1、華南農業大學期末考試試卷（A卷）2012-2013學年第 二 學期 考試科目：數學建模考試類型：（閉卷）考試 考試時間：120 分鐘學號 姓名 年級專業 題號一二三四五六七八總分得分評閱人得分一、(滿分12分) 一人擺渡希望用一條船將一只狼.一只羊.一籃白菜從河岸一邊帶到河岸對面.由于船的限制.一次只能帶一樣東西過河.絕不能在無人看守的情況下將狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起.怎樣才能將它們安全的帶到河對岸去? 建立多步決策模型,將人、狼、羊、白菜分別記為i = 1.2.3.4.當i在此岸時記xi = 1.否則為0；此岸的狀態下用s =（x1.x2.x3.x4）表示。該問題中決策為乘船方案.記

2、為d = (u1, u2, u3, u4).當i在船上時記ui = 1.否則記ui = 0。(1) 寫出該問題的所有允許狀態集合；（3分）(2) 寫出該問題的所有允許決策集合；（3分）(3) 寫出該問題的狀態轉移率。（3分）(4) 利用圖解法給出渡河方案. （3分）解：(1) S=(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)及他們的5個反狀（3分）(2) D = (1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0) （6分） (3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分） (4)方

3、法：人先帶羊.然后回來.帶狼過河.然后把羊帶回來.放下羊.帶白菜過去.然后再回來把羊帶過去。 或: 人先帶羊過河.然后自己回來.帶白菜過去.放下白菜.帶著羊回來.然后放下羊.把狼帶過去.最后再回轉來.帶羊過去。 （12分）得分1、 二、(滿分12分) 在舉重比賽中.運動員在高度和體重方面差別很大.請就下面兩種假設.建立一個舉重能力和體重之間關系的模型：（1） 假設肌肉的強度和其橫截面的面積成比例。6分（2） 假定體重中有一部分是與成年人的尺寸無關.請給出一個改進模型。6分解：設體重w（千克）與舉重成績y （千克）（1） 由于肌肉強度(I)與其橫截面積(S)成比例.所以 yµ

4、IµS 設h為個人身高.又橫截面積正比于身高的平方.則S µ h2 再體重正比于身高的三次方.則w µ h3 故舉重能力和體重之間關系的模型為： （6分） （2） 體重中與成年人尺寸無關的重量為a, 則一個最粗略的模型為 ( 12分) 得分三、(滿分14分) 某學校規定.運籌學專業的學生畢業時必須至少學習過兩門數學課、三門運籌學課和兩門計算機課。這些課程的編號、名稱、學分、所屬類別和先修課要求如下表所示。那么.畢業時學生最少可以學習這些課程中哪些課程? 課程編號課程名稱學分所屬類別先修課要求 1微積分5數學 2線性代數4數學 3最優化方法4數學；運籌學微積分；線性

5、代數 4數據結構3數學；計算機計算機編程 5應用統計4數學；運籌學微積分；線性代數 6計算機模擬3計算機；運籌學計算機編程 7計算機編程2計算機 8預測理論2運籌學應用統計 9數學實驗3運籌學；計算機微積分；線性代數記i=1.2.9表示9門課程的編號。設表示第i門課程選修.表示第i門課程不選, 建立數學規劃模型(1) 寫出問題的目標函數(4分)(2) 每人至少學習過兩門數學課、三門運籌學課和兩門計算機課,如何表示此約束條件? (5分)(3) 某些課程有先修課要求, 如何表示此約束條件? (5分)解 (1) (4分) (2) (9分) (3) (14分) 得分四、(滿分10分) 雨滴的速度與空氣

6、密度、粘滯系數和重力加速度有關.其中粘滯系數的量綱= 1.用量綱分析方法給出速度的表達式.解：設, 的關系為,=0.其量綱表達式為=LM0T-1.=L-3MT0.=LM0T-2,其中L.M.T是基本量綱. (3分)量綱矩陣為 A=齊次線性方程組Ay=0 .即 的基本解為y=(-3 ,-1 ,1 ,1) (7分)由量綱PI定理 得 . .其中是無量綱常數. (10分) 得分 五、(滿分12分)設某種群 時刻的數量為 ,初始數量為 ,(1) 寫出種群數量的指數增長模型并求解;(2) 設容許的資源環境最大數量為, 寫出種群數量的阻滯增長模型(logistic), 并求其平衡點.解 (1) (3分)

