1、2011年小學(xué)奧數(shù)（知識點梳理）前言小學(xué)奧數(shù)知識點梳理，對于學(xué)而思的小學(xué)奧數(shù)大綱建設(shè)尤其必要，不過，對于知識點的概括很可能出現(xiàn)以偏概全掛一漏萬的現(xiàn)象，為此，本人參考了單尊主編的小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克、中國少年報社主編的華杯賽教材、華杯賽集訓(xùn)指南以與學(xué)而思的寒假班系列教材和華羅庚學(xué)校的教材共五套教材，力圖打破原有體系，重新整合劃分，構(gòu)建十七塊體系（其第十七為解題方法匯集，可補(bǔ)充相應(yīng)雜題），原則上簡明扼要，努力刻畫小學(xué)奧數(shù)知識的主樹干。 概述一、 計算1 四則混合運算繁分?jǐn)?shù)1 運算順序2 分?jǐn)?shù)、小數(shù)混合運算技巧一般而言： 加減運算中，能化成有限小數(shù)的統(tǒng)一以小數(shù)形式； 乘除運算中，統(tǒng)一以分?jǐn)?shù)形式。帶分?jǐn)?shù)與

2、假分?jǐn)?shù)的互化繁分?jǐn)?shù)的化簡2 簡便計算湊整思想基準(zhǔn)數(shù)思想裂項與拆分提取公因數(shù)商不變性質(zhì)改變運算順序 運算定律的綜合運用 連減的性質(zhì) 連除的性質(zhì) 同級運算移項的性質(zhì) 增減括號的性質(zhì) 變式提取公因數(shù)形如：3 估算求某式的整數(shù)部分：擴(kuò)縮法4 比較大小 通分a. 通分母b. 通分子 跟“中介”比 利用倒數(shù)性質(zhì)若，則c>b>a.。形如：，則。5 定義新運算6 特殊數(shù)列求和運用相關(guān)公式：1+2+3+4（n-1）+n+（n-1）+4+3+2+1=n二、 數(shù)論1 奇偶性問題奇奇=偶 奇×奇=奇奇偶=奇 奇×偶=偶偶偶=偶 偶×偶=偶2 位值原則形如：=100a+10b+

3、c3 數(shù)的整除特征：整除數(shù)特 征2末尾是0、2、4、6、83各數(shù)位上數(shù)字的和是3的倍數(shù)5末尾是0或59各數(shù)位上數(shù)字的和是9的倍數(shù)11奇數(shù)位上數(shù)字的和與偶數(shù)位上數(shù)字的和，兩者之差是11的倍數(shù)4和25末兩位數(shù)是4（或25）的倍數(shù)8和125末三位數(shù)是8（或125）的倍數(shù)7、11、13末三位數(shù)與前幾位數(shù)的差是7（或11或13）的倍數(shù)4 整除性質(zhì) 如果c|a、c|b，那么c|(ab)。 如果bc|a，那么b|a，c|a。 如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。 如果c|b,b|a,那么c|a. a個連續(xù)自然數(shù)中必恰有一個數(shù)能被a整除。5 帶余除法一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)（b0）,那么

4、一定有另外兩個整數(shù)q和r，0rb,使得a=b×q+r當(dāng)r=0時，我們稱a能被b整除。當(dāng)r0時，我們稱a不能被b整除，r為a除以b的余數(shù)，q為a除以b的不完全商（亦簡稱為商）。用帶余數(shù)除式又可以表示為a÷b=qr, 0rb a=b×q+r6. 唯一分解定理任何一個大于1的自然數(shù)n都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即n= p1× p2×.×pk7. 約數(shù)個數(shù)與約數(shù)和定理設(shè)自然數(shù)n的質(zhì)因子分解式如n= p1× p2×.×pk那么：n的約數(shù)個數(shù)：d(n)=(a1+1)(a2+1).(ak+1)n的所有約數(shù)和：（1+P1+P

5、1+p1）（1+P2+P2+p2）（1+Pk+Pk+pk）8. 同余定理 同余定義：若兩個整數(shù)a，b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a，b對于模m同余，用式子表示為ab(mod m) 若兩個數(shù)a，b除以同一個數(shù)c得到的余數(shù)相同，則a，b的差一定能被c整除。兩數(shù)的和除以m的余數(shù)等于這兩個數(shù)分別除以m的余數(shù)和。兩數(shù)的差除以m的余數(shù)等于這兩個數(shù)分別除以m的余數(shù)差。兩數(shù)的積除以m的余數(shù)等于這兩個數(shù)分別除以m的余數(shù)積。9完全平方數(shù)性質(zhì)平方差： A-B=（A+B）（A-B），其中我們還得注意A+B， A-B同奇偶性。約數(shù)：約數(shù)個數(shù)為奇數(shù)個的是完全平方數(shù)。 約數(shù)個數(shù)為3的是質(zhì)數(shù)的平方。質(zhì)因數(shù)分解：把數(shù)字分解

