1、pp 第一章 數(shù)字信號處理的特點(diǎn)、實現(xiàn)和應(yīng)用p 第二章 離散時間信號與離散時間系統(tǒng)p 數(shù)字信號處理變換及算法p 第三章 離散葉變換及其快速計算方法p 數(shù)字濾波器的設(shè)計與實現(xiàn)p 第四章 IIR 數(shù)字濾波器設(shè)計與實現(xiàn)p 第五章 FIR 數(shù)字濾波器設(shè)計與實現(xiàn)2IIRFIR1p IIR與FIR性能比較p IIR數(shù)字濾波器p 幅頻特性較好，但相頻特性較差p FIR數(shù)字濾波器p 可以嚴(yán)格線性相位，又可任意幅度特性p 因果穩(wěn)定系統(tǒng)p 可用 FFT 計算 (計算兩個有限長序列的線性卷積)p 但階次比 IIR 濾波器要3IIRFIR2p IIR 與 FIR 設(shè)計方法比較pIIR DFp 無限沖激響應(yīng)，H(Z)

2、是 z-1 的有理分式，借助于模擬濾波器設(shè)計方法，階數(shù)低（同樣性能要求）。其優(yōu)異的幅頻特性是以非線性相位為代價的。p 缺點(diǎn)：只能設(shè)計特定類型的濾波器，不能逼近任意的頻響。FIR DFp 有限沖激響應(yīng)，系統(tǒng)函數(shù) H(Z) 是 z-1 的多項式，采用直接逼近的方法，逼近所要求的頻率響應(yīng)。設(shè)計靈活性強(qiáng)。p 缺點(diǎn)： 設(shè)計方法復(fù)雜； 延遲大； 階數(shù)高。p(運(yùn)算量比較大，因而在實現(xiàn)上需要比較多的運(yùn)算單元和FIR DF 的技術(shù)要求p 通帶頻率p，阻帶頻率s 及最大衰減p，最小衰減sp 很重要的一條是保證 H(z) 具有線性相位。單元)p4FIR DFp FIR 數(shù)字濾波器p 設(shè)計 FIR 濾波器的任務(wù)p 給

3、定要求的頻率特性，按一定的最佳逼近準(zhǔn)則，選定 h(n) 及階數(shù)N。p 三種設(shè)計方法p 窗函數(shù)法p 頻率采樣法p FIR DF 的 CAD - 切比雪夫等波紋逼近法5FIR DFpFIR 系統(tǒng)定義：一個數(shù)字濾波器 DF 的輸出 y(n)，如果僅取決于有限個過去的輸入和現(xiàn)在的輸入x(n), x(n-1),. ., x(n-N+1)，則稱之為FIR DF。FIR濾波器的差分方程為：pN-1y(n) = åbk x(n - k)=FIR濾波器的I/O 關(guān)系：pN-1y(n) = åh(r)x(n - r)r=0FIR 濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：ph(0)zN-1 + h(1)zN-2+ .

4、h(N - 1)N-1H(z) = åh(r)z=-rzN-1N-1r=0一，。ÞZN-16FIR DFp FIR DF 的頻率響應(yīng)為：N -1H (e jw ) = å h(n)ejnw(w )ejq (w )= Hrn= 0Hr()：振幅響應(yīng)，它是一個取值可正可負(fù)的實函數(shù)。() = arg H(ejw) 為數(shù)字濾波器的相位響應(yīng)。FIR 濾波器的最重要特點(diǎn)是能實現(xiàn)線性相位。具有線性相移特性的FIR 濾波器是FIR 濾波器中應(yīng)用最廣泛的一種。7p 線性相位FIR DF 的條件和特性p 線性相位FIR DF 的設(shè)計方法p 窗函數(shù)法p 頻率取樣法p FIR DF的實現(xiàn)

