1、第八章點的合成運動§8-1 點的絕對運動 相對運動和牽連運動將一種復雜的運動看成由兩種簡單運動的組合圖8-1例：由南岸向北岸劃船，如圖8l。由于水流的影響，小船偏向下游。如相對坐標系oxy（順水流），小船朝北方向行駛則，相對于地面(坐標系0xy)，則朝北偏東方向航行。即：小船相對于地面的運動，可以由小船相對于水流的運動和隨同水流的運動組合而成。可以歸結為一個動點對于兩個不同的坐標系運動的問題。動點：所要研究的點（即研究對象），依問題選取； 動系：和某一運動剛體固連的坐標系；定系：一般和地球（或機架）固連的坐標系（也稱靜系）； 牽連點： 某瞬時在動坐標系上與動點相重合的點，稱為該瞬時動

2、點的牽連點。注意：(1)牽連點和動點是不同剛體上的兩個點；(2)牽連點在不斷變化著。（因為動點在運動，不同瞬時有不同的牽連點例1 汽車內行走的人。汽車以速度V向前運動，人以速度U相對汽車向前運動，研究人的運動。從車廂觀察，人的速度為U，從地面觀察，人的速度為VU （圖8-2（a）。圖8-2（a）圖8-2（b）分析這一問題，需注意：一點（動點），二系（動、靜系），三運動(絕對、相對、牽連)（牽連點；座位）（圖8-2（b）具體表示三種運動的量: 絕對軌跡、絕對位移、絕對速度、絕對加速度相對軌跡、相對位移、相對速度、相對加速度牽連軌跡、牽連位移、牽連速度、牽連加速度三種運動的“關系”： 絕對運動 牽

3、連運動 相對運動 運動合成與分解§8-2點的速度合成定理圖8-3設動點：M，靜坐標系oxy（如圖83）某瞬時，動點M與曲線c上的l點重合，一段時間，曲線c隨同動坐標系運動到M相對運動：在動坐標系中沿曲線c運動，牽連運動：曲線c隨動坐標系在靜系中運動，絕對位移：MM牽連位移：MM1，相對位移：M1M由矢量三角形MM1M可見： MM=MM1+M1M將上式各項同除以t，并取極限，得即： （1）速度合成定理。該式表明：動點的絕對速度等于同一瞬時它的牽連速度與相對速度的矢量和。公式中包含有絕對速度va、牽連速度ve、和相對速度vr的大小和方向共六個未知量，如果知道其中任意四個未知量則另兩個量可

4、求。注意：速度合成定理適用于任何形式的牽連運動，應用時一定要先做速度平行四邊形，并注意三個速度之間的關系！va一定是平行四邊形對角線！復雜運動=簡單運動+簡單運動絕對運動=牽連運動+相對運動圖84例1 圖84所示機構中，曲柄0A長12cm，當0A繞軸O以勻角速度7rads轉動時，滑套A帶動桿OlB“繞軸O1轉動，已知00l20cm，求：O1OA900時，桿01B的角速度。分析：絕對運動：滑套A繞軸0的運動，相對運動：在動坐標系中滑套A相對于曲柄的運動，牽連運動：桿OlB繞軸Ol的轉動。解：動點：A（滑套上） ，動系：在曲柄oA上，靜系：在機構的基座上。 根據速度合成定理可知：va=ve+vr大

5、小？方向垂直于0A垂直于桿OlB沿O1B作如圖8-4所示矢量平行四邊形，可得牽連速度： 再取O1B桿為研究對象，定袖轉動的O1B桿與點A相重合的點的速度求出后，即可求出O1B桿角速度為： 圖85例2凸輪機構如圖85所示，凸輪的半徑為r，偏心距OCe。凸輪以角速度繞固定軸O轉動，頂桿沿鉛直滑槽運動，O軸位于AB的延長線上。求：OCOA時，頂桿AB的速度。分析：頂扦AB作平動，桿上A點的速度就是頂桿AB作平動的速度。絕對運動：動點A沿滑槽的直線運動，相對運動：沿凸輪的輪廓曲線的圓周運動，牽連運動：凸輪繞固定軸o的定軸轉動。解：動點：A（頂桿上），靜系：在機構的基礎上動系：在凸輪上，（相對軌跡為凸輪

6、的輪廓曲線）根據速度合成定理可知：va=ve+vr大小？方向沿鉛直方向垂直轉動半徑沿凸輪的輪廓曲線的切線方向畫出速度矢量圖（8-5），即可求出絕對速度（頂桿AB的速度）的大小：注：速度圖總為平行四邊形，故一般借助幾何關系求解（幾何法）。解題步驟：（一）選動點、動系（及靜系可默認為地面）；（二）分析動點的各種運動，畫運動圖（速度、加速度圖）；（三）求解。§8-3 牽連運動為平動時的加速度合成定理速度合成定理在前面已經得到，這里再系統推一下。圖86動點：M，靜系：Oxyz，動系：O'x'y'z'。靜系中：動系中 ： （i、j、k與i、j、k均為單

