1、總結材料力學、彈性力學、有限元三門課程解決問題的思路和步驟，指出其異同點航天航空學院1334班 艾松 學號：4113006012名稱材料力學彈性力學有限元英文名稱Mechanics of materialsTheory of elasticityFEA，Finite Element Analysis定義材料力學(Mechanics of materials)是研究工程結構中材料的強度和構件承載力、剛度、穩定的學科。研究材料在各種外力作用下產生的應變、應力、強度、剛度、穩定和導致各種材料破壞的極限。材料力學與理論力學、結構力學并稱三大力學。彈性力學（Theory of elasticity，也稱

2、彈性理論）研究彈性體在荷載等外來因素作用下所產生的應力、應變、位移和穩定性的學科。主要研究彈性體在外力作用或溫度變化等外界因素下所產生的應力、應變和位移，從而解決結構或機械設計中所提出的強度和剛度問題。是材料力學、結構力學、塑性力學和某些交叉學科的基礎。有限元法（FEA，Finite Element Analysis）的基本概念是用較簡單的問題代替復雜問題后再求解。它將求解域看成是由許多稱為有限元的小的互連子域組成，對每一單元假定一個合適的(較簡單的）近似解，然后推導求解這個域總的滿足條件(如結構的平衡條件），從而得到問題的解。這個解不是準確解，而是近似解。由于大多數實際問題難以得到準確解，而

3、有限元不僅計算精度高，而且能適應各種復雜形狀，因而成為行之有效的工程分析手段。研究對象材料力學基本上只研究桿狀構件。彈性力學研究包括桿狀構件在內的各種形狀的彈性體。連續體、離散體、混合系統/結構，包括桿、梁、板、殼、塊體等各類單元構成的彈性（線性和非線性）、彈塑性或塑性體。研究內容在人們運用材料進行建筑、工業生產的過程中，需要對材料的實際承受能力和內部變化進行研究，這就催生了材料力學。運用材料力學知識可以分析材料的強度、剛度和穩定性。材料力學還用于機械設計使材料在相同的強度下可以減少材料用量，優化結構設計，以達到降低成本、減輕重量等目的。在材料力學中，將研究對象被看作均勻、連續且具有各向同性的

4、線性彈性物體。但在實際研究中不可能會有符合這些條件的材料，所以須要各種理論與實際方法對材料進行實驗比較。材料力學研究內容包括兩大部分：一部分是材料的力學性能（或稱機械性能）的研究，而且也是固體力學其他分支的計算中必不可缺少的依據；另一部分是對桿件進行力學分析。桿件按受力和變形可分為拉桿、壓桿(見柱和拱)、受彎曲（有時還應考慮剪切）的梁和受扭轉的軸等幾大類。桿中的內力有軸力、剪力、彎矩和扭矩。桿的變形可分為伸長、縮短、撓曲和扭轉。彈性力學研究和所依據的基本規律有三個：變形連續規律、應力-應變關系和運動(或平衡)規律，它們有時被稱為彈性力學三大基本規律。彈性力學中許多定理、公式和結論等，都可以從三

5、大基本規律推導出來。連續變形規律是指彈性力學在考慮物體的變形時，只考慮經過連續變形后仍為連續的物體，如果物體中本來就有裂紋，則只考慮裂紋不擴展的情況。這里主要使用數學中的幾何方程和位移邊界條件等方面的知識。數學彈性力學的典型問題主要有一般性理論、柱體扭轉和彎曲、平面問題、變截面軸扭轉，回轉體軸對稱變形等方面。在近代，經典的彈性理論得到了新的發展。例如，把切應力的成對性發展為極性物質彈性力學；把協調方程(保證物體變形后連續，各應變分量必須滿足的關系)發展為非協調彈性力學；推廣胡克定律，除機械運動本身外，還考慮其他運動形式和各種材科的物理方程稱為本構方程。對于彈性體的某一點的本構方程，除考慮該點本

6、身外還要考慮彈性體其他點對該點的影響，發展為非局部彈性力學等。雖然彈性力學和材料力學都研究桿狀構件，但前者所獲得的結果是比較精確的。桿、梁、板、殼、塊體等各類單元構成的彈性（線性和非線性）、彈塑性或塑性問題（包括靜力和動力問題）。能求解各類場分布問題（流體場、溫度場、電磁場等的穩態和瞬態問題），水流管路、電路、潤滑、噪聲以及固體、流體、溫度相互作用的問題。解決問題的思路和步驟（基本方程）根據胡克定律(Hooke's law)，在彈性限度內，材料的應力與應變成線性關系。在處理具體的桿件問題時，根據材料性質和變形情況的不同，可將問題分為三類：線彈性問題。在桿變形很小，而且材料服從胡克定律的