5、結(jié)構(gòu)81p 信號通過線性濾波器時，其幅度和相位可能會發(fā)生改變，濾波器幅 頻特性 |H()|和相頻特性 () 可能會隨頻率的變化而改變。p 如：輸入正弦信號Acos(n0)則：輸出為 |H(0)| Acos(n0)，其中相移(0)輸出頻率和輸入頻率相同，但幅度和相位都發(fā)生了變化p 輸出信號比輸入信號滯后的樣點(diǎn)數(shù)n (位移) 可由下式求得:設(shè)：n00q = - q (w 0 )n = -濾波器在數(shù)字頻率 處的相位延遲（位移）0ww00p 由于不同頻率分量通過濾波器產(chǎn)生的相位延遲n 的不同，最終產(chǎn)生了相位失真。p 確保不產(chǎn)生位失的辦法：使不同頻率的信號通過濾波時相同的延遲n。92p 對不同的頻率有恒

6、定的相移，不同的相位延遲n，會產(chǎn)生相位失真。例：方波y(t) 可以用無數(shù)奇次諧波的正弦波的疊加來得到：y(t) = 4 sin(Wt) + 1 sin(3Wt) + 1 sin(5Wt) + 1 sin(7Wt) + 1 sin(9Wt) +Lp3579若每個正弦波相移 =/2 弧度：41111yp (t)= p cos(Wt) + 3 cos(3Wt) + 5 cos(5Wt) + 7 cos(7Wt) + 9 cos(9Wt) + L可見相移之后正弦波之和已不再是方波。對所有的頻率要求恒定的相移，不能避免相位失真。隨著頻率的變化而改變相位，使濾波器具有線性相位特性，即使所有頻率的相位延遲保

7、持恒定，這種方法可通過使系統(tǒng)的相位函數(shù)()為頻率的線性函數(shù)來實現(xiàn)。10FIR DFp 三個內(nèi)容p 約束條件pp h(n) 偶對稱：恒相延時和恒群延時同時成立p h(n) 奇對稱：僅恒群延時成立p 頻率響應(yīng)Type I：h n 偶對稱、N 為奇數(shù)Type II：h(n) 偶對稱、N 為偶數(shù)Type III：h(n) 奇對稱、N 為奇數(shù)Type IV：h(n) 奇對稱、N 為偶數(shù)ppppp FIR DF 零極點(diǎn)分布11FIR DFpp 濾波器的延時分為相延時和群延時兩種N -1H (e jw ) = å h(n)e- jnw n=0(w )e jq (w )=Hr令 q (w)= arg

8、 H(ejw )(w) = - q (w)(w ) = - dq (w )相延時： t群延時： twdw，這時濾波pg恒延時濾波器：p() 或g() 是不隨變化的器具有線性相位特性。12FIR DF1p 恒相延時和恒群延時同時成立p 要使p、g 都不隨 變化,() 必須是一條過原點(diǎn)直線q (w ) = -tw（負(fù)號是因為系統(tǒng)必有時延）(w)由于 FIR 濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為:N -1H (e) = å h(n)ewjw- jnw0n=0N -1= å h(n)cos nw - j sin nwn=0éù故:N -1å h(n) sin nw &#

9、250;êq (w ) = argH (e jw ) = arctan ê- n=0ú = -twN -1êúå h(n) cos nw úêëûn=013FIR DF2:tan(tw ) =N -1N -1å h(n) sintw cos nw = å h(n) costw sin nwn=0n=0N -1å h(n)sin(tw - nw) = 0n=0h(0)sin(tw) + h(1)sintww + Lh(N-1)sintw-(N-1)w = 0 h(0)

10、sin(tw)h(N-1)sintw-(N-1)w+ h(1)sintww +h(N-2)sintw(N-2)w + L+ h(n)sintw-nw + h(N-1-n)sintw-(N-1-n)w + L = 014N -1sintwå h(n) sin n= n=0costwNå-1h(n) cos nwn=0FIR DF3可以證明，當(dāng)N - 1t =h(n) = h( N - 1) - n(0 £ n £ N-1)h(n)且2上式成立，此時t p (w) = tg (w) = t =N - 10n72N -12h(n) 為偶對稱，N 為偶數(shù)恒相延時