7、位矢量）當牽連運動為平動時，則：由于動坐標系作平動，單位矢量方向不變，是常矢量，對時間的導數為零，于是：而牽連平動時： ，各式聯立可得： 由此可見；當牽連運動為平動時，在任一瞬時，動點的絕對加速度等于動點的牽連加速度與相對加速度的矢量和。這就是牽連運動為平動時的加速度合成定理。在矢量表達式中，如有一項可以按切線和法線方向分解，則上式可根據不同的情況寫成如下形式：或：兩式的區別在于究竟是相對運動還是絕對運動的軌跡是曲線。 在以上兩個式子的四個分量中，矢量的大小和方向共八個量，只要不超過兩個未知數，都能利用解析的方法求出。例3（求速度）圖示機構，半圓凸輪半徑為R，速度為v，已知。求AB桿的角速度。

8、圖87分析：機構運動情況：凸輪平動，桿轉動。動點選凸輪圓心O，動系選桿可解牽連速度，AB角速度即知。絕對運動：沿水平直線運動；相對運動：與AB 平行的直線運動；牽連運動：轉動。動點、動系有幾種選法？為什么不選其它的？解：動點：凸輪圓心O，動系：AB桿，靜系：地面根據速度合成定理可畫速度圖（8-7）。且：由速度圖可知：而：圖88例4（求加速度）平行四連桿機構（雙曲柄機構）。AB = CD = r，BC = AD = l，。均已知，求：小環M的加速度。解： 動點：M，動系：BC桿，靜系：地面可畫加速度圖（圖88）。牽連加速度與B點相同：由加速度合成定理：在y軸上投影： 注意：投影時，方程兩邊應分別

9、投影，不能任意移項。§8-4 牽連運動為轉動時的加速度合成定理動點M，靜系Oxyz，動系Oxyz（圖89）。設動系繞z軸轉動，角速度、角加速度 則動點M的牽連速度及牽連加速度可按公式表示為：而：與上一節不同的是，現在動坐標系作轉動，單位矢量i、j、k的方向是隨時間而變的，不再是常矢量。根據速度合成定理，動點M的絕對速度為： 分別研究這兩項：式中：代回前式得：式右邊的前三項之和就是相對加速度，而后三項需要加以說明。 可看成是矢徑k的一點即k的端點的速度，由隨同動坐標系繞z軸作轉動，因此k的端點的速度可表示為同理：于是：則：因此：上式中的2×vr，是牽連運動與相對運動

10、相互影響而附加的加速度，稱為科氏加速度。設以表示科氏加速度，則有：即：科氏加速度等于牽連運動的角速度與動點的相對速度的乘積的兩倍。所以，動點的絕對加速度的表達式為：牽連運動為轉動時的加速度合成定理。這式表明：當牽連運動為轉動時，在任一瞬時，動點的絕對加速度等于動點的牽連加速度、相對加速度與科氏加速度三者的矢量和。下面來確定科氏加速度的大小和方向(圖8-10（a）)：空間問題 方向：（右手法則）平面問題方向：沿轉90°兩個特殊情況：(1)如果vr，即vr在垂直于z軸的平面內，則vrnvr。此時且三者互相垂直，如圖8-10（b）所示。(2)如果vr即vr與z軸平行，則vyn0 此時。例5

11、滑塊M在圓盤內沿直槽AB運動，圓盤繞垂直于盤面的軸O轉動，如圖所示。當M在AB中點時，其沿直槽運動的速度和加速度分別為vr和，而圓盤轉動的角速度和角加速度分別為和，求該瞬時M對地面的加速度。分析：絕對運動M對地面的運動，相對運動：M在沿直槽的運動，牽連運動：圓盤轉動（圖8-11）。解： 動點：滑塊M，動系：圓盤，靜系：地面。（牽連運動為轉動） 牽連加速度有切向和法向兩個分量。大小為：方向分別如圖所示。相對加速度已知，如圖所示。科氏加速度方向如圖，大小為：根據加速度合成定理全加速度大小、方向為： 例6（求加速度）凸輪頂桿機構。已知凸輪偏心距OC = e，半徑勻角速度。當OC與CA垂直時，求AB的加速度。解：動點：A點（AB上），動系：凸輪，靜系：地面。（牽連運動為轉動）易知=30°，對速度畫加速度圖（8-10）兩個代數未知量，可解。根據加速度合成定理，在x逆方向投影：而： 由(1)式，得注