6、，使他滿足積是平方數(shù)。平方和。10孫子定理（中國剩余定理）11輾轉(zhuǎn)相除法12數(shù)論解題的常用方法：枚舉、歸納、反證、構(gòu)造、配對、估計三、 幾何圖形1 平面圖形多邊形的內(nèi)角和N邊形的內(nèi)角和=(N-2)×180°等積變形（位移、割補(bǔ)） 三角形內(nèi)等底等高的三角形 平行線內(nèi)等底等高的三角形 公共部分的傳遞性 極值原理（變與不變）三角形面積與底的正比關(guān)系 S1S2 =ab ； S1S2=S4S3 或者S1×S3=S2×S4相似三角形性質(zhì)（份數(shù)、比例） ; S1S2=a2A2S1S3S2S4= a2b2abab ; S=（a+b）2燕尾定理SABG：SAGCSBGE：

7、SGECBE：EC；SBGA：SBGCSAGF：SGFCAF：FC；SAGC：SBCGSADG：SDGBAD：DB；差不變原理知5-2=3，則圓點比方點多3。隱含條件的等價代換 例如弦圖中長短邊長的關(guān)系。組合圖形的思考方法 化整為零 先補(bǔ)后去 正反結(jié)合2 立體圖形規(guī)則立體圖形的表面積和體積公式不規(guī)則立體圖形的表面積整體觀照法體積的等積變形 水中浸放物體：V升水=V物 測啤酒瓶容積：V=V空氣+V水三視圖與展開圖 最短線路與展開圖形狀問題染色問題 幾面染色的塊數(shù)與“芯”、棱長、頂點、面數(shù)的關(guān)系。四、 典型應(yīng)用題1 植樹問題開放型與封閉型間隔與株數(shù)的關(guān)系2 方陣問題外層邊長數(shù)-2=內(nèi)層邊長數(shù)（外層

8、邊長數(shù)-1）×4=外周長數(shù)外層邊長數(shù)2-中空邊長數(shù)2=實面積數(shù)3 列車過橋問題車長+橋長=速度×時間車長甲+車長乙=速度和×相遇時間車長甲+車長乙=速度差×追與時間列車與人或騎車人或另一列車上的司機(jī)的相遇與追與問題車長=速度和×相遇時間車長=速度差×追與時間4 年齡問題差不變原理5 雞兔同籠假設(shè)法的解題思想6 牛吃草問題原有草量=（牛吃速度-草長速度）×時間7 平均數(shù)問題8 盈虧問題分析差量關(guān)系9 和差問題10 和倍問題11 差倍問題12 逆推問題 還原法，從結(jié)果入手13 代換問題 列表消元法 等價條件代換五、 行程問題1

9、相遇問題路程和=速度和×相遇時間2 追與問題路程差=速度差×追與時間3 流水行船順?biāo)俣?船速+水速逆水速度=船速-水速船速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2水速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷24 多次相遇線型路程： 甲乙共行全程數(shù)=相遇次數(shù)×2-1環(huán)型路程： 甲乙共行全程數(shù)=相遇次數(shù)其中甲共行路程=單在單個全程所行路程×共行全程數(shù)5 環(huán)形跑道6 行程問題中正反比例關(guān)系的應(yīng)用路程一定，速度和時間成反比。速度一定，路程和時間成正比。時間一定，路程和速度成正比。7 鐘面上的追與問題。 時針和分針成直線； 時針和分針成直角。8 結(jié)合分?jǐn)?shù)、工程、和差問

10、題的一些類型。9 行程問題時常運用“時光倒流”和“假定看成”的思考方法。六、 計數(shù)問題1 加法原理：分類枚舉2 乘法原理：排列組合3 容斥原理： 總數(shù)量=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC 常用：總數(shù)量=A+B-AB4 抽屜原理：至多至少問題5 握手問題在圖形計數(shù)中應(yīng)用廣泛 角、線段、三角形， 長方形、梯形、平行四邊形 正方形七、 分?jǐn)?shù)問題1 量率對應(yīng)2 以不變量為“1”3 利潤問題4 濃度問題倒三角原理例：5 工程問題 合作問題 水池進(jìn)出水問題6 按比例分配八、 方程解題1 等量關(guān)系 相關(guān)聯(lián)量的表示法例： 甲 + 乙 =100 甲÷乙=3 x 100-x 3x x解方程技巧

11、恒等變形2 二元一次方程組的求解代入法、消元法3 不定方程的分析求解以系數(shù)大者為試值角度4 不等方程的分析求解九、 找規(guī)律周期性問題 年月日、星期幾問題 余數(shù)的應(yīng)用數(shù)列問題 等差數(shù)列通項公式 an=a1+(n-1)d求項數(shù)： n=求和： S= 等比數(shù)列求和： S= 裴波那契數(shù)列策略問題 搶報30 放硬幣最值問題 最短線路a.一個字符陣組的分線讀法b.在格子路線上的最短走法數(shù) 最優(yōu)化問題a.統(tǒng)籌方法b.烙餅問題十、 算式謎1 填充型2 替代型3 填運算符號4 橫式變豎式5 結(jié)合數(shù)論知識點十一、 數(shù)陣問題1 相等和值問題2 數(shù)列分組知行列數(shù)，求某數(shù)知某數(shù)，求行列數(shù)3 幻方奇階幻方問題：楊輝法 羅伯