11、和恒群延時同時成立時，線性相位濾波器的必要條件是：不管N 為偶數(shù)，還是N 為奇數(shù)，系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(n) 都關(guān)于中心點(diǎn)(N-1)/2 偶對稱。當(dāng)N 為奇數(shù)時對稱中心軸位于整數(shù)h(n)0n6N - 12樣點(diǎn)上; 當(dāng) N 為偶數(shù)時對稱中心軸位于非整數(shù)樣點(diǎn)上。，Nh(n)15FIR DF1p 只要求恒群延時成立若只要求群延時g() 為一常數(shù)，則相移特性為不過原點(diǎn)的直線。()ppq(w) = q0- tw =- twN -1N -1= åh(n)en=0é= åh(n)coswn - j sinwnH(e) = Hr (w)e故jwjq (w)- jwn0n=0N -1&#

12、249;å h(n)sinwn úêp2q (w) = arg H (e jw ) = arctan ê- n=0ú =- twN -1êúå h(n)coswn úêëûn=0于是有：épêë 2ù- tw= cot tw =tanúû16N -1-å h(n)sinwncos(tw) n=0=åN -1sin(tw)h(n)coswnn=0FIR DF2故N -1N -1å h(n)

13、coswncostw = -å h(n)sinwnsintwn=0n=0N -1å h(n)cos(tw - nw) = 0n=0可以證明，當(dāng)N - 1t =且 h(n) = -h(N - 1) - n(0 £ n £ N-1)2上式成立，此時= N - 1t (w) =g217FIR DF3p FIR濾波器單獨(dú)滿足恒定群延時的必要條件為：沖激響應(yīng) h(n) 對中心點(diǎn)(N-1)/2對稱。此時，無論N 為奇數(shù)或偶數(shù)，濾波器的相頻特性均為線性，并包含有/2 的固定相移：q (w)p- N-1 w22因此，信號通過此類濾波器時不僅產(chǎn)生 (N-1)/2 個取樣點(diǎn)

14、的延遲，還將產(chǎn)生 90o 的相移，通常這類濾波器又被稱為 90o 移相器，并具有很好的應(yīng)用價值。- 1 - N - 1 ù = -h é N - 1 ù ，故 h é Nhæ N1 ö = -h ê Né1 ù = 0當(dāng)N 為奇數(shù)時h(n)ç÷úêúêúè2øë2ûh(n)ë2ûë2û006n7nN - 12N - 12h(n) 為奇對稱，N 為偶數(shù)h(n)

15、 為奇對稱，N 為奇數(shù)18FIR DF1p 線性相位約束條件p 對于任意給定的值 N，當(dāng) FIR 濾波器的 h(n) 相對其中心點(diǎn) (N-1)/2 是對稱時，不管是偶對稱還是奇對稱，此時濾波器的相移特性是線性的，且( ) = 0 -= (N-1)/2 ,p 偶對稱： () 為過原點(diǎn)的，斜率為- 的一條直線ìq 0= 0, q (w ) = -twN - 1ïít =相時延和群時延同時成立2ïïîh(n) = h( N - 1 - n)p 奇對稱：() 對所有的頻率成分都有一個 90°相移。= p , q (w) = p -

16、twìqï022ïN - 1ït =í僅群時延同時成立2ïïh(n) = -h( N - 1 - n)ïî19FIR DF2因此，有四種類型的 FIR DF：ì類型I： h(n)偶對稱，N為奇數(shù)ï類型II： h(n)偶對稱，N為偶數(shù)ïí類型III：h(n)奇對稱，N為奇數(shù)h(n)奇對稱，N為偶數(shù)ïïî類型IV：20FIR DFType I1p h(n) 偶對稱，N 為奇數(shù)（恒相時延、恒群時延）p 此時，由于 h(n) 序列的長度為奇數(shù)，

17、因此濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)可進(jìn)行以下拆分（前后對稱部分、中心點(diǎn)）：N -1-1N -1æ N - 1 öN -1N -12- jwH (e) = å h(n)eån=0å- jnw- jnw- jnw=+ hçjwh(n)eh(n)e÷ e2è2øN -1n=0n=+12對上式的第二和式作變量替換（n=N-1-m) 后得到:N -1-1 2ån=0N -1-1 2ån=0N -1- æöN 1-jwh(n)e- jnw +h( N - 1 - n)e- j ( N -

