1、數列中的奇偶項問題例1、（12寧波一模）已知數列滿足：，設.（1）求并證明：（2）證明：數列等比數列；若成等比數列，求正整數k的值.解：（1） （2）因為所以數列是以3為首項，2為公比的等比數列.由數列可得，則，因為成等比數列，所以，令，得，解得，得.例2、（14寧波二模）設等差數列的前n項和為，且數列的前n項和為，且，（I）求數列,的通項公式；（II）設， 求數列的前項和解：（）由題意，得 3分 ，兩式相減，得數列為等比數列， 7分（） 當為偶數時， = 10分當為奇數時，（法一）為偶數， 13分點評:根據結論1退而求之.（法二） 13分 14分點評：分清項數，根據奇偶進行分組求和。點評:1

2、、 數列中的奇數項、偶數項數列問題實質上是對一個數列分成兩個新的數列進行考查，易搞錯的是新數列與原數列的項數、公差、公比的判定；2、 數列問題主要涉及通項與求和、等差與等比、特殊數列與非特殊數列、新數列與舊數列的四大問題的考查。3、 常用知識點：(1) 等差數列的奇數項、偶數項各自組成一個新的等差數列。（2）項數為奇數的等差數列有：； ； = 項數（3）項數為偶數的等差數列有：； (4) 等比數列的奇數項、偶數項各自組成一個新的等比數列，公比都是。練習：1. 已知數列an滿足an1若a31，則a1的所有可能取值為_解析：當a2為奇數時，a3a241，a25；當a2為偶數時，a3a21，a22；

3、當a1為奇數時，a2a125，a17或a2a122，a14(舍去)；當a1為偶數時，a2a15，a110或a2a12，a14.綜上，a1的可能取值為4,7,10.答案：4,7,102. 一個數列an，當n是奇數時，an5n1；當n為偶數時，an，則這個數列的前2m項的和是_解析：當n為奇數時，an是以6為首項，以10為公差的等差數列；當n為偶數時，an是以2為首項，以2為公比的等比數列所以，S2mS奇S偶ma1×106m5m(m1)2(2m1)6m5m25m2m122m15m2m2.參考題目：1已知等差數列an的公差為2，項數是偶數，所有奇數項之和為15，所有偶數項之和為25，則這個

4、數列的項數為()A10 B20 C30 D40解析：選A設這個數列有2n項，則由等差數列的性質可知：偶數項之和減去奇數項之和等于nd，即25152n，故2n10，即數列的項數為10.2、等比數列的首項為，項數是偶數，所有的奇數項之和為，所有的偶數項之和為，則這個等比數列的項數為 （C） （A） （B） （C） （D）3、已知數列an，bn滿足a11，且an，an1是函數f(x)x2bnx2n的兩個零點，則b10_.解析：anan1bn，an·an12n，an1·an22n1，an22an.又a11，a1·a22，a22，a2n2n，a2n12n1(nN*)，b10

5、a10a1164.4、已知數列an滿足a15，anan12n，則()A2 B4 C5 D.解析：選B依題意得2，即2，故數列a1，a3，a5，a7，是一個以5為首項、2為公比的等比數列，因此4.5已知數列an滿足a11，an1·an2n(nN*)，設Sn是數列an的前n項和，則S2 014()A22 0141 B3×21 0073C3×21 0071 D3×21 0072解析：選B由2，且a22，得數列an的奇數項構成以1為首項，2為公比的等比數列，偶數項構成以2為首項，2為公比的等比數列，故S2 014(a1a3a5a2 013)(a2a4a6a2 0

6、14)3×21 0073.對比： an1/an2n則用累乘法，6. 數列an的前n項和為Sn，a11，a22，an2an1(1)n(nN*)，則S100_.解析：由an2an1(1)n，知a2k2a2k2，a2k1a2k10，a1a3a5a2n11，數列a2k是等差數列，a2k2k.S100(a1a3a5a99)(a2a4a6a100)50(246100)502 600.點評：分奇偶項求和，實質分組法求和，注意公差和公比。對比練習：(2014·衢州模擬)對于數列an，定義數列an1an為數列an的“差數列”，若a12，an的“差數列”的通項公式為2n，則數列an的前n項和S

7、n_.解析：an1an2n，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2222222n222n.Sn2n12.7、(2013·天津高考)已知首項為的等比數列an的前n項和為Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4成等差數列(1)求數列an的通項公式；(2)證明Sn(nN*)解題指導(1)利用等差數列的性質求出等比數列的公比，寫出通項公式；(2)求出前n項和，根據函數的單調性證明解(1)設等比數列an的公比為q，因為2S2，S3,4S4成等差數列，所以S32S24S4S3，即S4S3S2S4，可得2a4a3，于是q.又a1，所以等比數列an的通項公式為an×n

8、1(1)n1·.(2)證明：Sn1n，Sn1n當n為奇數時，Sn隨n的增大而減小，所以SnS1.當n為偶數時，Sn隨n的增大而減小，所以SnS2.故對于nN*，有Sn.變式：(2013·湖北高考)已知Sn是等比數列an的前n項和，S4，S2，S3成等差數列，且a2a3a418.求數列an的通項公式；是否存在正整數n，使得Sn2 013？若存在，求出符合條件的所有n的集合；若不存在，說明理由解析：設數列an的公比為q，則a10，q0.由題意得即解得故數列an的通項公式為an3×(2)n1.由有Sn1(2)n.若存在n，使得Sn2 013，則1(2)n2 013，即(2)n