12、法偶階幻方問題：雙偶階：對稱交換法單偶階：同心方陣法十二、 二進(jìn)制1 二進(jìn)制計數(shù)法 二進(jìn)制位值原則 二進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制數(shù)的互相轉(zhuǎn)化 二進(jìn)制的運算2 其它進(jìn)制（十六進(jìn)制）十三、 一筆畫1 一筆畫定理：一筆畫圖形中只能有0個或兩個奇點；兩個奇點進(jìn)必須從一個奇點進(jìn)，另一個奇點出；2 哈密爾頓圈與哈密爾頓鏈3 多筆畫定理筆畫數(shù)=十四、 邏輯推理1 等價條件的轉(zhuǎn)換2 列表法3 對陣圖競賽問題，涉與體育比賽常識十五、 火柴棒問題1 移動火柴棒改變圖形個數(shù)2 移動火柴棒改變算式，使之成立十六、 智力問題1 突破思維定勢2 某些特殊情境問題十七、 解題方法（結(jié)合雜題的處理）1 代換法2 消元法3 倒推法4 假設(shè)

13、法5 反證法6 極值法7 設(shè)數(shù)法8 整體法9 畫圖法10 列表法11 排除法12 染色法13 構(gòu)造法14 配對法15 列方程 方程 不定方程 不等方程另外補(bǔ)充說明：在華校課本六年級中有“棋盤上的數(shù)學(xué)”三講，其實是找規(guī)律類型，知識點涉與棋盤格，幾何，數(shù)論等，屬于綜合性問題。匯總小學(xué)階段奧數(shù)知識點，包括小升初中?？嫉念}目類型等。有工程問題、行程問題、質(zhì)數(shù)合數(shù)問題等等。1.、小升初奧數(shù)知識點（年齡問題的三大特征）兩個人的年齡差是不變的；兩個人的年齡是同時增加或者同時減少的；兩個人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的；和差倍問題： 和差問題和倍問題差倍問題已知條件幾個數(shù)的和與差幾個數(shù)的和與倍數(shù)幾個數(shù)的差

14、與倍數(shù)公式適用范圍已知兩個數(shù)的和，差，倍數(shù)關(guān)系公式(和差)÷2=較小數(shù)較小數(shù)差=較大數(shù)和較小數(shù)=較大數(shù)(和差)÷2=較大數(shù)較大數(shù)差=較小數(shù)和較大數(shù)=較小數(shù)和÷(倍數(shù)1)=小數(shù)小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)和小數(shù)=大數(shù)差÷(倍數(shù)-1)=小數(shù)小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)小數(shù)差=大數(shù)關(guān)鍵問題求出同一條件下的和與差和與倍數(shù)差與倍數(shù)和差倍問題 和差問題 和倍問題 差倍問題 已知條件 幾個數(shù)的和與差 幾個數(shù)的和與倍數(shù) 幾個數(shù)的差與倍數(shù) 公式適用范圍 已知兩個數(shù)的和，差，倍數(shù)關(guān)系 公式 (和差)÷2=較小數(shù) 較小數(shù)差=較大數(shù) 和較小數(shù)=較大數(shù) (和差)÷

15、2=較大數(shù) 較大數(shù)差=較小數(shù) 和較大數(shù)=較小數(shù) 和÷(倍數(shù)1)=小數(shù) 小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù) 和小數(shù)=大數(shù) 差÷(倍數(shù)-1)=小數(shù) 小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù) 小數(shù)差=大數(shù) 關(guān)鍵問題 求出同一條件下的 和與差 和與倍數(shù) 差與倍數(shù) 2、小升初奧數(shù)知識點（植樹問題總結(jié)）:基本類型：在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都植樹 在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都不植樹 在直線或者不封閉的曲線上植樹，只有一端植樹基本公式 棵數(shù)=段數(shù)1 棵距×段數(shù)=總長 棵數(shù)=段數(shù)1 棵距×段數(shù)=總長 棵數(shù)=段數(shù) 棵距×段數(shù)=總長 關(guān)鍵問題 確定所屬類型，從而確定棵數(shù)

16、與段數(shù)的關(guān)系 3、雞兔同籠問題基本概念：雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設(shè)問題，就是把假設(shè)錯的那部分置換出來；基本思路：假設(shè)，即假設(shè)某種現(xiàn)象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：假設(shè)后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個差是多少；每個事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個差的原因；再根據(jù)這兩個差作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差。基本公式：把所有雞假設(shè)成兔子：雞數(shù)（兔腳數(shù)×總頭數(shù)總腳數(shù)）÷（兔腳數(shù)雞腳數(shù)）把所有兔子假設(shè)成雞：兔數(shù)（總腳數(shù)一雞腳數(shù)×總頭數(shù)）÷（兔腳數(shù)一雞腳數(shù)）關(guān)鍵問題：找出總量的差與單位量的差。4、奧數(shù)知識點（盈虧問題）盈虧問題基本概念：一定量的對象，按

