1、第六章 微分中值定理及其應用（計劃課時： 8時 ）§ 1中值定理（ 3時 ）一 思路: 在建立了導數的概念并討論了其計算后，應考慮導數在研究函數方面的一些作用。基于這一目的，需要建立導數與函數之間的某種聯系。還是從導數的定義出發：=.若能去掉導數定義中的極限符號,即,則目的就可達到.這樣從幾何上說就是要考慮曲線的割線與切線之間的平行關系. 一方面要考慮給定割線, 找平行于該割線的切線; 另一方面要考慮給定切線, 找平行于該切線的割線. (1)若給定的割線是水平的、斜的或曲線的方程以參數方程的形式給出，則分別可找出相應的切線平行于該割線，再分析所需要的條件，就可建立起Rolle定理、L

2、agrange定理、Cauchy定理. 這三個微分中值定理用一句話概括：對于處處連續、處處有切線曲線的每一條割線都可以找到平行于該割線的切線. (2)若給定切線, 找平行于該切線的割線, 則不一定能實現. 二 微分中值定理: 1. Rolle中值定理: 敘述為Th1. ( 證 ) 定理條件的充分但不必要性.2. Lagrange中值定理: 敘述為Th2.( 證 ) 圖解 .用分析方法引進輔助函數, 證明定理. Lagrange中值定理的各種形式. 關于中值點的位置.系1 函數在區間I上可導且為I上的常值函數. (證)系2 函數和在區間I上可導且系3 設函數在點的某右鄰域上連續,在內可導.若存在

3、 , 則右導數也存在, 且有(證)但是, 不存在時, 卻未必有不存在. 例如對函數雖然不存在,但卻在點可導(可用定義求得).Th3 (導數極限定理)設函數在點的某鄰域 內連續, 在內可導.若極限存在, 則也存在, 且( 證 )由該定理可見, 若函數在區間I上可導,則區間I上的每一點,要么是導函數的連續點,要么是的第二類間斷點.這就是說,當函數在區間I上點點可導時, 導函數在區間I上不可能有第二類間斷點. 3. Cauchy中值定理:Th 4 設函數和在閉區間上連續, 在開區間內可導, 和在內不同時為零, 又 則在內至少存在一點 使得.證 分析引出輔助函數 . 驗證在上滿足Rolle定理的條件,

4、 必有, 因為否則就有.這與條件“和在內不同時為零”矛盾. Cauchy中值定理的幾何意義.Ex 1P163 14；三 中值定理的簡單應用: ( 講1時 ) 1. 證明中值點的存在性:例1設函數在區間上連續, 在內可導, 則, 使得.證 在Cauchy中值定理中取.例2設函數在區間上連續, 在內可導, 且有.試證明: .2. 證明恒等式: 原理.例3證明: 對, 有 .例4 設函數和可導且又 則 .(證明 . )例5 設對,有 ,其中是正常數.則函數是常值函數. (證明 ).3. 證明不等式: 原理. 例6 證明不等式: 時, .例7 證明不等式: 對，有. 4. 證明方程根的存在性:例8 證

5、明方程 在內有實根.例9 證明方程 在內有實根.四 單調函數 （結合幾何直觀建立）1 可導函數單調的充要條件Th 5設函數在區間內可導. 則在內(或) 在內 ( 或 ).例10 設.試討論函數的單調區間.解:確定定義域. 函數的定義域為.求導數并分解因式.確定導數為0的點和不存在的點.令,得將導數為0的點和不存在的點作為分點插入函數的定義域,列表討論各個區間上的單調性.列表(-1,1)02 可導函數嚴格單調的充要條件Th6設函數在區間內可導.則在內( 或)> 對 有 ( 或; > 在內任子區間上3 可導函數嚴格單調的充分條件推論 見P124例11 證明不等式 Ex 1P124125

6、 17.§2 不定式的極限( 2時 )一. 型:Th 1 (Hospital法則 ) ( 證 ) 應用技巧.例1 例2.例3. ( 作代換 或利用等價無窮小代換直接計算. )例4. ( Hospital法則失效的例 )二 型:Th 2 (Hospital法則 ) ( 證略 )例5.例6.注: 關于當時的階.例7. ( Hospital法則失效的例 )三. 其他待定型:.前四個是冪指型的.例8例9.例10.例11.例12.例13.例14設 且 求解.Ex 1P132133 15.§3 Taylor公式 ( 3時 ) 一. 問題和任務: 用多項式逼近函數的可能性; 對已知的函數