7、前提下,對桿列出的所有方程都是線性方程,相應的問題就稱為線性問題。對這類問題可使用疊加原理，即為求桿件在多種外力共同作用下的變形(或內力)，可先分別求出各外力單獨作用下桿件的變形(或內力)，然后將這些變形（或內力）疊加，從而得到最終結果。幾何非線性問題。若桿件變形較大，就不能在原有幾何形狀的基礎上分析力的平衡，而應在變形后的幾何形狀的基礎上進行分析。這樣，力和變形之間就會出現非線性關系，這類問題稱為幾何非線性問題。物理非線性問題。在這類問題中，材料內的變形和內力之間（如應變和應力之間）不滿足線性關系，即材料不服從胡克定律。在幾何非線性問題和物理非線性問題中，疊加原理失效。解決這類問題可利用卡氏

8、第一定理、克羅蒂恩蓋塞定理或采用單位載荷法等。在許多工程結構中，桿件往往在復雜載荷的作用或復雜環境的影響下發生破壞。例如，桿件在交變載荷作用下發生疲勞破壞,在高溫恒載條件下因蠕變而破壞,或受高速動載荷的沖擊而破壞等。這些破壞是使機械和工程結構喪失工作能力的主要原因。所以，材料力學還研究材料的疲勞性能、蠕變性能和沖擊性能。材料力學基本公式（解決問題方法）：一、應力與強度條件拉壓：剪切：擠壓：圓軸扭轉： 平面彎曲： 斜彎曲：拉（壓）彎組合： 圓軸彎扭組合： 第三強度理論 第四強度理論 二、變形及剛度條件拉壓：扭轉： 彎曲：(1)積分法： (2)疊加法：=+ =三、應力狀態與強度理論二向應力狀態斜截

9、面應力： 二向應力狀態極值正應力及所在截面方位角：二向應力狀態的極值剪應力：三向應力狀態的主應力：最大剪應力：二向應力狀態的廣義胡克定律：（1）、表達形式之一（用應力表示應變）（2）、表達形式之二（用應變表示應力） 三向應力狀態的廣義胡克定律： 強度理論（1） （2） 平面應力狀態下的應變分析（1） （2）求解一個彈性力學問題，就是設法確定彈性體中各點的位移、應變和應力共15 個函數。從理論上講，只有15個函數全部確定后，問題才算解決。但在各種實際問題中，起主要作用的常常只是其中的幾個函數，有時甚至只是物體的某些部位的某幾個函數。所以常常用實驗和數學相結合的方法，就可求解。直角坐標系下的彈性力

10、學的基本方程為：平衡微分方程（1）幾何方程（2）物理方程（3）(1)式中的x、y、z、yz=zy、xz=zx、xy=yx為應力分量，X、Y、Z為單位體積的體力在三個坐標方向的分量；(2)式中的u、v、w為位移矢量的三個分量（簡稱位移分量），x、y、z、yz、xz、xy為應變分量；(3)式中的E和v分別表示楊氏彈性模量和泊松比。在物體的表面，如已知面力，則邊界條件表示為：邊界條件（4）（4）式中的 、表示作用在物體表面的單位面積上的面力矢量的三個分量，l、m、n表示物體表面外法線的三個方向余弦。如物體表面位移、已知，則邊界條件表示為u=、v=、w= （5）因此，彈性力學問題歸結為在給定的邊界條件

11、下求解一組偏微分方程的問題。主要解方程(1)、(2)、(3)中有15個變量，15個方程，在給定了邊界條件后，從理論上講應能求解。但由(2)、(3)式可見，應變分量、應力分量和位移分量之間不是彼此獨立的，因此求解彈性力學問題通常有兩條途徑。其一、是以位移作為基本變量，歸結為在給定的邊界條件下求解以位移表示的平衡微分方程，這個方程可以從(1)、(2)、(3)式中消去應變分量和應力分量而得到。其二、是以應力作為基本變量，應力分量除了要滿足平衡微分方程和靜力邊界條件外，為保證物體變形的連續性，對應的應變分量還須滿足相容方程：相容方程（6）這組方程由幾何方程消去位移分量而得到。對于不少具體問題，上述方程

12、還可以簡化。在彈性力學中，為克服求解偏微分方程(或方程組)的困難，通常采用試湊法，即根據物體形狀的幾何特性和受載情況，去試湊位移分量或應力分量；由彈性力學解的唯一性定理，只要所試湊的量滿足全部方程和全部邊界條件，即為問題的精確解。從數學觀點來看，彈性力學方程的定解問題可變為求泛函的極值問題。例如，對于用位移作為基本變量求解的問題，又可以歸結為求解變分方程：1=0（7）1是物體的總勢能，它是一切滿足位移邊界條件的位移的泛函。對于穩定平衡狀態，精確的位移將使總勢能1取最小值的稱為最小勢能原理。又如對于用應力作為基本變量求解的問題，可歸結為求解變分方程：2=0（8）2為物體的總余能，它是一切滿足平衡