18、1) we jnwh(n)H (e jw ) =+ he2ç÷2èøh(n) = h( N - 1 - n)H(ej)0n6N - 12h(n) 為偶對稱，N 為奇數(shù)21FIR DFType I2N -1-1- j N -1wæ N - 1 ö2åH (e jw ) =h(n) ëée- jnw+ e- j ( N -1)w e jnw ûù + hç÷ e22èøn=0ì N -1 -1üéùï

19、- j N -1wj N -1w- j N -1wæ N - 1 öï2ån=0= e÷ + ejne jníhçh(n) êee222úý2èøëû þïîïì N -1 -1ü- j N -1wæ N - 1 öéæ N - 1ùïïö2ån=0- n ÷w úý= e

20、47; +íhçh(n)2 cos êç2è2øëè2øû ïþïî- n令n' =2ìN -1ü- j N -1w -N - 1ïæ N1 öï2則上式為÷ + å 2h(H (e jw ) = e- n')cos n'w ýïþíhç2è2ø2ïîn '

21、=1N -1- j N -1w2å a(n)cos nw = e jq (w) H (w)= e2rn=022FIR DFType I3ìa(n) = h( N - 1)H (w )n = 0ï2N - 1其中íïa(n) = 2h- nn ¹ 0ïî2O2Magnitude ResponseN -1321.0.60.40.20H (w) = å a(n)cos nN=92rn=01相頻響應(yīng)： q (w) = -tw = - N-1 w02024h(n)68012frequency Unit:piPhas

22、e Response010.80.60.40.2由此可以看出其線性相位特性。由于cos(n) 對于 =0、2都是偶對稱，所以幅度響應(yīng)Hr() 對-10-20=0、2。00-30024a(n)681frequency Unit:pi223PhaseMagnitudeFIR DFType II1p h(n) 偶對稱，N 為偶數(shù)（恒相時延、恒群時延）p 由于h(n) 序列的長度為偶數(shù)，因此濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)可拆分成如下兩部分（前后對稱部分，中心點(diǎn)處無值）：N -1N -1N -12H (e jw ) = åh(n)e- jnw = å h(n)e- jnw + å h

23、(n)e- jnwn= Nn=0n=02對上式的第二和式作變量替換（n=N-1-m) 后得到:N -1N -122H (e jw ) = å h(n)e- jnw+ å h( N - 1 - n)e- j ( N -1)w e jnwn=0n=0h(n)由對稱條件h(n) = h( N - 1 - n)H(ej)0n7N -12h(n) 為偶對稱，N 為偶數(shù)24FIR DFType II2N -12H (e jw ) = å h(n) éëe- jnw+ e- j ( N -1) we jnw ùûn=0N -1N -1h(

24、n)2cosw( N -1 - n)2w å- j= e22n=0N2- n，n' =N2- j N -1wN1å 2h(n=1NH (e jw ) = e- n) cosn -w222- j N -1w122å b(n) cos(n -n=1)w e jq (w ) H(w )e2rb(n) = 2h( N - n)其中（注意n 從1 開始，即b(0)=0或沒有定義）= 1, 2, .,2225FIR DFType II3H (w )N(w) = åb(n) cos é (n-)w ù21振幅響應(yīng)：Hêë

25、úûr2n=12相頻響應(yīng)：q (w) = -tw = - N-1 wO2注意：p 在 = 處，有：NMagnitude Response210.80.6N=81.5ìæ1 öü2Hr (p ) = åb(n)cos íç n -÷p ý = 010.40.2n 從1開始îè2 øþ0.5n=100與所設(shè)計的 b(n) 或 h(n) 無關(guān)，恒為 0。024h(n)6012frequency Unit:piPhase Response這種類型（即 h

