件應使靜定基變形與原超靜定結構相一致。§62 拉壓超靜定問題 拉壓超靜定問題解法【例21】 如圖a所示，已知等截面直桿的兩端固定，求A，B處的約束反力，。圖a【解】此結構的約束力個數為2，獨立平衡方程數為1，屬于一次超靜定問題 （

4、1） 靜力平衡方程圖b如圖b所示解除B處約束，即得相應靜定基，靜定基上除B處給以相應約束力外，還作用有P，。 由得 即 （a）（2）變形協調方程 （b） （3）物理方程由胡克定律 = ，= （c）將（c）式代入（b）式得補充方程 或 （d）（4）求解 （a）、（d）式得，（） ，（） 裝配應力和溫度應力裝配應力：由于裝配誤差使構件尺寸相應變化，引起結構變形而產生的應力。溫度應力：由于溫度變化使構件尺寸相應變化，引起結構變形而產生的應力。溫度應力、裝配應力問題一般可應用超靜定的解法解決。【例2-2】圖示所示為超靜定桿系結構，1，3桿的拉伸剛度為E1A1，2桿的為E2A2，已知中間桿2加工制作時短

5、了，試求三桿在D點鉸接在一起后各桿的內力。【解】圖中紅線為裝配后的位置，藍線AD、CD為1、3桿裝配前的位置，由變形知1、3桿的軸力及為壓力，2桿的為張力，D點的受力圖如圖b。（1） 靜力平衡方程 （a）（2） 變形協調條件 （b） （3）物理方程 （c）由（b），（c）得補充方程 （d） 由（a），（d）解得： 【例2-3】如圖所示，等直趕AB的兩端分別與剛性支承連接。設兩支承間的距離（即桿長）為,桿的橫截面積為A， 材料的彈性模量為E，線膨脹系數為。試求溫度升高時桿內的溫度應力。【解】1）由靜力平衡方程 （a）此結構的約束力個數為2，獨立平衡方程數為1，屬于一次超靜定問題 2）變形協調方程

6、 (b) 是桿件因作用而產生的縮短；是溫度上升時的伸長。3）物理方程， （c）由（c），（b）式得補充方程即有應力為 (d)結果為正，說明當初設定桿受軸向壓力是對的，故該桿的溫度應力是壓應力。 對于鋼桿，則當溫度升高時，桿內的溫度應力由式（d）算得為 （壓應力）以上結果表明，在超靜定結構中，溫度應力是一個不容忽視的因素。在鐵路鋼軌接頭處，以及混凝土路面中，通常都留有空隙；高溫管道隔一段距離要設一個彎管，都為考慮溫度的影響，調節因溫度變化而產生的伸縮。如果忽視了溫度變化的影響，將會導致破壞或妨礙結構物的正常工作。§6-3扭轉超靜定問題有些受扭桿件，其支反力偶矩或桿內的扭矩，僅靠靜力學條

7、件無法求解，即未知力的數目超過靜力學平衡方程的數目，這類問題稱為扭轉超靜定問題。 【例2-4】 如圖所示等直圓桿，已知 KN·m，試求桿兩端的支反力偶矩。【解】設兩端約束扭轉力偶為，（1）由靜力平衡方程得 （a）此題屬于一次超靜定。 （2）由變形協調方程（可解除B端約束），用變形疊加法有 （b）（3）物理方程， （c）由式（c），（b）得 即 假設的力偶轉向正確。§6-4 簡單超靜定梁1、 處理方法：變形協調方程、物理方程與靜力學平衡方程相結合，求全部未知力。【例2-5】結構如圖，求B點反力。 【解】1） 建立靜定基2）幾何方程變形協調方程：3） 物理方程變形與力的關系4）

8、補充方程 本章小結1、 靜定、超靜定結構與超靜定次數靜定結構（或系統）：無多余聯系的幾何不變的承載結構系統，其支承反力及內力都可由靜力學平衡方程求得，靜定結構除了受力變形外，沒有可運動的自由度。超靜定結構：在靜定系統上增加多余約束，因而增加了多余約束未知力，用靜力平衡方程不能確定其全部未知支承反力和內力的結構系統，稱為超靜定結構（或系統）。超靜定次數：超靜定結構的所有未知支承反力和內力的總數與結構所能提供的獨立的靜力平衡方程數之差，即為此結構的超靜定次數（或階數）。2、 靜定系（靜定基）與相當系統 解除靜不定結構的某些約束后得到的靜定結構，稱為原靜不定結構的基本靜定系（又叫靜定基）。在基本靜定系上加上外載荷和多余約束力，這樣的系統稱為相當系統。典型習題典型習題61 設1、2、3三桿用鉸鏈