1、WORD格式聯邦理科高二寒假第四講圓錐曲線中的定點定值問題一、直線恒過定點問題例 1. 動點E在直線l : y2上，過點 E 分別作曲線C : x24 y 的切線 EA, EB ，切點為A 、B,求證：直線 AB 恒過一定點，并求出該定點的坐標；解：設 E(a,2), A(x1 , x12), B( x2 , x22) ，yx 2y'1 x4442過點A的拋物線切線方程為yx121 xxx， 切線過 E點41 (1 ),22x121x1 (a x1 ), 整理得： x122ax18042同理可得： x222ax280x1 , x2是方程 x 22ax80的兩根x1x22a, x1 x2

2、8a24y1y2x12x22x1 x2a) ，又 kAB44可得 AB中點為 (a,x1x2x1x2422直線 AB的方程為 y( a22)a ( xa) ，即 ya x2AB過定點 (0,2 ) .222例 2、點P( x0, y0)是橢圓E :x2y21上任意一點，直線l的方程為x0 xy0 y 1，直線 l 0過P22點與直線 l 垂直，點M-1，0關于直線l0的對稱點為N，直線 PN 恒過一定點 G，求點 G 的坐標。解：直線 l0的方程為 x0 ( y y0 )2 y0 ( xx0 ) ，即2 y0 xx0 yx0 y00設 M (1,0) 關于直線 l0的對稱點N的坐標為 N (m

3、, n)nx0m2x033x024x04m 12 y0x024那么，解得m 1 x0 n2x044x034x028x02 y00n2x0 y02 y0 (4x02 )2ny0x4 4x3 2x28x 8直線 PN的斜率為 k00002 y0 ( x033x024)m x0專業資料整理WORD格式1專業資料整理WORD格式聯邦理科高二寒假從而直線 PN 的方程為：yy0x044x032 x028x08 ( x x0 )2 y0 ( x033x024)2y (x 33x24)即 x000y1x044x032x028x08從而直線 PN 恒過定點G (1,0)二、恒為定值問題例 3、橢圓兩焦點F1、

4、 F2在y軸上，短軸長為22 ，離心率為2， P 是橢圓在第一象限弧上一2uuuruuuur點，且 PF1PF2 1 ，過P作關于直線F1P對稱的兩條直線PA、 PB分別交橢圓于 A、B 兩點。（ 1求 P點坐標；（ 2求證直線 AB的斜率為定值；解： 1設橢圓方程為y2x21，由題意可得a2b2a2,b2, c22 ，所以橢圓的方程為y2x2142那么 F1 (0, 2), F2 (0,2)，設 P(x0 , y0 )( x00, y00)uuuruuuur那么 PF1( x0 , 2 y0 ), PF2( x0 ,2 y0 ),uuur uuuurx2(2y2 )1PFPF1200Q 點P

5、( x0, y0)在曲線上，那么x02y021.x024y02242從而4y02(2y02 )1，得y02 ，那么點P的坐標為 (1,2) 。2 2由 1知PF1/ x 軸，直線PA、PB斜率互為相反數，設 PB 斜率為k(k0) ，那么PB的直線方程為：y2k( x1)y2k(x1)得 (2 k2 )x22k ( 2 k ) x ( 2 k)2由x2y214 024專業資料整理WORD格式2專業資料整理WORD格式聯邦理科高二寒假設 B( xB , yB ), 那么 xB2k (k2)k222k 22 k 212k2同理可得 xAk 222k 2，那么 xAxB42k2k 22k 2yA y

6、Bk (xA 1) k( xB 1)8kk 2yAyB2所以直線 AB 的斜率kAB2為定值。xAxB例 4、動直線y k( x1) 與橢圓 C : x2y21相交于A、B兩553點, 點M (7uuuruuur,0) ， 求證： MAMB 為定值.3解 : 將yk( x 1) 代入x2y21 中得 (1 3k 2 ) x26k 2x 3k25 05 5336k 44(3k 21)(3k25)48k2200 ，x16k 2， x1 x23k 25x2213k 213kuuur uuur7 , y1)( x27 , y2 ) (x17 )( x27) y1 y2所以 MA MB ( x13333

7、(x17 )( x27 ) k 2 ( x11)(x21)33(1 k2 ) x1 x2( 7k 2 )( x1x2 )49k 239(123k 25(72)(6k249k2k)213k3k2)93k13k416k 2549k 24。3k 2199課后作業：1.在平面直角坐標系xOy 中，橢圓 C : x2y21 .如下列圖， 斜率為 k( k0) 且不過原點的直3線 l 交橢圓 C 于A，B兩點，線段AB的中點為E，射線 OE 交橢圓 C 于點 G ，交直線 x3 于點D (3, m) .專業資料整理WORD格式3專業資料整理WORD格式聯邦理科高二寒假求 m2k 2的最小值；假設OG2OD

8、 "OE，求證：直線l過定點；解：由題意: 設直線l : ykx n(n 0) ,ykxn2222由xy2消 y 得 : (1 3k)x6knx3n30 ,1336k 2n24(1 3k 2 )× 3(n21)12(3k 21n2 )0設 A (x1, y1)、 B( x2, y2) ,AB 的中點 E(x0, y0) , 那么由韋達定理得 :x1 x2=6kn, 即x013kn, y0kx0n3knknn,13k23k 213k213k 2所以中點 E 的坐標為(3kn,n) ,13k 213k2因為 O、 E、 D 三點在同一直線上，所以 kOEKOD，即1m13k，

9、解得 mk，13所以 m2k2=k22 ,當且僅當k1 時取等號,即 m2k 2的最小值為2.k 2m證明 : 由題意知 :n>0,因為直線 OD的方程為yx ,3ym xm2所以由3得交點 G的縱坐標為yGx22,y21m33又因為 yEn2 , yDm ,且 OG2OD "OE，所以m2mn13k232 ,m1 3k又由知:1, 所以解得kn ,所以直線 l 的方程為l : ykxk ,mk即有 l : yk(x1) ,令 x1得 ,y=0,與實數 k 無關 ,所以直線 l過定點 (-1,0).2. 點N為曲線y24 x ( x0) 上的一點，假設 A(4,0)，是否存在垂直 x 軸的直線l被以 AN 為直徑的圓截得的弦長恒為定值？假設存在，求出直線l的方程；假設不存在，請說明理由解：設 AN 的中點為B，垂直于 x 軸的直線方程為xa ，以 AN 為直徑的圓交l于 C , D 兩點， CD 的中點為H專業資料整理WORD格式4專業資料整理WORD格式聯邦理科高二寒假專業資料整理WORD格式Q CB1 AN1( x 4) 2y2，BHx41ax 2a 422222221( x4)