1、巧用平面法向量求空間角和空間距離平面法向量的定義為：如果,那么向量叫做平面的法向量.除此之外再也沒(méi)有涉及其他任何知識(shí)點(diǎn)，筆者發(fā)現(xiàn)巧用平面法向量處理空間角和空間距離等問(wèn)題,可以化繁為簡(jiǎn),迎刃而解.現(xiàn)舉例說(shuō)明:一、 巧用平面法向量求斜線(xiàn)與平面所成的角方法指導(dǎo)：如圖1,PA為平面的斜線(xiàn),PO為平面的垂線(xiàn)，根據(jù)定義，斜線(xiàn)PA與平面所成的角,可以轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量的夾角的余角或其補(bǔ)角的余角.即如果與的夾角為銳角,則斜線(xiàn)PA與平面所成的角為；如果與的夾角為鈍角，則斜線(xiàn)PA與平面所成的角為. 故斜線(xiàn)與平面所成角的的正弦值等于斜線(xiàn)的方向向量與平面的法向量夾角余弦的絕對(duì)值，即，.金題示例1：如圖

2、，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90°，側(cè)棱AA12，D、E分別是CC1與A1B的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面ABD上的射影是ABD的重心G求A1B與平面ABD所成角的大小.命題意圖：主要考查線(xiàn)面關(guān)系和直棱柱等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想像能力和推理運(yùn)算能力知識(shí)依托：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算、平面法向量的應(yīng)用及數(shù)量積公式解法過(guò)程：如圖所示建立坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，設(shè)CA2a，則 A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，D(0，0，1)，A1(2a，0，2)，E(a，a，1)， ， ，解得 a1 ，設(shè)平面ABD的法向量，則于是取. ,因?yàn)锳1B與平面ABD所成角的正弦值，所以A

3、1B與平面ABD所成角是二、 巧用平面法向量求二面角方法指導(dǎo)：因?yàn)閮蓚€(gè)半平面的法向量、的夾角等于二面角的平面角或者其補(bǔ)角.注意結(jié)合圖形觀(guān)察二面角的平面角的大小從而決定它與兩個(gè)法向量夾角的關(guān)系：如果是銳角，則，；如果是鈍角，則，.金題示例2：如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A 平面ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M為EC的中點(diǎn)，AF=AB=BC=FE=AD .求二面角ACDE和MACB的大小.命題意圖：考二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的方法，考查空間想像能力、運(yùn)算能力和推理論證能力.知識(shí)依托：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算、平面法向量的應(yīng)用解法過(guò)程：如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以

4、AB、AD、AF為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.設(shè)依題意得 可取平面ABCD的一個(gè)法向量,設(shè)平面CDE的法向量，則于是令，可得，所以，結(jié)合圖形可知二面角ACDE為銳二面角，其大小與兩個(gè)法向量的夾角相等為.設(shè)平面CMA的法向量，則于是令，可得，所以，結(jié)合圖形可知二面角MACB為鈍二面角，其大小與兩個(gè)法向量的夾角互補(bǔ)，所以二面角MACB的大小為，即.三、巧用平面法向量求點(diǎn)到平面的距離PAMNO方法指導(dǎo)：若點(diǎn)P為平面外一點(diǎn)，點(diǎn)A為平面內(nèi)任一點(diǎn)，平面的法向量為，設(shè)點(diǎn)P在平面內(nèi)的射影為點(diǎn)O,顯然，,，而，所以點(diǎn)P到平面的距離為，即點(diǎn)P到平面的距離為經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的平面的任意一個(gè)向量在平面的法向量上的投影的絕對(duì)值.金題示例3：在金題示例1中求點(diǎn)A1到平面AED的距離解法過(guò)程：由例1有A(2，0，0)，A1(2，0，2)，E(1，1，1)，D(0，0，1),設(shè)平面AED的法向量，則于是令，可得，又，所以點(diǎn)A1到平面AED的距離.注: 求線(xiàn)面距,面面距,可先轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距,再用此法求解. 利用向量方法求解空間距離問(wèn)題，可以回避此類(lèi)問(wèn)題中大量的作圖、證明等步驟，而轉(zhuǎn)化為向量間的計(jì)算問(wèn)題以多面體為載體，在