1、第 十 章 定 積 分 的 應 用 1 平 面 圖 形 的 面 積(一) 教學目的：掌握平面圖形面積的計算公式(二) 教學內容：平面圖形面積的計算公式基本要求：(1) 掌握平面圖形面積的計算公式，包括參量方程及極坐標方程所定義的平面圖形面積的計算公式(2) 較高要求：提出微元法的要領(三) 教學建議：(1) 本節的重點是平面圖形面積的計算公式，要求學生必須熟記并在應用中熟練掌握(2) 領會微元法的要領 直角坐標系下平面圖形的面積 ：由定積分的幾何意義，連續曲線 與直b線 軸所圍成的曲邊梯形的面積為 若 在 上不都是非負的，則所圍成的面積為一般的，有兩條連續曲線 及直線 所圍成的平面圖形的面積為

2、 1 簡單圖形： 型和型平面圖形 .2 簡單圖形的面積 : 給出型和型平面圖形的面積公式. 對由曲線 和 圍成的所謂“兩線型”圖形, 介紹面積計算步驟.注意利用圖形的幾何特征簡化計算. ( 參閱4P232240 E8693 )例 1 求拋物線 與直線 所圍的平面圖形的面積.所給的區域不是一個規范的x-區域, 如圖需將其切成兩塊, 即可化成x-形區域的面積問題第一塊的面積等于 int(2*sqrt(x),x,0,1) ans = 4/3 第二塊的面積等于int(sqrt(x)-(x-3)/2,x,1,9) ans = 28/3 28/3+4/3 ans = 10.6667 總面積 我們也可以把圖

3、形看成 y-形區域計算其面積int(-y2+2*y+3,y,-1,3) ans = 32/3 例2 求由曲線 圍成的平面圖形的面積.例3 求由拋物線 與直線 所圍平面圖形的面積.3 參數方程下曲邊梯形的面積公式： 設區間上的曲邊梯形的曲邊由方程.由參量方程表示 且 在 上連續， （對于 或 的情況類似討論）。計算中，主要的困難是上下限的確定。上下限的確定通常有兩種方法：1）具體計算時常利用圖形的幾何特征 . 2）從 參數方程 定義域的分析確定例2 求擺線 的一拱與x 軸所圍的平面圖形的面積 由圖看出, 對應原點 (0 , 0 ) , 對應一拱的終點 所以其面積為int(a2*(1-cos(t)

4、2,0,2*pi) ans = 3*pi*a2 例2 求由曲線 所圍圖形的面積. (cd3)由圖看出, 積分的上下限應為 t 從 1 到 1, 其面積為:極坐標下平面圖形的面積 : 若曲線是極坐標方程和參數方程一樣，極坐標情況面積的計算主要困難是積分上下限的確定。確定上下限方法通常也是1）利用圖象；2）分析 定義域例3 求雙扭線 圍成的平面圖形的面積解 先看一下雙紐線的圖象，t=0:pi/50:2*pi;r=sqrt(cos(2*t);r1=real(r);polar(t,r1,r)它由兩支，因 ，所以雙扭線 所圍成的平面圖形的面積為int(a2*cos(2*x), -pi/4,pi/4) ans = a2 例1 求曲線與 所圍部分的面積例2三葉形曲線所圍成的平面圖形的面積解 先用Matlab畫出三葉形曲線的圖形t=0:pi/50:2*pi; r=sin(3*t);