13、微分方程和靜力邊界條件的應力分量的泛函。精確的應力分量將使總余能 2取最小值的稱為最小余能原理。(7)式等價于用位移表示的平衡微分方程和靜力邊界條件，而(8)式則等價于用應力表示的相容方程。在求問題的近似解時，上述泛函的極值問題又進而變為函數的極值問題，最后歸結為求解線性非齊次代數方程組。還有所謂的廣義變分原理，其中最一般的是廣義勢能原理和廣義余能原理，它們等價于彈性力學的全部基本方程和邊界條件。但和總勢能1和總余能2不同，廣義勢能和廣義余能作為應力分量、應變分量和位移分量的泛函，對于精確解，也只取非極值的駐值。有限元方法（FEM）的理論基礎是變分原理和加權余量法。 仍然遵從平衡方程

14、、幾何方程、本構方程、協調方程，其解滿足應力邊界條件、位移邊界條件。其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內，選擇一些合適的節點作為求解函數的插值點，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導數的節點值與所選用的插值函數組成的線性表達式，借助于變分原理或加權余量法，將微分方程離散求解。 采用不同的權函數和插值函數形式，便構成不同的有限元方法。有限元方法最早應用于結構力學，后來隨著計算機的發展慢慢用于流體力學的數值模擬。在有限元方法中，把計算域離散剖分為有限個互不重疊且相互連接的單元，在每個單元內選擇基函數，用單元基函數的線形組合來逼近單元中的真解，整個計算域上總體

15、的基函數可以看為由每個單元基函數組成的，則整個計算域內的解可以看作是由所有單元上的近似解構成。 根據所采用的權函數和插值函數的不同，有限元方法也分為多種計算格式。從權函數的選擇來說，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法，從計算單元網格的形狀來劃分，有三角形網格、四邊形網格和多邊形網格，從插值函數的精度來劃分，又分為線性插值函數和高次插值函數等。不同的組合同樣構成不同的有限元計算格式。對于權函數，伽遼金(Galerkin)法是將權函數取為逼近函數中的基函數；最小二乘法是令權函數等于余量本身，而內積的極小值則為對代求系數的平方誤差最小；在配置法中，先在計算域內選取N個配置點。令近似解在

16、選定的N個配置點上嚴格滿足微分方程，即在配置點上令方程余量為0。插值函數一般由不同次冪的多項式組成，但也有采用三角函數或指數函數組成的乘積表示，但最常用的多項式插值函數。有限元插值函數分為兩大類，一類只要求插值多項式本身在插值點取已知值，稱為拉格朗日(Lagrange)多項式插值；另一種不僅要求插值多項式本身，還要求它的導數值在插值點取已知值，稱為哈密特(Hermite)多項式插值。單元坐標有笛卡爾直角坐標系和無因次自然坐標，有對稱和不對稱等。常采用的無因次坐標是一種局部坐標系，它的定義取決于單元的幾何形狀，一維看作長度比，二維看作面積比，三維看作體積比。在二維有限元中，三角形單元應用的最早，

17、近來四邊形等參元的應用也越來越廣。對于二維三角形和四邊形電源單元，常采用的插值函數為有Lagrange插值直角坐標系中的線性插值函數及二階或更高階插值函數、面積坐標系中的線性插值函數、二階或更高階插值函數等。對于有限元方法，其基本思路和解題步驟可歸納為： (1)建立積分方程，根據變分原理或方程余量與權函數正交化原理，建立與微分方程初邊值問題等價的積分表達式，這是有限元法的出發點。(2)區域單元剖分，根據求解區域的形狀及實際問題的物理特點，將區域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區域單元劃分是采用有限元方法的前期準備工作，這部分工作量比較大，除了給計算單元和節點進行編號和確定相互之間的關系之外，

18、還要表示節點的位置坐標，同時還需要列出自然邊界和本質邊界的節點序號和相應的邊界值。(3)確定單元基函數，根據單元中節點數目及對近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條件的插值函數作為單元基函數。有限元方法中的基函數是在單元中選取的，由于各單元具有規則的幾何形狀，在選取基函數時可遵循一定的法則。(4)單元分析：將各個單元中的求解函數用單元基函數的線性組合表達式進行逼近；再將近似函數代入積分方程，并對單元區域進行積分，可獲得含有待定系數(即單元中各節點的參數值)的代數方程組，稱為單元有限元方程。(5)總體合成：在得出單元有限元方程之后，將區域中所有單元有限元方程按一定法則進行累加，形成總體有限元方程。 (6)邊界條件的處理：一般邊界條件有三種形式，分為本質邊界條件(狄里克雷邊界條件 )、自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯西邊界條件)。對于自然邊界條件，一般在積分表達式中可自動得到滿足。對于本質邊界條件和混合邊界條件，需按一定法則對總體有限元方程進行修正滿足。(7)解有限元方程：根據邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉方程組，采用適當的數值計算方法求解，可求得各