7、, 希望找一個多項式逼近到要求的精度.二. Taylor( 16851731 )多項式:分析前述任務，引出用來逼近的多項式應具有的形式定義(Taylor 多項式 及Maclaurin多項式)例1 求函數在點的Taylor 多項式. 三. Taylor公式和誤差估計:稱 為余項. 稱給出的定量或定性描述的式為函數的Taylor公式. 1. 誤差的定量刻畫( 整體性質 ) Taylor中值定理:Th 1 設函數滿足條件:> 在閉區間上有直到階連續導數;> 在開區間內有階導數.則對 使.證 1P138139.稱這種形式的余項為Lagrange型余項.并稱帶有這種形式余項的Taylor公式

8、為具Lagrange型余項的Taylor公式.Lagrange型余項還可寫為.時, 稱上述Taylor公式為Maclaurin公式, 此時余項常寫為.2. 誤差的定性描述( 局部性質 ) Peano型余項:Th 2 若函數在點的某鄰域內具有階導數, 且存在, 則,.證 設, . 應用Hospital法則次,并注意到存在, 就有=.稱為Taylor公式的Peano型余項,相應的Maclaurin公式的Peano型余項為. 并稱帶有這種形式余項的Taylor公式為具Peano型余項的Taylor公式( 或Maclaurin公式 ). 四. 函數的Taylor公式( 或Maclaurin公式 )展開

9、:1. 直接展開:例2 求 的Maclaurin公式.解.例3 求 的Maclaurin公式.解,.例4求函數的具Peano型余項的Maclaurin公式 .解.例5把函數展開成含項的具Peano型余項的Maclaurin公式.2. 間接展開: 利用已知的展開式, 施行代數運算或變量代換, 求新的展開式.例6 把函數展開成含項的具Peano型余項的Maclaurin公式 .解 ,.例7 把函數展開成含項的具Peano型余項的Maclaurin公式 .解,注意, .例8 先把函數展開成具Peano型余項的Maclaurin公式.利用得到的展開式, 把函數在點展開成具Peano型余項的Taylor

10、公式.解. =+例9 把函數展開成具Peano型余項的Maclaurin公式 ，并與的相應展開式進行比較.解 ;.而 . 五. Taylor公式應用舉例: 1. 證明是無理數:例10 證明是無理數.證 把展開成具Lagrange型余項的Maclaurin公式, 有.反設是有理數, 即和為整數), 就有 整數 + .對也是整數. 于是, 整數=整數整數=整數.但由 因而當 時，不可能是整數. 矛盾.2. 計算函數的近似值:例11 求精確到的近似值.解.注意到 有 . 為使,只要取. 現取, 即得數的精確到的近似值為.3. 利用Taylor公式求極限:原理:例12 求極限 .解,;.4 證明不等式

11、： 原理.例13 證明: 時, 有不等式 . Ex 1P141 13.§4 函數的極值與最大（?。┲担?4時 ）一 可微函數極值點判別法:極值問題:極值點,極大值還是極小值, 極值是多少.1. 可微極值點的必要條件:Th1 Fermat定理(取極值的必要條件).函數的駐點和(連續但)不可導點統稱為可疑點, 可疑點的求法.2. 極值點的充分條件:對每個可疑點, 用以下充分條件進一步鑒別是否為極（結合幾何直觀建立極值點的判別法）Th 2 (充分條件) 設函數在點連續, 在鄰域和內可導. 則> 在內 在內時, 為的一個極小值點;> 在內 在內時,為的一個極大值點;> 若在

12、上述兩個區間內同號, 則不是極值點.或列表為不存在極小值點不存在極大值點不存在非極值點不存在非極值點Th 3 (充分條件“雨水法則”)設點為函數的駐點且存在.則> 當時, 為的一個極大值點;> 當時, 為的一個極小值點.證法一當時, 在點的某空心鄰域內與異號,證法二 用Taylor公式展開到二階, 帶Peano型余項.Th 4 (充分條件 ) 設,而.則>為奇數時, 不是極值點;>為偶數時, 是極值點. 且對應極小; 對應極大.例1 求函數的極值. 例2 求函數的極值. 例3 求函數的極值.注 Th 2、 Th 3、 Th 4只是極值點判別的充分條件.如函數它在處取極小