7、(6分) (2) (9分) 平衡點為 和 (12分)得分六、（滿分10分）設在一個島嶼上棲居著食肉爬行動物和哺乳動物.又長著茂盛的植物。爬行動物以哺乳動物為食.哺乳動物又依賴植物生存.假設食肉爬行動物和哺乳動物獨自生存時服從Logistic變化規律.植物獨自生存時其數量增長服從指數增長規律。現有研究發現.當哺乳動物吃食植物后.植物能釋放某些化學物質對吃食的哺乳動物產生一定的毒害作用。通過適當的假設.建立這三者間的關系模型.解：設植物、哺乳動物和食肉爬行動物的數量分別為x1(t), x2(t), x3(t)假設單位數量的植物所釋放的化學物質對吃食植物后的哺乳動物的毒害作用率為k. （3分） （1

8、0分）得分七、（滿分15分）經過一番打探及親身體驗.你準備從三種車型（記為a,b,c)中選出一種購買.選擇的標準主要有價格.耗油量大小.舒適程度和外表美觀。經反復思考比較.構造了它們之間的成對比較矩陣已知其最大特征值近似為4.1983.另外.下列矩陣分別是三種車型關于價格、耗油量、舒適度、及你對它們外表的喜歡程度的成對比較陣：其中矩陣的元素是分別是a,b,c三種車型對于四種標準的優越性的比較尺度.假定這些成對比較陣（包括A）都通過了一致性檢驗.且已知的最大特征值與對應的歸一化特征向量（見下表）：矩陣最大特征值對應歸一化特征向量C13.009( 0.5396 0.2970 0.1634 )C23

9、.119 ( 0.1056 0.7445 0.1499 )C33.086( 0.6267 0.2797 0.0936 )C43.065 ( 0.1884 0.7306 0.0810 )(1) 根據上述矩陣將四項標準在你心目中的比重由重到輕的順序排出(5分)；(2) 分別確定哪種車最便宜、最省油、最舒適、最漂亮(5分)；(3) 確定你對這三種車型的喜歡程度（用百分比表示）(5分)；解： 記4個準則價格.耗油量大小.舒適程度和外表美觀分別為C1.C2.C3.C4.則即的影響稍強即的影響強即的影響稍強所以四項標準在心目中的比重由重到輕的順序為：價格、耗油量大小、適合程序、外觀美觀 (5分) (2)

10、考慮比較陣C1表明車型a的價格優越性高于車型b.即車型a比車型b便宜表明車型b的價格優越性高于車型c.即車型b比車型c便宜所以最便宜的車型為a. (7分)同理可得最省油的車型為b； (8分)最舒適的車型為a； (9分)最漂亮的車型為b。 (10分)(3) 車型a的組合權重（0.5820.0.2786.0.0899.0.0495）·(0.5396.0.1056.0.6267.0.1884)T=0.41車型b的組合權重（0.5820.0.2786.0.0899.0.0495）·(0.2970.0.7445.0.2797.0.7306)T=0.44車型c的組合權重（0.5820.

11、0.2786.0.0899.0.0495）·(0.1634.0.1499.0.0936.0.0810)T=0.15(13分)車型a.b.c的喜歡程度分別為41%.44%.15% （15分）得分八、（滿分15分）A,B,C三個廠家都生產某產品. 2009年它們在某地區的市場占有率2009年分別為： A廠家:40%, B廠家:40%, C廠家: 20%。已知在每年各個廠家之間的市場占有率轉移的基本情況是：A廠家的客戶有60%繼續用該廠家的產品.20%轉為B廠家.20%轉為C廠家；B廠家的客戶有80%繼續用該廠家的產品.10%轉為A廠家.10%轉為C廠家；C廠家的客戶有50%繼續用該廠家的

12、產品.10%轉為A廠家.40%轉為B廠家。 （1）預測2010年哪個廠家的市場占有率最大。（6分）（2）經過很長時間以后.哪個廠家的市場占有率最大？（6分）解：狀態轉移概率矩陣為： （2分） （4分） （6分）2010年B廠家市場占有率最大 。 （8分） (2) 設穩態概率.則 （10分）又因為 (12分）聯立解得 （14分）B廠家市場占有率最大. （15分）二、簡答題（每小題滿分8分.共24分） 1模型的分類 答：按照模型替代原型的方式.模型可以簡單分為形象模型和抽象模型兩類. 形象模型：直觀模型、物理模型、分子結構模型等； 抽象模型：思維模型、符號模型.數學模型等。 2數學建模的基本步驟

