1、微分形式及其應(yīng)用1 引子 兩個(gè)函數(shù)，如何檢驗(yàn)它們是否互為函數(shù)呢？比如 ，它們之間就有關(guān)系，這很明顯。但是對(duì)于復(fù)雜的函數(shù)就未必一眼看得出。另一個(gè)老實(shí)的辦法是，計(jì)算它們的雅克比行列式，因此它們相關(guān)，互為函數(shù)關(guān)系。 對(duì)于多元的就要麻煩些，要計(jì)算多個(gè)雅克比。比如，要想判定他們是否互為函數(shù)，就要判定，都為0才對(duì)。有沒有更好的表達(dá)方式呢？有利用外微分（過一會(huì)再解釋）好奇怪的運(yùn)算規(guī)則：任何兩個(gè)函數(shù)微分的外積，互換次序得負(fù)；任何相同表達(dá)式微分的外積為0。，這讓我們想起了面積的定義。對(duì)了！外積的意義就是面積。我們重新理解一下（見圖）如果將作為兩個(gè)變量，則組成空間。作為的函數(shù)，當(dāng)改變時(shí)，也隨之改變。當(dāng)函數(shù)互不關(guān)聯(lián)

2、（不互為函數(shù)時(shí)），由于各自獨(dú)立改變，當(dāng)遍歷一個(gè)非常小的方形區(qū)域時(shí)，也形成一個(gè)小面積。但是當(dāng)函數(shù)互為關(guān)聯(lián)（互為函數(shù)時(shí)），由于各自改變不獨(dú)立，當(dāng)遍歷一個(gè)非常小的方形區(qū)域時(shí)，僅在一個(gè)小線段上（或者在一個(gè)點(diǎn)，總之在低維的空間上）運(yùn)動(dòng)。由于就代表面積元，因此為0.可見，在高維空間中，微分形式非常有用??！2 微分形式我們看在二維空間上的一個(gè)線積分是 定義的一段曲線（在這里是半圓弧線）。可以很容易積分出來如果換一條曲線，會(huì)得到另一個(gè)值。比如，如果是定義的一段拋物線，可得積分如果不定義曲線，這個(gè)積分則不能得到具體的數(shù)值。因此，可以認(rèn)為這個(gè)積分是曲線的函數(shù)，也就是說，給定一條曲線，它就能給出一個(gè)值。我們稱它為積

3、分形式。（只有形式，等待內(nèi)容曲線）如果去掉積分號(hào)我們則稱其為微分形式（只有形式，等待內(nèi)容曲線或1維的映射）。給定一個(gè)映射，如，我們就能計(jì)算這個(gè)微分我們稱映射將二維空間上的微分形式，拉回到1維空間上。微分形式是與坐標(biāo)無關(guān)的。也就是說，一個(gè)積分形式，不論如何改變坐標(biāo)系，只要定義的曲線不變，其積分值是不變的。同樣，一個(gè)微分形式，不論如何改變坐標(biāo)系，只要定義的曲線不變，其微分是不變的。這個(gè)性質(zhì)，滿足了物理學(xué)描述客觀性的愿望，因此物理規(guī)律（物理方程）用微分形式表達(dá)非常簡(jiǎn)單漂亮。3 微分形式的外積我們看面積分，給定一個(gè)面，就可以計(jì)算這個(gè)積分。但是這個(gè)表達(dá)式有一個(gè)缺憾，就是對(duì)于復(fù)雜表達(dá)，如定義模糊。我們看變

4、換變量時(shí)，這個(gè)表達(dá)式變?yōu)椋渲惺亲儞Q的Jacobi行列式。因此我們將其表達(dá)為，規(guī)定對(duì)于任何表達(dá)式，都要滿足，則變量改變就可以名正言順地寫為剛好滿足變量變換的關(guān)系。這樣我們類推地定義外積：我們知道一個(gè)微分形式（1-形式）描述了一個(gè)線形式?？梢酝评?，兩個(gè)1-微分形式，可以構(gòu)造出面形式（2-微分形式）。如果兩個(gè)1-微分形式外積為0，這兩個(gè)微分形式相關(guān)，即存在某個(gè)函數(shù)使得4 外微分 給定一個(gè)1-微分形式能否得到一個(gè)2-微分形式？可以通過外微分。我們定義一個(gè)微分形式的外微分，與這個(gè)微分形式的閉合回路積分有關(guān)。對(duì)于無窮小面元，有其邊界組成的閉合回路具體地5 微分形式的應(yīng)用1 函數(shù)是常函數(shù)2 函數(shù)極值點(diǎn)表明