13、值,但因.所以無法用Th 4對它作出判別.二 函數的最大值與最小值:設函數在閉區間上連續且僅有有限個可疑點. 則=;.函數最值的幾個特例:> 單調函數的最值:> 如果函數在區間上可導且僅有一個駐點, 則當為極大值點時, 亦為最大值點; 當為極小值點時,亦為最小值點.> 若函數在內可導且僅有一個極大(或小)值點, 則該點亦為最大(或小)值點.> 對具有實際意義的函數, 常用實際判斷原則確定最大(或小)值點.例4 求函數在閉區間上的最大值與最小值.B最值應用問題:例5 、兩村距輸電線(直線A1.5km)分別為和（如圖），1km長. 現兩村合用一臺變壓器供電. 問變壓器設在何

14、處,輸電線總長最小.DEC解 設如圖，并設輸電線總長為.則有, 解得 和 ( 舍去 ). 答： 三 利用導數證明不等式:我們曾在前面簡介過用中值定理或Taylor公式證明不等式的一些方法. 其實, 利用導數證明不等式的方法至少可以提出七種 ( 參閱3P112142 ). 本段僅介紹利用單調性或極值證明不等式的簡單原理.1. 利用單調性證明不等式: 原理: 若, 則對, 有不等式.例5證明: 對任意實數和, 成立不等式證 取在內.于是, 由 , 就有 , 即. 2. 不等式原理:設函數在區間上連續,在區間內可導,且; 又 則 時, (不等式原理的其他形式.)例6 證明: 時, .例7 證明: 時

15、, .3. 利用極值證明不等式:例8 證明: 時, .Ex 1P146147 19.§5 函數的凸性與拐點（ 2時 ）一 凸性的定義及判定：1 凸性的定義：由直觀引入. 強調曲線彎曲方向與上升方向的區別.定義 見書P146凸性的幾何意義:曲線的彎曲方向;曲線與弦的位置關系;曲線與切線的位置關系. 引理(弦與弦斜率之間的關系)2 利用一階導數判斷曲線的凸向Th1 (凸的等價描述) 見書P146例1 (開區間內凸函數的左、右可導性,從而開區間內凸函數是連續的)3 利用二階導數判斷曲線的凸向:Th2 設函數在區間內存在二階導數, 則在內在內嚴格上凸;在內嚴格下凸.證法一 ( 用Taylor

16、公式 ) 對 設, 把在點展開成具Lagrange型余項的Taylor公式, 有.其中和在與之間. 注意到 , 就有, 于是 若有 上式中, 即嚴格上凸. 若有 上式中, 即嚴格下凸.證法二 ( 利用Lagrange中值定理. ) 若 則有, 不妨設,并設 ,分別在區間和上應用Lagrange中值定理, 有,.有 又由 ，<, ， 即， 嚴格下凸.可類證的情況.例2 討論函數的凸性區間.例3 若函數為定義在開區間內的可導函數,則為的極值點的充要條件是為的穩定點，即4 凸區間的分離: 的正、負值區間分別對應函數的下凸和上凸區間.二. 曲線的拐點:拐點的定義.Th3 (拐點的必要條件)Th4

17、 (拐點的充分條件)不存在拐點不存在拐點不存在非拐點不存在非拐點注:函數的凹凸性、拐點歸結為其一階導函數的增減性、極值點.例4 討論曲線的拐點.極大值拐點三 Jensen不等式及其應用:Jensen不等式:設在區間上恒有( 或, 則對上的任意個點 , 有Jensen不等式:( 或,且等號當且僅當時成立.證 令, 把表為點處具二階Lagrange型余項的Taylor公式，仿前述定理的證明，注意 即得所證.對具體的函數套用Jensen不等式的結果,可以證明一些較復雜的不等式.這種證明不等式的方法稱為Jensen不等式法或凸函數法.具體應用時,往往還用到所選函數的嚴格單調性.例2證明: 對 有不等式 .例3 證明均值不等式: 對, 有均值不等式.證 先證不等式. 取. 在內嚴格上凸, 由Jensen不等式, 有.由. 對用上述已證結果, 即得均值不等式的左半端.例4 證明: 對, 有不等式. ( 平方根平均值 )例5設，證明 .解 取, 應用Jensen不等式.例6 在中, 求證 .解 考慮函數在區間內凹, 由Jensen不等式, 有.例7 已知. 求證.解 考慮函數, 在內嚴格上凸. 由Jensen不等式, 有. .例8 已知 求證 . ( 留為作業 )(解