13、答：（1）建模準備：數學建模是一項創新活動.它所面臨的課題是人們在生產和科研中為了使認識和實踐進一步發展必須解決的問題。建模準備就是要了解問題的實際背景.明確建模的目的.掌握對象的各種信息.弄清實際對象的特征.情況明才能方法對； （2）建模假設：根據實際對象的的特征和建模的目的.在掌握必要資料的基礎上.對原型進行抽象、簡化.把那些反映問題本質屬性的形態、量及其關系抽象出來.簡化掉那些非本質的因素.使之擺脫原型的具體復雜形態.形成對建模有用的信息資源和前提條件.并且用精確的語言作出假設.是建模過程關鍵的一步。有目的性原則、簡明性原則、真實性原則和全面性原則； （3）建模建立：在建模假設的基礎上.

14、進一步分析建模假設的各條款.選擇恰當的數學工具和構造模型的方法對其進行表征.構造出根據已知條件和數據.分析模型的特征和模型的結構特點.設計或選擇求解模型的數學刻畫實際問題的數學模型； （4）模型求解：構造數學模型之后.再根據已知條件和數據分析模型的特征 第 3 頁 共 6 頁 和結構特點.設計或選擇求解模型的數學方法和算法.這其中包括解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運算以及穩定性討論.特別是編寫計算機程序或運用預算法相適應的軟件包.并借助計算機完成對模型的求解； （5）模型分析：根據建模的目的要求.對模型求解的數字結果.或進行變量之間的依賴關系分析.或進行穩定性分析.或進行系統參數的靈敏度分析.

15、或進行誤差分析等。通過分析.如果不符合要求.就修改或增減建模假設條件.重新建模.直到符合要求；通過分析如果符合要求.還可以對模型進行評價、預測、優化等； （6）模型檢驗：模型分析符合要求之后.還必須回到客觀實際中對模型進行檢驗.用實際現象、數據等檢驗模型的合理性和適用性.看它是否符合客觀實際.若不符合.就修改或增減假設條件.重新建模.循環往復.不斷完善.直到獲得滿意結果。目前計算機技術已為我們進行模型分析、模型檢驗提供了先進的手段.充分利用這一手段.可以節約大量的時間、人力和物力； （7）模型應用：模型應用是數學建模的宗旨.也是對模型的最客觀、最公正的檢驗。因此.一個成功的數學模型.必須根據建

16、模的目的.將其用于分析、研究和解決實際問題.充分發揮數學模型在生產和科研中的特殊作用。 3數學模型的作用 答：數學建模的教學及競賽是實施素質教育的有效途徑.它既增強了學生的數學應用意識.又提高了大學生運用數學知識和計算機技術分析和解決實際問題的能力。開展數學建模教學與競賽對大學生能力的培養是全面的。這表現在創新精神和創新能力的培養.查閱文獻資料、分析綜合、抽象概括能力的培養.應用能力的培養.運用數學工具和計算機以及實踐能力的培養等方面。 數學建模有利于培養學生創新精神和創造能力。數學建模的問題具有一定的開放性.沒有一定的規矩可循.沒有事先設定的標準答案或答案不是唯一的.具有較大的靈活性。因此需

17、要突破傳統的思維模式.面對復雜問題發揮學生的創新精神和創造力、想象力、洞察力以及解決問題的邏輯推理和量化分析能力.善于從實際問題提供的原形中抓住其數學本質.建立新穎的數學模型。 數學建模有利于培養學生雙向翻譯能力。它要求學生運用學過的數學知識.把實際問題翻譯成數學模型.又將數學模型的結果用淺顯易懂的語言翻譯出來。 數學建模有利于培養學生獲取文獻資料信息的能力。在信息社會中.信息和知識以前所未有的速度傳播和擴散.這就要求學生具有良好的獲取文獻資料信息的能力.以便適應現代社會技術創新和知識更新的需要。數學建模問題有強烈實際背景.涉及到不同的學科領域.問題錯綜復雜。這就促使學生圍繞實際問題廣泛查閱資料.獲取自己有用的材料.這大大鍛煉和提高了學生自覺使用資料的能力。