17、照某種標(biāo)準(zhǔn)分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：按照另一種標(biāo)準(zhǔn)分組，又產(chǎn)生一種結(jié)果，由于分組的標(biāo)準(zhǔn)不同，造成結(jié)果的差異，由它們的關(guān)系求對象分組的組數(shù)或?qū)ο蟮目偭炕舅悸罚合葘煞N分配方案進(jìn)行比較，分析由于標(biāo)準(zhǔn)的差異造成結(jié)果的變化，根據(jù)這個關(guān)系求出參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對象的總量基本題型：一次有余數(shù)，另一次不足；基本公式：總份數(shù)（余數(shù)不足數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差當(dāng)兩次都有余數(shù)；基本公式：總份數(shù)（較大余數(shù)一較小余數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差當(dāng)兩次都不足；基本公式：總份數(shù)（較大不足數(shù)一較小不足數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差基本特點：對象總量和總的組數(shù)是不變的。關(guān)鍵問題：確定對象總量和總的組數(shù)。 5

18、、小升初奧數(shù)知識點（牛吃草問題）牛吃草問題基本思路：假設(shè)每頭牛吃草的速度為“1”份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差；再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長速度和總草量?；咎攸c：原草量和新草生長速度是不變的；關(guān)鍵問題：確定兩個不變的量?；竟剑?）生長量=（較長時間×長時間牛頭數(shù)-較短時間×短時間牛頭數(shù)）÷（長時間-短時間）；2）總草量=較長時間×長時間牛頭數(shù)-較長時間×生長量； 3）吃的天數(shù)原有草量÷（牛頭數(shù)草的生長速度）；4）牛頭數(shù)原有草量÷吃的天數(shù)草的生長速度。6、小升初奧數(shù)知識點（平均數(shù)問題）平均數(shù)基

19、本公式：平均數(shù)=總數(shù)量÷總份數(shù)總數(shù)量=平均數(shù)×總份數(shù)總份數(shù)=總數(shù)量÷平均數(shù)平均數(shù)=基準(zhǔn)數(shù)每一個數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)差的和÷總份數(shù)基本算法： 出總數(shù)量以與總份數(shù)，利用基本公式進(jìn)行計算.基準(zhǔn)數(shù)法：根據(jù)給出的數(shù)之間的關(guān)系，確定一個基準(zhǔn)數(shù)；一般選與所有數(shù)比較接近的數(shù)或者中間數(shù)為基準(zhǔn)數(shù)；以基準(zhǔn)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求所有給出數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差；再求出所有差的和；再求出這些差的平均數(shù)；最后求這個差的平均數(shù)和基準(zhǔn)數(shù)的和，就是所求的平均數(shù)，具體關(guān)系見基本公式7 、小升初奧數(shù)知識點（周期循環(huán)數(shù)）周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律周期現(xiàn)象：事物在運動變化的過程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。周期：我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)

20、過的時間叫周期。關(guān)鍵問題：確定循環(huán)周期。閏 年：一年有366天；年份能被4整除；如果年份能被100整除，則年份必須能被400整除；平 年：一年有365天。 年份不能被4整除；如果年份能被100整除，但不能被400整除；8、小升初奧數(shù)知識點（抽屜原理）抽屜原理抽屜原則一：如果把（n+1）個物體放在n個抽屜里，那么必有一個抽屜中至少放有2個物體。例：把4個物體放在3個抽屜里，也就是把4分解成三個整數(shù)的和，那么就有以下四種情況：4=4+0+0 4=3+1+0 4=2+2+0 4=2+1+1觀察上面四種放物體的方式，我們會發(fā)現(xiàn)一個共同特點：總有那么一個抽屜里有2個或多于2個物體，也就是說必有一個抽屜中

21、至少放有2個物體。抽屜原則二：如果把n個物體放在m個抽屜里，其中n>m，那么必有一個抽屜至少有:k=n/m +1個物體：當(dāng)n不能被m整除時。k=n/m個物體：當(dāng)n能被m整除時。理解知識點：X表示不超過X的最大整數(shù)。例4.351=4；0.321=0；2.9999=2；關(guān)鍵問題：構(gòu)造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據(jù)抽屜原則進(jìn)行運算。9、奧數(shù)知識點（定義新運算）基本概念：定義一種新的運算符號，這個新的運算符號包含有多種基本（混合）運算。 基本思路：嚴(yán)格按照新定義的運算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運算，然后按照基本運算過程、規(guī)律進(jìn)行運算。 關(guān)鍵問題：正確理解定義的運算