26、(n) 偶對稱，N為偶數(shù)）010.8。-10.6p 由于 cos(n-1/2) 對于 =是奇對稱，所以，Hr(w) 對 =也是奇對稱；以 =0、2為偶對稱。0.40.20-20-3002468012b(n)frequency Unit:pi26PhaseMagnitudeFIR DFType III1p h(n) 奇對稱，N 為奇數(shù)（恒群時延）h(n)p h(n) 長度為奇數(shù)，拆分成前后兩部分：N -1-1N -1H (e jw ) = å h(n)en=0N -1ån= N -1+12= å0jnwjnwjnw6n+h(n)eh(n)eN - 12n=02h(n

27、) 為奇對稱，N 為奇數(shù)h(n)=-h(N-1-n)，得:H (e jw ) =N -1 -1N -1 -1N -1 -1222åån=0ån=0h(n)e- jnwN -1 w enwnwN -1 w e nw +h( N - 1 - n)e-=h(n)e- e-n=0N -1 -1 2N -1 -1 2- j N -1w- j N -1wN - 1N - 1åån=0- n)w = je- n)w= eh(n)2 j sin(2h(n)sin(2222n=0é N -1 -1ùp N -1æ N - 1 -&#

28、246;w ú2ån=0j ( -w )êêêë= e2h(n)sinçn ÷22úúûè2ø27FIR DFType III2H (w )N - 1 - n ，則上式為：令 n' =2N -1å2j p- N -1w 2H (e jw )w = e jq (w ) H(w)Oe22rn=1æ N -1Magnitude Responseö0.60.40.20-0.2-0.41.5其中 c(n) = 2hç- n

29、47;2èø1n = 1, 2, ., ( N -1)/ 2振幅響應(yīng)：0.50024h(n)68012N -1frequency Unit:piPhase Response2H (w) = åw）1010.8n 從1開始r0n=10.60.4相頻響應(yīng)：p-10-200.2N-1q (w) =-00-30024c(n)681frequency Unit:pi22228PhaseMagnitud0.5piFIR DFType III3注意：p 在 = 0 , 和2 處，有：N -12H (e jw ) = ånw = 0rn=1與c(n) 或 h(n) 的值

30、無關(guān)，因此，這種類型的濾波器不適用于低通、帶阻或濾波器設(shè)計，而且 ，這說明jHr(w) 是純虛數(shù)，對于逼近理想數(shù)字變換和微分器，它是很有用的。理想的變換是一個濾波器，它對輸入信號產(chǎn)生 90 度的相移，它頻繁用于通信系統(tǒng)中的調(diào)制。微分器廣泛用于模擬和數(shù)字系統(tǒng)中 對信號求導(dǎo)。p 由于 sin(n) 對于 =0、2 、2為奇對稱。對稱，所以，Hr(w) 以 =0、29FIR DFType IV1h n 奇對稱，N 為偶數(shù)（恒群時延）Npj ( p - N -1w )122åd(n)sin(n -n=1H (e jw ) = e)w = e jq (w ) H(w)22r其中d(n) = 2

31、hæ N - n ÷ , n = 1, 2, 3, ., NöçèN2ø2h(n)d(n)sinæ æ n- 1 öw ö2ån=1H (w) =0ç ç2 ÷÷7nN - 12rè èøøh(n) 為奇對稱，N 為偶數(shù)pN - 1q（w）=w-2230FIR DFType IV2注意：p 在 =0, 2 處，有：NH (w )O2Magnitude ResponseH (e jw ) = åd(

32、n)sin(n - 1 )w = 020.60.40.20-0.2-0.41.5r2n=11，d(n)h(n)輸函數(shù) H(z) 在 z = 1 處為零點(diǎn)。顯然，這種類型不能用于實現(xiàn)低通濾波器。又有，所以這類濾波器適用0.5002468012h(n)frequency Unit:piPhase Response10于設(shè)計變換和微分器。10.80.60.40.200p 由于 sin(n-1/2) 在 =處偶對稱，-10在0、2 是奇對稱，所以，H (w) 以r = 偶對稱，0、2為奇對稱。-20-30024d(n)6801frequency Unit:pi231PhasMagnitude0.5pi