5、自變量改變時(shí)，函數(shù)值不變。比如，得到。如果將函數(shù)看成映射，在這一點(diǎn)的映射出現(xiàn)奇異，即這一點(diǎn)附近無窮小的鄰域映射為一點(diǎn)。非奇異點(diǎn)處奇異點(diǎn)處函數(shù)值空間函數(shù)值空間自變量空間自變量空間3 兩個(gè)函數(shù)相關(guān)（這在引子中給出了）如果將函數(shù)看成映射，將自變量整個(gè)空間映射成一條線或點(diǎn)（低于2維的空間）。Xfg 3個(gè)函數(shù)相關(guān)其他以此類推。4 條件極值即在情況下計(jì)算的極值。通常用Lagrange乘子法，這里可以用微分形式表達(dá)式。在極值點(diǎn)附近區(qū)域映射為線。Xfg非奇異點(diǎn)處奇異點(diǎn)處比如在約束，情況下計(jì)算的極值點(diǎn)。因?yàn)樗缘玫剑cLagrange乘子法計(jì)算的一致，但是方程簡(jiǎn)單。多個(gè)約束以此類推，如兩個(gè)約束極值問題, 在情況

6、下計(jì)算的極值, 就可以按照下面方程給。5 計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)問題在熱力學(xué)中經(jīng)常需要計(jì)算各種偏導(dǎo)數(shù)問題。采用微分形式可以方便地計(jì)算。熱力學(xué)中只有兩個(gè)自由參數(shù)。利用等關(guān)系定義變量間關(guān)系。將其外微分，得到那么熱力學(xué)可以方便地給出熱力學(xué)公式，比如，兩邊除以可以得到可以得到對(duì)任意一個(gè)等式，都可以改變自變量如 外微分后除以可以得到三對(duì)換關(guān)系就是求導(dǎo)換自變量比如方便得很6 正交曲線坐標(biāo)系的求導(dǎo)公式形式地寫作，可以特解，其齊次方程的解 滿足的解為 根據(jù)微分關(guān)系記憶很容易 , 系數(shù)反對(duì)稱化是的要求例如 球坐標(biāo)系根據(jù)這個(gè)公式可以寫出在球面坐標(biāo)系下的各種梯度、旋度、散度等。方法是方向矢量的偏微分直接計(jì)算。記住這個(gè)公式，需要

7、借助立體圖。圖中畫出了點(diǎn)及經(jīng)過其點(diǎn)曲面坐標(biāo)的三個(gè)單位矢量；改變形行成的大圓弧，改變形成的小圓，改變形成通過坐標(biāo)原點(diǎn)的射線。改變不會(huì)影響這些方向。每個(gè)單位矢量在這些變化中，形成的圖形：大圓，小圓，上椎體，下椎體。（1）當(dāng)改變時(shí)，是大圓的徑向，變化量為大圓半徑為1時(shí)對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)，大圓切線方向；當(dāng)改變時(shí)，是下椎體母線方向，改變量為母線長(zhǎng)度為1時(shí)對(duì)應(yīng)椎體邊弧長(zhǎng)，方向小圓切線方向；（2）當(dāng)改變時(shí)，是大圓切線方向，改變向心方向；當(dāng)改變時(shí)，是上椎體母線方向，改變量為母線為1時(shí)的體邊弧長(zhǎng)，方向小圓切線方向；（3）當(dāng)改變時(shí)，平行移動(dòng)；當(dāng)改變時(shí)，是小圓切線，按照小圓轉(zhuǎn)動(dòng)，改變向心方向；在柱面坐標(biāo)系中，完全通過直觀可以給出7 包絡(luò)幾何（包絡(luò)線，包絡(luò)面等）理論含有參數(shù)的方程組代表空間幾何曲線或幾何面簇，當(dāng)參數(shù)改變時(shí)，幾何曲線或幾何面會(huì)隨之改變。這些幾何簇的包絡(luò)就是他們共切的曲線。定義了一簇低維面，如果將參數(shù)改變后仍滿足，于是可以得到包絡(luò)幾何滿足的方程，這就定義了包絡(luò)幾何。設(shè)原方程代表N維空間中m維的曲面簇，x的維數(shù)是N，f的維數(shù)是（N-m），其包絡(luò)為N維空間中N+1-2（N-