1、數學歸納法的應用姓名 甘國優 指導教師 趙慧煒 中文摘要：數學歸納法是數學中一種非常普遍的證題的方法，其應用極為廣泛本次主要簡述了數學歸納法的簡略步驟：觀察（探索）歸納猜想證明于一體的數學思想，體現出數學歸納法的證題思路并歸納總結了數學歸納法解決代數恒等式幾何等方面的一些簡單應用問題的方法，對應用中常見的誤區加以剖析，以及介紹一些證題方法技巧，有助于提高對數學歸納法的應用能力關鍵詞：數學歸納法；步驟;證明方法Abstract: Mathematical induction is a common evidence method in mathematics, it is have very b

2、road application. In this paper, author research into the step of the Mathematical induction , it includes summariz，evidence and guess embody the idea of the evidence of mathematical induction. Also at here ,we summariz the method of the mathematical induction application in solve algebra identities

3、 , geometric ,order and portfolio ,and so on .also analyze the common errors on application and into duct skill of the proof ,proof of skills introduced. It is help to increased the level of the Mathematical inductions applicationKey words：Mathematical induction; Steps ; Proof.引言演繹和歸納是人在思維過程中兩個完全相反的

4、過程.同時又是數學思維中兩種基本的方法.數學歸納法是一種重要的數學證明方法，他有著其他方法所不能代替的作用，也是證明與自然數有關的數學命題的一種完全歸納法.我們在學習運用數學歸納法應具備兩個條件：當時，這個命題為正確的（奠基），當時，這個命題也為正確的推出當時，這個命題也為正確的（遞推）通過“遞推”鏈接，實現從特殊到一般的轉化，抽象的進行數學歸納.首先我們要了解歸納法與數學歸納法的思想，由思想轉換為思路來解決實際問題.當然我們在中學所學習的比較淺顯，因此需要進行整理疏通總結，并學以致用其思想，在應用數學歸納法時所需的一些問題進行整理,了解數學歸納法在中學代數及幾何問題方面的應用更深刻總結數學歸

5、納法的重難點及解題技巧，選取典型例題來體現這一思想，抓住其最基本的步驟并掌握數學歸納法的證明方法1 數學歸納法的概論1.1 數學常用證明方法數學是門極其注重學習方法的學科,數學恒等式的證明使這些方法體現的完美無缺，而常用的數學證明方法有以下幾種；1.1.1 演繹推理 由一般推理到特殊的推理方法稱為演繹推理，又叫演繹法1.1.2 歸納推理 由特殊到一般的推理方法稱為歸納推理法，又叫歸納法其中歸納法又分為完全歸納法與不完全歸納法1.1.3 完全歸納法 探討事物的全部特殊情況后得出一般結論的推理方法稱為完全歸納法，又叫枚舉法1.1.4 不完全歸納法 由某類事物中一部分事物所具有的某種屬性，推出此類事

6、物全部都具有這種屬性的歸納推理方法稱為不完全歸納法1.1.5 數學歸納法數學歸納法證明是與自然數有關的命題的一種特殊方法（在高中數學中常用來證明不等式成立和數列通項公式成立）1.2 數學歸納法的定義 數學歸納法定義: 是一種先得出首個例子的正確性,再通過遞推的方式證明命題是否正確的一種方法它是以考察特殊、個別的情況后作出的判斷作為基礎.再從這些個別情況的判斷歸納出一般的結論,也可以說,它是從特殊到一般的推理方法.即當n=1正確時,若在n=k正確的情況下,n=k+l也是正確的,便可遞推下去.雖然我們沒有對所有的自然數逐一的加以驗證,但事實上,這種遞推就已經把所有自然數都驗證了,這種方法就是數學歸

7、納法.2 數學歸納法的背景與原理2.1背景 數學歸納法最早的痕跡可以在古希臘時代和印度的著作中找到絲縷痕跡，如歐幾里德素數無限的證明中和印度婆什迦羅的“循環方法”都可以找到這種痕跡有資料和數據表明，在中世紀伊斯蘭數學中就已經比較清晰、廣泛地使用了數學歸納法中歸納推理而數學歸納法真正明確使用的是意大利數學家、天文學家和工程師莫洛里科斯，而他也尚未對數學歸納法證明中的歸納奠基和歸納推理兩個步驟進行清楚的闡述真正清楚數學歸納法證明這兩步的應是17世紀的數學家帕斯卡，最早是他將數學歸納法的證明用兩步確定下來.而“數學歸納法”名稱是英國數學家提出的, 并由英國教科書作者普遍使用并推廣 