33、FIR DFp 一般形式：H (e jw ) = e jq (w) H (w)r( Hr()p 偶對稱：)- 1 wq(w) = - N2p 奇對稱：pN - 1 wq(w) =-22一32FIRp 第一類FIR系統(tǒng)是 cosn的線性組合，當(dāng)w = 0 時,H (jew)易取得最大值，因此這一類濾波器易體現(xiàn)低通特性，且是偶函數(shù)。通過頻率移位，又可以體現(xiàn)、帶通、帶阻特性。所以，經(jīng)典的低通、帶通和帶阻濾波器都是偶對稱的。p 第二類FIR系統(tǒng)是cosn 的線性組合，當(dāng)w = 0 時,H (jew) 易取得最大值，但當(dāng)w = p時，H (e jw )=0，不能用于或帶阻濾波器的設(shè)計。p 第三、四類FI

34、R系統(tǒng)是 sin wn 的線性組合，在 w= 0,p,2p時，H (的值為零，且是奇函數(shù)。這一類濾波器不適合設(shè)計低通、jew)、帶通和帶阻濾波器，可用來設(shè)計特殊形式的濾波器， 變換器，差分器等。如33FIR DF1、pFIR DFN -1N -1-( N -1)f (z)H (z) = å h(n)zå h(n)z- n( N -1)-n= z=z N -1n=0n=0p 在z=0處，有一個（N-1）階的極點(diǎn)，故濾波器穩(wěn)定；p 其零點(diǎn)要求 f(z)=0，根據(jù)代數(shù)理論，它為 N-1階多項式，應(yīng)有N-1 個根，所以有 N-1 個零點(diǎn)。如果 h(n) 為實數(shù)值，其根肯定是共軛對稱

35、的。34FIR DF2pFIR DFh(n) = ±h( N - 1 - n)n = 0,., N -1N -1N -1H (z) = å h(n)z-n n=0令：m=N-1-n= ±å h( N - 1 - n)z-n n=0N -1N -1H(z) = ±åh(m)z -(N -1-m) = ±z -(N -1) åh(m)zm= ±z -( N -1) H(z -1 )m=0m=0于是：H (z) = ± z -( N -1) H (z -1 )p 如果zi 是H(z) 的零點(diǎn)，即H(z

36、i)=0 則H(z-1) =0，即zi-1 亦為 H(z) 的零點(diǎn)。35FIR FD3p 上面提到zi 肯定是共軛的，故zi*p 于是零點(diǎn)有：亦必為其零點(diǎn)a1Z11*iizz*iib-111/bp 總結(jié):Za2jewi ，有四個零點(diǎn)：= rp 一般情況，zii-1i-1 -ejwi-jewi-ejwi1jwei*-)1= r* = r=r= rzzz(z)iiiiiii= e jwi= e- jwizizip r=1，p 位(上的實數(shù)：1/b b, （實軸上的倒數(shù)對）。z * = z -1 = ( z *= z-1p z =1iiiii36FIR FD1p 例： 設(shè)FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：1

37、H( =()0 +.-1+2-2+ z 0-3.9z+-41z9 zz.1)10求出該濾波器的取樣響應(yīng)h(n)，是否具有線性相位，求出其幅度特性和相位特性。對FIR數(shù)字濾波器，其系統(tǒng)函數(shù)為：N -11å-n-1-2-3-4H (z) =h( n)1z= 0(. +9z+2.z 1 +z 0+ z.9)10n=0h(n) = 1 1, 0.9, 2.1, 0.9,110由h(n)的取值可知h(n)h(N -1- n), N = 537FIR DF2所以，該FIR濾器具有第一類線性相位特性設(shè)其頻率響應(yīng)函數(shù)為N -1= åh(n)e- jwnH (e jw ) = H(w )e