22、符號的意義。 注意事項：新的運算不一定符合運算規(guī)律，特別注意運算順序。 每個新定義的運算符號只能在本題中使用。小升初奧數(shù)知識點（數(shù)列求和）數(shù)列求和等差數(shù)列：在一列數(shù)中，任意相鄰兩個數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列?；靖拍睿菏醉棧旱炔顢?shù)列的第一個數(shù)，一般用a1表示；項數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個數(shù)，一般用n表示；公差：數(shù)列中任意相鄰兩個數(shù)的差，一般用d表示；通項：表示數(shù)列中每一個數(shù)的公式，一般用an表示；數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用Sn表示基本思路：等差數(shù)列中涉與五個量：a1 ,an, d, n, sn,通項公式中涉與四個量，如果己知其中三個，就可求出第四個；求和公式中涉與四

23、個量，如果己知其中三個，就可以求這第四個?；竟剑和椆剑篴n = a1+（n1）d；通項首項（項數(shù)一1) ×公差；數(shù)列和公式：sn,= (a1+ an)×n÷2；數(shù)列和（首項末項）×項數(shù)÷2；項數(shù)公式：n= (an- a1)÷d1；項數(shù)=（末項-首項）÷公差1；公差公式：d =（ana1）÷（n1）；公差=（末項首項）÷（項數(shù)1）；關(guān)鍵問題：確定已知量和未知量，確定使用的公式10、加法乘法原理和幾何計數(shù)加法原理：如果完成一件任務(wù)有n類方法，在第一類方法中有m1種不同方法，在第二類方法中有m2種不同方

24、法，在第n類方法中有mn種不同方法，那么完成這件任務(wù)共有：m1+ m2. +mn種不同的方法。關(guān)鍵問題：確定工作的分類方法?；咎卣鳎好恳环N方法都可完成任務(wù)。乘法原理：如果完成一件任務(wù)需要分成n個步驟進(jìn)行，做第1步有m1種方法，不管第1步用哪一種方法，第2步總有m2種方法不管前面n-1步用哪種方法，第n步總有mn種方法，那么完成這件任務(wù)共有：m1×m2. ×mn種不同的方法。關(guān)鍵問題：確定工作的完成步驟。基本特征：每一步只能完成任務(wù)的一部分。直線：一點在直線或空間沿一定方向或相反方向運動，形成的軌跡。直線特點：沒有端點，沒有長度。線段：直線上任意兩點間的距離。這兩點叫端點。

25、線段特點：有兩個端點，有長度。射線：把直線的一端無限延長。射線特點：只有一個端點；沒有長度。數(shù)線段規(guī)律：總數(shù)1+2+3+（點數(shù)一1）；數(shù)角規(guī)律=1+2+3+（射線數(shù)一1）；數(shù)長方形規(guī)律：個數(shù)=長的線段數(shù)×寬的線段數(shù)：數(shù)長方形規(guī)律：個數(shù)=1×1+2×2+3×3+行數(shù)×列數(shù)11 、小升初奧數(shù)知識點（質(zhì)數(shù)與合數(shù)）質(zhì)數(shù)：一個數(shù)除了1和它本身之外，沒有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素數(shù)。合數(shù)：一個數(shù)除了1和它本身之外，還有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù)。質(zhì)因數(shù)：如果某個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那么這個質(zhì)數(shù)叫做這個數(shù)的質(zhì)因數(shù)。分解質(zhì)因數(shù)：把一個數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表

26、示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。通常用短除法分解質(zhì)因數(shù)。任何一個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的。分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表示形式：N= ，其中a1、a2、a3an都是合數(shù)N的質(zhì)因數(shù)，且a1<a2<a3<<an。求約數(shù)個數(shù)的公式：P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)××(rn+1)互質(zhì)數(shù)：如果兩個數(shù)的最大公約數(shù)是1，這兩個數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。12 、小升初奧數(shù)知識點（約數(shù)與倍數(shù)）約數(shù)和倍數(shù)：若整數(shù)a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。公約數(shù)：幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。最大公約數(shù)的性

27、質(zhì)：1、幾個數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個商是互質(zhì)數(shù)。2、幾個數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個數(shù)的約數(shù)。3、幾個數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。4、幾個數(shù)都乘以一個自然數(shù)m，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個數(shù)的最大公約數(shù)乘以m。例如：12的約數(shù)有1、2、3、4、6、12；18的約數(shù)有：1、2、3、6、9、18；那么12和18的公約數(shù)有：1、2、3、6；那么12和18最大的公約數(shù)是：6，記作（12，18）=6；求最大公約數(shù)基本方法：1、分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來。2、短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。3、輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個余數(shù)，

28、就是所求的最大公約數(shù)。公倍數(shù)：幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。12的倍數(shù)有：12、24、36、48；18的倍數(shù)有：18、36、54、72；那么12和18的公倍數(shù)有：36、72、108；那么12和18最小的公倍數(shù)是36，記作12，18=36；最小公倍數(shù)的性質(zhì)：1、兩個數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。2、兩個數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積。求最小公倍數(shù)基本方法：1、短除法求最小公倍數(shù)；2、分解質(zhì)因數(shù)的方法13 、小升初奧數(shù)知識點（數(shù)的整除）一、基本概念和符號：1、整除：如果一個整數(shù)a，除以一個自然數(shù)b，得到一個整數(shù)商c，而