8、; 數學歸納法的嚴格建立，是對無窮概念有較深刻的認識和數的理論充分發展后才得以完成十七世紀后，數學歸納法有了明晰的框架，后來發展出了最小數原理、第一和第二數學歸納法、遞減歸納法、螺旋歸納法、倒推納法、跳躍歸納法、雙重甚至多重歸納法等多種形式的數學歸納法至1889年意大利數學家皮亞諾發表算術原理新方法，給出自然數的公理體系，使數學歸納法有了一個合理、準確的理論基礎歸納法的邏輯是指從有限的特殊事例推出一般性結論的推理方法，從肯定全體對象中的有限的個別事物到肯定全體對象但數學歸納法并不具備這些特性演繹法是由一般到具體結論的推理方法，演繹推進的前提必然蘊涵結論。從數學歸納法的推理過程來考察，還是從它的

9、理論根據來考察，數學歸納法本質上都是一種演繹法。現代美國數學家波利亞有這樣評論“數學歸納法”：“歸納法是通過對特例進行觀察和綜合后以發現一般規律的過程.它僅在數學中用以證明某類定理從名稱上看，二者有聯系, 但二者在邏輯方面的聯系很少。而兩者之間還有某種實際聯系；我們常把兩種方法一起使用”2.2原理 所有數學都始于計數，計數就是把要計數的對象集合與幾個起始自然數一一對應的過程.我們用表示自然數這個無限集合，自然數的一個基本性質是良序性，下面將對自然數的良序性進行形式化的論述，并且把它作為一個關于的公理.對于任何系統，公理是無需證明即為真的命題.為了對一個系統（這里指自然數）進行推理，首

10、先需要對該系統做一些假設.盡管這些基本的假設常常不容易一眼就看出，但它應該是“合理的”和“顯而易見為真的”.良序原理：自然數集的每個非空子集都有一個最小元素.顯而易見，自然數的任何子集都可以通過列出實際元素的方式給定，即使對于不易直接定義的集合，該定理依然有效.例如，當和可取任意整數時，考慮所表示的所有自然數集合.從定義看該集合的范圍并不明顯，但是根據良序原理，由于該集合非空（注意這很重要），集合中必有一個通過該方式表示的最小自然數.（當然，求具體的最小自然數的值是另外一回事.注意良序原理保證有一個最小數存在，但絕對沒說如何去計算它.）從數學歸納法的發現、發展到應用；從數學歸納法理論基礎到實際

11、教學；從數學歸納法的邏輯基礎到學生學習數學歸納法時遇到的心理問題。要清楚相關知識又何止這些呢?實際上,只有清楚了解每一個知識點的來龍去脈和每一個知識點的應用范圍,以及每一個知識點的所以然,方能更好去解決問題3 數學歸納法的步驟數學歸納法的步驟,若把需證明的命題記作(n),那么數學歸納法的步驟為:(1) 證明當n=1時,p(n=1)成立(2)假設n=k(且k0)時,命題成立,即p(k)成立.證明當n=k+1時命題也成立(3)根據(1)、(2) 當k0且 時 ,即p(n)成立運用數學歸納法證題時, 以上這三個步驟是必不可少的, 步驟(1)時是正確的奠基步驟,稱之為歸納基礎, 步驟(2)反應了遞推關

12、系,即命題的正確性具有傳遞性作用步驟(3)是將步驟(1)與步驟(2)組合完成數學歸納法中遞推的全部過程,所以三個步驟必不可少4 易錯分析剛剛接觸數學歸納法時容易出現對步驟把握不清的現象,下面針對幾種常見錯誤進行分析4.1 弄不清到時的式子變化 例1:用數學歸納法證明: ,從“”到“”左端需增乘的代數式為： A . B. C. D.錯誤解法：時，式子左端，時，式子左端為 故選B分析：時，左端第一個因式也有所變化，不能簡單地看后面的因式 正確解法：當時，左端為為從到連續整數的乘積4.2 運用數學歸納法時忽略了時的假設條件 例2:用數學歸納法證明：時， 錯解：(1)當n=1時，左邊=,右邊=,等式成

13、立 (2)假設，時，等式成立即則當時，=.所以時，等式成立綜上所述 當時，成立分析：在證明等式成立時，沒有用到歸納假設正解：(1)當時，左邊=右邊，等式成立 (2)假設，時，等式成立，=.所以時，等式也成立.綜上所述，對一切，都成立數學歸納法要運用“歸納假設”，沒有“歸納假設”的證明不是數學歸納法5 運用數學歸納法的典型例題 例3:用數學歸納法證明：=，分析：本題第一步的驗證要取，在第二步的證明中應在歸納假設的基礎上正確地使用正切的和角公式證明：(1)當時，右邊=左邊則等式成立. (2)假設當時，等式成立，即=.=.點評：本題在第(2)步的證明過程中使用了正切和差角的變形形式，即1=.因此在用