38、j(gn=0= 1 10.9e- jw2.1e-2 jw0.9e-3 jwe-4 jw 101(2.1 + 1.8cosw + 2 cos 2w)e- j2w=10幅度特性函數(shù)為： H (w) = 1 (2.1+1.8cosw+2cos2w)g10相位特性函數(shù)為： j (w) = -w N - 1 = -2w238p 線性相位FIR DF 的條件和特性p 線性相位FIR DF 的設(shè)計方法p 窗函數(shù)法p 頻率取樣法p FIR DF的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)39p 思路：p 理想數(shù)字濾波器¥å- jn) =H (e jh (n)eh (n) 無限長，且非因果dddn=-¥p 設(shè)計的F

39、IR 數(shù)字濾波器H (e jw ) = å h(n)e- jnw n=0N -1h(n) 有限長，且因果Þ h (n) ¾窗¾函¾數(shù)® h(n)d截短p 要求：p 線性相位p 盡可能降低逼近誤差401Hd(ej)，、pDF、帶通和帶阻 FIR DF，沒有特指某種類型的數(shù)字濾波器。FIR DF，2，所以它可以展開為，p級數(shù)形式：¥åjw ) =(n)e - jnwH(ehddn=-¥，。hd(n)由葉級數(shù)理論可得：1p2p ò-p H (e jw )e jnwdwh (n) =dd412，DF&#

40、165;å) =- nH(h ( n)ddn= -¥p 顯然，Hd(z) 是非因果的，且hd(n) 的持續(xù)時間為- +， 物理上不可實現(xiàn)。p 我們可以采用逼近Hd(ej) 的方法p 首先把hd(n) 先截短為有限項，把hd(n) 截為2M+1項，得：¥Mån=-¥ån=- M- nh (n)z-nH (z) =H (z) =h (n)zdd1d423p 然后把截短后的 hd(n) 右移，使之變成因果性的序列。令H(z) 等于H1(z) 乘以z-M得：M2 Mån=- Mån=0H (z) = z- M H (z)

41、=h (n)z-( n+ M )=h (n - M )z- n1ddp 令 h(n)= hd (n-M), n=0, 1, 2, ., 2M，則2 MH (z) = å h(n)z-npp H(z) 是實現(xiàn)的h(n) 的持續(xù)時間也n=0頻率響應(yīng) z=ejp 其沖激響應(yīng)是有限的p 選擇 hd(n) = ±hd(N-1-n)，保證H(z) 具有線性相位。2 MH (e jw ) = å h(n)e- jnw n=0431p |H(ej)| 對 |Hd(ej)| 的逼近對hd(n) 的截短必然產(chǎn)生誤差，即以 |H(ej)| 近似 |Hd(ej)| 。1p2p ò

42、;-p| H (e jw ) - H (e jw ) |2 dwe2=d而Hd(ej) 可以展開為：¥¥¥aH (e) = å h (n)e+åa cos(nw) +åb sin(nw)jw- jnw= 0ddnn2n=-¥n=1n=1式中:a0 = 2hd (0);an = hd (n) + hd (-n)bn = jhd (n) - hd (-n)442因為 H ej)| 是對 hd n短生，假定：AMM+ å A cos(nw) +åB sin(nw)jwH (e) = 02nnn=1n 1即當(dāng) |

43、n|>M 時，An = 0,Bn =0。所以把上述兩式代入逼近誤差中，利用三角函數(shù)的正交性可得：(a)2- A¥MM+ å(a)2å(b - B)2å (a)2e2=00- Abnnnnnn2n=1n=1n= M +1由于上式中每一的，所以，只有當(dāng)A0 = a0 , An = an , Bn = bn , n = 1, 2, ., M 時。= min2453pp 當(dāng)用 |H(ej)|Hd(ej)| 時，要使2 =min， |H(ejw)| 的截短后的單位取樣響應(yīng) h(n) 的系數(shù)必須等于所要求的幅頻響應(yīng) |Hd(ejw)| 展成葉級數(shù)的系數(shù)hd(n