29、且沒有余數(shù)，那么叫做a能被b整除或b能整除a，記作b|a。2、常用符號：整除符號“|”，不能整除符號“ ”；因為符號“”，所以的符號“”；二、整除判斷方法：1. 能被2、5整除：末位上的數(shù)字能被2、5整除。2. 能被4、25整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25整除。3. 能被8、125整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125整除。4. 能被3、9整除：各個數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9整除。5. 能被7整除：末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7整除。逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。6. 能被11整除：末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)

30、之差能被11整除。奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除。逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。7. 能被13整除：末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13整除。逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。三、整除的性質(zhì)：1. 如果a、b能被c整除，那么（a+b）與（a-b）也能被c整除。2. 如果a能被b整除，c是整數(shù)，那么a乘以c也能被b整除。3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。14 、小升初奧數(shù)知識點（余數(shù)與其應(yīng)用）小升初奧數(shù)知識點（余數(shù)問題）

31、余數(shù)的性質(zhì)：余數(shù)小于除數(shù)。若a、b除以c的余數(shù)相同，則c|a-b或c|b-a。a與b的和除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加上b除以c的余數(shù)的和除以c的余數(shù)。a與b的積除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)與b除以c的余數(shù)的積除以c的余數(shù)余數(shù)、同余與周期一、同余的定義：若兩個整數(shù)a、b除以m的余數(shù)相同，則稱a、b對于模m同余。已知三個整數(shù)a、b、m，如果m|a-b，就稱a、b對于模m同余，記作ab(mod m)，讀作a同余于b模m。二、同余的性質(zhì)：自身性：aa(mod m)；對稱性：若ab(mod m)，則ba(mod m)；傳遞性：若ab(mod m)，bc(mod m)，則a c(mod m)；和差性

32、：若ab(mod m)，cd(mod m)，則a+cb+d(mod m)，a-cb-d(mod m)；相乘性：若a b(mod m)，cd(mod m)，則a×c b×d(mod m)；乘方性：若ab(mod m)，則anbn(mod m)；同倍性:若a b(mod m)，整數(shù)c，則a×c b×c(mod m×c)；三、關(guān)于乘方的預(yù)備知識：若A=a×b，則MA=Ma×b=（Ma）b若B=c+d則MB=Mc+d=Mc×Md四、被3、9、11除后的余數(shù)特征：一個自然數(shù)M，n表示M的各個數(shù)位上數(shù)字的和，則Mn(mod 9

33、)或（mod 3）；一個自然數(shù)M，X表示M的各個奇數(shù)位上數(shù)字的和，Y表示M的各個偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和，則MY-X或M11-（X-Y）(mod 11)；五、費爾馬小定理：如果p是質(zhì)數(shù)（素數(shù)），a是自然數(shù)，且a不能被p整除，則ap-11(mod p)。15、小升初奧數(shù)知識點（分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用）基本概念與性質(zhì)：分?jǐn)?shù)：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時乘以或除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。分?jǐn)?shù)單位：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)。百分?jǐn)?shù)：表示一個數(shù)是另一個數(shù)百分之幾的數(shù)。常用方法：逆向思維方法：從題目提供條件的反方向（或結(jié)果）進(jìn)行思

34、考。對應(yīng)思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對應(yīng)關(guān)系。轉(zhuǎn)化思維方法：把一類應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類應(yīng)用題進(jìn)行解答。最常見的是轉(zhuǎn)換成比例和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關(guān)系；把不同的標(biāo)準(zhǔn)（在分?jǐn)?shù)中一般指的是一倍量）下的分率轉(zhuǎn)化成同一條件下的分率。常見的處理方法是確定不同的標(biāo)準(zhǔn)為一倍量。假設(shè)思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設(shè)成相等或者假設(shè)某種情況成立，計算出相應(yīng)的結(jié)果，然后再進(jìn)行調(diào)整，求出最后結(jié)果。量不變思維方法：在變化的各個量當(dāng)中，總有一個量是不變的，不論其他量如何變化，而這個量是始終固定不變的。有以下三種情況：A、分量發(fā)生變化，總量不變。B、總量發(fā)生變化，但其中有的分量不變。C、總量和分量都

35、發(fā)生變化，但分量之間的差量不變化。替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關(guān)系單一化、量率關(guān)系明朗化。同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進(jìn)行處理。濃度配比法：一般應(yīng)用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。16 、小升初奧數(shù)知識點（分?jǐn)?shù)大小的比較）基本方法：通分分子法：使所有分?jǐn)?shù)的分子相同，根據(jù)同分子分?jǐn)?shù)大小和分母的關(guān)系比較。通分分母法：使所有分?jǐn)?shù)的分母相同，根據(jù)同分母分?jǐn)?shù)大小和分子的關(guān)系比較。基準(zhǔn)數(shù)法：確定一個標(biāo)準(zhǔn)，使所有的分?jǐn)?shù)都和它進(jìn)行比較。分子和分母大小比較法：當(dāng)分子和分母的差一定時，分子或分母越大的分?jǐn)?shù)值越大。倍率比較法：當(dāng)比較兩個分子或分母同時變化時分?jǐn)?shù)的大小，除了運用以上方法

