1、4.5 常見曲面的參數方程本節重點：掌握空間中的三種坐標系：直角坐標系、球坐標系、柱坐標系。 掌握旋轉曲面的參數方程的建立。 掌握直紋面的參數方程。本節難點：旋轉曲面的參數方程。直紋面的參數方程。在第二章中，我們已經引進一般曲面與曲線的參數方程的概念、并給出簡單曲面與曲線的參數表示，例如球面與圓柱螺旋線，直線的參數方程。現在再介紹旋轉曲面、直紋面的參數方程，同時給出空間中另外兩種坐標系：球坐標系與柱坐標系。（一）旋轉曲面的參數方程，球坐標與柱坐標設旋轉曲面的軸為軸，母線的參數方程是則此旋轉曲面可由上每一點生成的緯圓所構成的。由于這緯圓上動點與它在坐標面上的投影具有相同的坐標，所以上任一點生成的

2、緯圓的參數方程是 其中是緯圓半徑，即到軸的距離，而參數是軸到的轉角。設對應的參數是，則再讓在其取值范圍內變動，即得這旋轉曲面的參數方程 （4.5.1）特別地，當母線為坐標面上的徑線時,（4.5.1）成為 （4.5.2） 例、如圖，以原點為中心，為半徑的球面可看作是由坐標面上的半圓， （）繞軸旋轉所生成的，由(4.5.2)得其參數方程為 （4.5.3）它與2.1中的球面參數方程的形式是相同的。(4.5.3)中的參數分別叫做經度與緯度，序對叫做地理坐標。顯然，除兩極外，球面上的點與序對一一對應。這種利用曲面參數方程中的兩個參數來表示曲面上的點的坐標叫做曲紋坐標，它對于曲面理論的進一步研究有著重要的

3、作用。利用球面的這種曲紋坐標還可以引入空間的另一種坐標系。設為空間任意一點，它到原點的距離為，過作以原點為中心，以為半徑的球面，則在這球面上具有地理坐標，可令點P對應有序數組；反之，由非負實數可確定所在的球面，再由在這球面上確定點。空間中點的這種坐標叫做球坐標。顯然，軸上點的球坐標可取任意值。把(4.5.3)中的常數換為變數，就成為球坐標與直角坐標的變換式，即 （4.5.4）反之，有 (4.5.5)當時，=0，于是，對坐標面上的點，只需序對即可確定。這里不是別的，正是大家熟知的極坐標。這時原點是極點，軸是極軸，因此，球坐標可以看作是平面極坐標在空間中的一種推廣。例、如圖4-17，以軸為對稱軸，

4、半徑為的圓柱面可看作是由坐標面上的直線： ，圖417繞軸旋轉所生成的。由(4.5.2)得其參數方程為 （4.5.6） 利用參數可得圓柱面上的一種曲紋坐標，從而我們可引入空間的又一種坐標系。設為空間任意一點，它到軸的距離為，過作以軸為軸，半徑為r的圓柱面，則在這圓柱面上具有曲紋坐標，可令對應有序數組；反之，由非負實數可確定所在的圓柱面，再由在這圓柱面上確定點。空間中點的這種坐標叫做柱坐標。與球坐標一樣，軸上點的柱坐標可取任意值。把(4.5.6)中的常數換為變數，即得柱坐標與直角坐標間的關系式 （4.5.7）反之，有 (4.5.8)當時，從而面上的點也只需即可確定，所以柱坐標也是平面極坐標在空間中

5、的另一種推廣。像廣義極坐標一樣，柱坐標也可以推廣到負值情形。在一個坐標系下，若讓一個坐標固定而其它坐標變化，則所得軌跡叫做坐標曲面；若一個坐標變化而其它坐標固定，則所得軌跡叫做坐標曲線。例如在柱坐標系下，坐標曲面，（常數）是以軸為軸，半徑等于的圓柱面；坐標曲面（常數）是過軸的平面（若限定，則軌跡為半平面）；（常數）是平行于面的平面。顯然， 坐標曲線可看作是兩個不同類的坐標曲面的交線，如坐標曲線，（叫做線）是圓柱面與面的平行面的交線，因而是位于平面上，中心在軸，半徑為的圓。我們已經看到，用球坐標或柱坐標表示曲面或曲線，有時是比較簡單明了的。但要注意，在不同坐標系下，同一方程可能表示不同的圖形。例

6、如方程，在球坐標系下表示的是球面，而在柱坐標系下表示的卻是圓柱面。（二）直紋面的參數方程因為直紋面的母線是直線，所以其參數方程為其中是這直線上點的參數。只因為直紋面是一族單參數直線構成的，族中母線是隨著一個參數而變動的，即均為的函數，所以這直母線族方程可以寫成 (4.5.9)其中為族的參數，一個值對應族中一條直母線。當曲面看作是運點軌跡時，就是由所有母線上的點構成的，故(4.5.9)即為它的方程。令是，得直紋面上一曲線。它與所有的母線都有公共點，可稱為直紋面的導線。特別地，當分別為常數（即母線互相平行）時，直紋面(4.5.9)為柱面 (4.5.10) 而當分別為常數（即導線只含一點）時，直紋面

7、(4.5.9)為錐面 (4.5.11)平面可以看作以直線為導線的柱面。設一個平面通過定點平行于兩個不共線向量，我們以為方向向量，過引一直線為導線，以為母線的共同的方向向量，則由(4.5.10)得到平面的參數方程 (4.5.12)例、求以直線，為導線，母線平行于直線的柱面的參數方程。解：將導線方程改寫成并取為參數，得導線的參數方程為再將它和一同代入()使得所求柱面的參數方程為顯然,這柱面是個平面。習題4、求下列曲線按指定軸旋轉生成的曲面的參數方程： (1) 繞Z軸旋轉(2) 繞軸旋轉。、已知徑線的參數方程與旋轉軸，寫出旋轉曲面的參數方程(1) 繞軸旋轉(2) 繞軸旋轉。 、一錐面以為頂點，以橢圓為導線，試求其參數方程。、利用直母線的方程，求單葉雙曲面與雙曲拋物面的參數方程。、設以為參數的一族直線，試求： (1) 這族直線所構成的直紋面； (2) 這直紋