44、)。級數(shù)是在最小均方意義上對原信號的最佳逼近p 有限項å其逼近誤差為： e=2h 2 (n)dn> |M |截短的長度M 越近誤差2 愈小（因為hd(n) 值愈小）。46jw| Hd (e) |以線性相位理想低通濾波器為例來討論，設(shè)群時延為。ì e- jwa| w |£ wH (e jw ) = íc-c0 cdw <| w |< p0hd(n)îc12ppò- pwjw )e jnw d wh ( n ) =H(edd 1òe - jwa e jnw dw=c0na2p- wcsin wc ( n - a

45、 )Þ h(n) ¾w¾R (n¾)® h(n)=dp n - a wcsin wc ( n - a )線性相位=pwc ( n - a )à a的確定； a(N-1)/2à 窗函數(shù)的對稱性；Hd(n)：以a為中心的偶對稱無限長序列471p 將hd(n) 截短：| n |£ Mh (n) = ìhd (n),í0,elseî相當(dāng)于將hd(n ) 與一窗函數(shù)wR(n) 相乘，即h (n) = hd (n)wR (n)其中| n |£ Melsew (n) = ì1,&

46、#237;0,Rî在一定意義上來看，窗函數(shù)決定了我們能夠“看到” 多少個原來的沖激響應(yīng)，“窗” 這個用詞的含義也就在此。482p 窗函數(shù)的頻譜ejMw -e-jMwe-jw¥MWR (e) = å wR (n)e= å ejw- jnw- jnw=1-e-jwn=-¥n=-M-jw æj2M+1w-j 2M+1w ösin (2M + 1)wsin Nweç e-e222÷=èø =2=2ww-jw æjw-jw ösin2sin2eç e 2 -e22&

47、#247;èø(e jw ) = sin(wN / 2)此矩形窗譜為一鐘形偶函數(shù)，在 +2/N 之間為其主瓣，主瓣寬度 =W主瓣sin(w / 2)R-2/N22/N4/N，在主瓣兩側(cè)有無數(shù)幅度逐漸減小的旁瓣, 見。第1個旁瓣49H (e jw )與H (e jw )之間的關(guān)系d 討論:12pH (e jw ) = H(e jw ) *W(e jw )dRN -12- j (w -q ) N -112pw- jq(w - q ) eòH(q )edq=´ Wc2dR-wc- jw N -112pwH(q ) ´ W(w - q )dqò

48、;= e´c2dR-wc- jw N -1Þ H (e jw ) = H (w)e212pwcH (q ) ´W (w -q )dqò-wH (w) =dRc即：對實際FIR濾波器頻響的幅度函數(shù)H(w)起影響的是窗函數(shù)頻響的幅度函數(shù).504p 截短，根據(jù)時域相乘H (e jw ) =為頻域卷積，得：1é H(e jw ) *W (e jw )ù2p ëûdR1p2p ò-p H (e jq )We j ( w-q) dq=dR為便于分析，我們假定 |Hd(ejw)|j (w-q )WR e是理想低通濾波器

49、 LPF。1wcòH (e jw ) =e j ( w-q) dqW2pR-w c0-wcc式中等于由c 到 c 區(qū)間內(nèi)WRej(w-) 與軸圍出的面積，隨著變化，窗函數(shù)的主瓣和不同正負(fù)、不同大小的旁瓣移入和移出區(qū)間，使得此面積發(fā)生變化， 也即 |H(ejw)| 的大小產(chǎn)生波動。515Hd()WR()2pN- 2pN卷積wc-wc00-ßHd()0.08950.0468c-c00.0895520.50.04680.56p 現(xiàn)在分析幾個特殊頻率點(diǎn)的濾波器性能Hd()1wcò = 0 時：H (e) =W (q)dqj0p12pR-w c-w-0cc由于一般情況下都滿足c >> 2 / N，因此，H(0) 的值近似等于窗譜函數(shù)WR(ejw)WR()2pN- 2p。N0j 0H1 (e)12pwc = 時：ò-wpjwcw - q )dq »H1 (e) =w (cRc2c此時窗譜主瓣一半在區(qū)間內(nèi)一半Hd()W (w-)R在區(qū)間外，因此，窗譜曲線圍出的面積，近似為=0面積的一半，即 H (w