36、外，可以用同倍率的變化關(guān)系比較分?jǐn)?shù)的大小。（具體運用見同倍率變化規(guī)律）轉(zhuǎn)化比較方法：把所有分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)（求出分?jǐn)?shù)的值）后進(jìn)行比較。倍數(shù)比較法：用一個數(shù)除以另一個數(shù)，結(jié)果得數(shù)和1進(jìn)行比較。大小比較法：用一個分?jǐn)?shù)減去另一個分?jǐn)?shù)，得出的數(shù)和0比較。倒數(shù)比較法：利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小?；鶞?zhǔn)數(shù)比較法：確定一個基準(zhǔn)數(shù)，每一個數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)比較17 、小升初奧數(shù)知識點（比和比例）比：兩個數(shù)相除又叫兩個數(shù)的比。比號前面的數(shù)叫比的前項，比號后面的數(shù)叫比的后項。比值：比的前項除以后項的商，叫做比值。比的性質(zhì)：比的前項和后項同時乘以或除以相同的數(shù)（零除外），比值不變。比例：表示兩個比相等的式子叫做比例。

37、a:b=c:d或比例的性質(zhì)：兩個外項積等于兩個內(nèi)項積(交叉相乘)，ad=bc。正比例：若A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也擴(kuò)大或縮小幾倍（AB的商不變時），則A與B成正比。反比例：若A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也縮小或擴(kuò)大幾倍（AB的積不變時），則A與B成反比。比例尺：圖上距離與實際距離的比叫做比例尺。按比例分配：把幾個數(shù)按一定比例分成幾份，叫按比例分配18 、小升初奧數(shù)知識點（綜合行程問題）基本概念：行程問題是研究物體運動的，它研究的是物體速度、時間、路程三者之間的關(guān)系.基本公式：路程=速度×時間；路程÷時間=速度；路程÷速度=時間關(guān)鍵問題：確定運動過程中的位置和方向。相遇問題：速

38、度和×相遇時間=相遇路程（請寫出其他公式）追與問題：追與時間路程差÷速度差（寫出其他公式）流水問題：順?biāo)谐?（船速+水速）×順?biāo)畷r間逆水行程=（船速-水速）×逆水時間順?biāo)俣?船速+水速逆水速度=船速-水速靜水速度=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2水 速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2流水問題：關(guān)鍵是確定物體所運動的速度，參照以上公式。過橋問題：關(guān)鍵是確定物體所運動的路程，參照以上公式。主要方法：畫線段圖法基本題型：已知路程（相遇路程、追與路程）、時間（相遇時間、追與時間）、速度（速度和、速度差）中任意兩個量，求第三個量。19 、小升初奧數(shù)知

39、識點（工程問題）基本公式：工作總量=工作效率×工作時間工作效率=工作總量÷工作時間工作時間=工作總量÷工作效率基本思路：假設(shè)工作總量為“1”（和總工作量無關(guān)）；假設(shè)一個方便的數(shù)為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時間的最小公倍數(shù)），利用上述三個基本關(guān)系，可以簡單地表示出工作效率與工作時間.關(guān)鍵問題：確定工作量、工作時間、工作效率間的兩兩對應(yīng)關(guān)系。經(jīng)驗簡評：合久必分，分久必合。20 、小升初奧數(shù)知識點（邏輯推理問題）基本方法簡介：條件分析假設(shè)法：假設(shè)可能情況中的一種成立，然后按照這個假設(shè)去判斷，如果有與題設(shè)條件矛盾的情況，說明該假設(shè)情況是不成立的，那么與他的相反情

40、況是成立的。例如，假設(shè)a是偶數(shù)成立，在判斷過程中出現(xiàn)了矛盾，那么a一定是奇數(shù)。條件分析列表法：當(dāng)題設(shè)條件比較多，需要多次假設(shè)才能完成時，就需要進(jìn)行列表來輔助分析。列表法就是把題設(shè)的條件全部表示在一個長方形表格中，表格的行、列分別表示不同的對象與情況，觀察表格內(nèi)的題設(shè)情況，運用邏輯規(guī)律進(jìn)行判斷。條件分析圖表法：當(dāng)兩個對象之間只有兩種關(guān)系時，就可用連線表示兩個對象之間的關(guān)系，有連線則表示“是，有”等肯定的狀態(tài)，沒有連線則表示否定的狀態(tài)。例如A和B兩人之間有認(rèn)識或不認(rèn)識兩種狀態(tài)，有連線表示認(rèn)識，沒有表示不認(rèn)識。邏輯計算：在推理的過程中除了要進(jìn)行條件分析的推理之外，還要進(jìn)行相應(yīng)的計算，根據(jù)計算的結(jié)果為