14、數學歸納法證明三角命題時，應針對時命題的特征，合理地選擇和使用三角公式證明三角恒等式時,常動用有關三角知識、三角公式及三角的變換法. 例4:求證: 證明:(1)當n=1時,等式左邊= ,右邊= ,等式成立.(2) 假設時等式成立,即由(1)和(2)可知等式均成立6 中學數學中數學歸納法的用途在討論涉及正數無限性的問題時數學歸納法是一種及其重要的方法,在中學數學中它的作用和地位可以用三個方面來體現:(1)中學數學中的許多重要結論,如等比數列的的通項公式前n項和公式、等差數列與,二項公式定理等等都可以用數學歸納法加以證明. 而完全歸納法得到的一些與自然數有關的數學命題,也常應用數學歸納法來證明它們

15、的正確性(2)運用數學歸納法可以證明許多數學問題.既可以開闊眼界,又可以受到推理論證的訓練.對于一些用常規的分析終合法不好證明的題,用數學歸納法往往會得到一些意想不到的好結果(3) 在進一步學習數學時數學歸納法會經常用到,因此掌握這種方法可以為今后的高等數學的學習打下一個良好的基礎.7 數學歸納法在幾何方面的應用7.1 數學歸納法在幾何中的意義歸納法是由特殊得出一般結論的歸納推理方法，一般性結論的正確性是依靠個別結論的正確性所以數學歸納法的實質是證明命題對于一切自然數都是真命題它在本質是與數的概念聯系在一起的，所以數學歸納法可以應用到數學的各個分支，在幾何中也不例外數學歸納法是用于證明與自然數

16、n有關命題的正確性方法它的操作步驟簡單、明確，證明過程一般可分以下兩個步驟:1.對于命題有意義的最小值，直接驗證命題是正確的2.證明如果命題對任一自然數成立，那么論斷必然成立7.2數學歸納法在幾何中的應用 7.2.1應用數學歸納法作計算 例5：平面上有圓心在同一直線上的半圓，其中任意兩個都相交，且都在直線的同側，問這些半圓被所有的交點最多分成多少段圓弧? 解:設半圓的交點最多將半圓分成若干段圓弧，如下圖所示. 圖1 圖2 圖3容易發現由此可以猜測n個半圓互相分成圓弧段最多有 證明:由題意知 (1)當n=2時，結論成立. (2)假設當n=k時，結論成立，（平面內滿足條件的k個半圓互相分成的圓弧最

17、多有.）那么當n=k +1時，第k+1個半圓與原k個半圓均相交，可獲得最多圓弧段，任意三個半圓不能交于一點，所以第k+1個半圓把原k個半圓中每個半圓的某一段圓弧都一分為二，這樣就多出了k條圓弧;而原k個半圓又把第k+1個半圓分成了k+1段圓弧，這樣又多出了 k+1條圓弧故 這就是說，當n=k+1時結論也成立根據(1) 和(2) 可知，滿足條件的 n個半圓被所有交點最多分成 段圓弧8 結 論數學歸納法主要針對一些與自然N的相關命題,所以在證明和自然數N有關的恒等式子中有著不可替代的作用,用數學歸納法證明數學問題時,要注意它的兩個步驟必不可少,第一步命題遞推的基礎,第二步是命題遞推的依據,也是證明

18、的關鍵和難點,同時,數學歸納法的證題步驟和格式是數學歸納法的特征,如n=k時的假設是第二步證明n=k+1的“已知”,證明時一定要用到它,否則就不是數學歸納法,在證明時命題成立,要用到一些技巧,如:一湊假設,二湊結論,不等式的放縮、等價轉化、拆項、加減項等，但這些解題技巧需在實踐中不斷積累和總結,證明三角恒等式時常用到有關三角公式、三角知識以及三角的轉換等.通過這些變換可更簡單便捷的讓命題得證.總的來說記住三句話：“遞推基礎不可少，歸納假設要用到，寫結論時莫忘掉”,我們這樣才可以較好的運用數學歸納法.數學歸納法是一種重要的數學證題方法,更是中學數學的重難點知識之一,它在開闊眼界,訓練推理能力等諸多方面有著很大的幫助.在中學數學中,數學歸納法對于許多重要的結論,如等比數列的的通項公式與前n項和公式、二項公式定理以及差數列等,都可以用數學歸納法加以證明,這樣既可以加深對教材的熟悉又可以加深知識的理解.當然不僅在中學數學中,在學習高等數學的過程中,數學歸納法也是一種不可缺少的方法。同時借助數學歸納法進行幾何教學，便于學生一步步理解命題的內涵，進而容易找到 n 與 n+1 的關系，這樣可以準確地解決問題。數學歸納法在幾何教學中的應用，不僅讓學生從感知上了解認識幾何，而且深刻地理解到