41、推理提供一個新的判斷篩選條件。簡單歸納與推理：根據(jù)題目提供的特征和數(shù)據(jù)，分析其中存在的規(guī)律和方法，并從特殊情況推廣到一般情況，并遞推出相關(guān)的關(guān)系式，從而得到問題的解決。21 、小升初奧數(shù)知識點（幾何面積）基本思路：在一些面積的計算上，不能直接運用公式的情況下，一般需要對圖形進(jìn)行割補(bǔ)，平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、分解、變形、重疊等，使不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則的圖形進(jìn)行計算；另外需要掌握和記憶一些常規(guī)的面積規(guī)律。常用方法：1. 連輔助線方法2. 利用等底等高的兩個三角形面積相等。3. 大膽假設(shè)（有些點的設(shè)置題目中說的是任意點，解題時可把任意點設(shè)置在特殊位置上）。4. 利用特殊規(guī)律等腰直角三角形，已知任意一條邊都

42、可求出面積。（斜邊的平方除以4等于等腰直角三角形的面積）梯形對角線連線后，兩腰部分面積相等。圓的面積占外接正方形面積的78.5%。22 、小升初奧數(shù)知識點（時鐘問題快慢表問題）基本思路：1、 按照行程問題中的思維方法解題；2、 不同的表當(dāng)成速度不同的運動物體；3、 路程的單位是分格（表一周為60分格）；4、 時間是標(biāo)準(zhǔn)表所經(jīng)過的時間；5、 合理利用行程問題中的比例關(guān)系；23 、小升初奧數(shù)知識點（時鐘問題鐘面追與）時鐘問題鐘面追與基本思路：封閉曲線上的追與問題。關(guān)鍵問題：確定分針與時針的初始位置；確定分針與時針的路程差；基本方法：分格方法：時鐘的鐘面圓周被均勻分成60小格，每小格我們稱為1分格。

43、分針每小時走60分格，即一周；而時針只走5分格，故分針每分鐘走1分格，時針每分鐘走112分格。度數(shù)方法：從角度觀點看，鐘面圓周一周是360°，分針每分鐘轉(zhuǎn)360/60 度，即6°，時針每分鐘轉(zhuǎn)360/12*60 度，即1/2 度。24 、小升初奧數(shù)知識點（濃度與配比）經(jīng)驗總結(jié)：在配比的過程中存在這樣的一個反比例關(guān)系，進(jìn)行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比。溶質(zhì)：溶解在其它物質(zhì)里的物質(zhì)（例如糖、鹽、酒精等）叫溶質(zhì)。溶劑：溶解其它物質(zhì)的物質(zhì)（例如水、汽油等）叫溶劑。溶液：溶質(zhì)和溶劑混合成的液體（例如鹽水、糖水等）叫溶液。基本公式：溶液重量=溶質(zhì)重量+溶劑重量；溶質(zhì)重量=

44、溶液重量×濃度；濃度= ×100%= ×100%理論部分小練習(xí)：試推出溶質(zhì)、溶液、溶劑三者的其它公式。經(jīng)驗總結(jié)：在配比的過程中存在這樣的一個反比例關(guān)系，進(jìn)行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比。25 、小升初奧數(shù)知識點（經(jīng)濟(jì)問題）利潤的百分?jǐn)?shù)=（賣價-成本）÷成本×100%；賣價=成本×（1+利潤的百分?jǐn)?shù)）；成本=賣價÷（1+利潤的百分?jǐn)?shù)）；商品的定價按照期望的利潤來確定；定價=成本×（1+期望利潤的百分?jǐn)?shù)）；本金：儲蓄的金額；利率：利息和本金的比；利息=本金×利率×期數(shù)；含稅價格=不含稅

45、價格×（1+增值稅稅率）；26 、小升初奧數(shù)知識點（簡單方程）代數(shù)式：用運算符號（加減乘除）連接起來的字母或者數(shù)字。方程：含有未知數(shù)的等式叫方程。列方程：把兩個或幾個相等的代數(shù)式用等號連起來。列方程關(guān)鍵問題：用兩個以上的不同代數(shù)式表示同一個數(shù)。等式性質(zhì)：等式兩邊同時加上或減去一個數(shù)，等式不變；等式兩邊同時乘以或除以一個數(shù)（除0），等式不變。移項：把數(shù)或式子改變符號后從方程等號的一邊移到另一邊；移項規(guī)則：先移加減，后變乘除；先去大括號，再去中括號，最后去小括號。加去括號規(guī)則：在只有加減運算的算式里，如果括號前面是“+”號，則添、去括號，括號里面的運算符號都不變；如果括號前面是“”號，添、去括號，括號里面的運算符號都要改變；括號里面的數(shù)前沒有“+”或“”的，都按有“+”處理。移項關(guān)鍵問題：運用等式的性質(zhì)，移項規(guī)則，加、去括號規(guī)則。乘法分配率：a(b+c)=ab+ac解方程步驟：去分母；去括號；移項；合并同類項；求解；方程組：幾個二元一次方程組成的一組方程。解方程組的步驟：消元；按一元一次方程步驟。消元的方法：加減消元；代入消元。27 、小升初奧數(shù)知識