1、WORD格式高斯函數數論函數y x ，稱為高斯函數，又稱取整函數. 它是數學競賽熱點之一.定義一：對任意實數x, x 是不超過x的最大整數，稱 x 為x的整數局部.與它相伴隨的是小數局部函數y x, xx x.由 x 、 x 的定義不難得到如下性質： 1y x 的定義域為R，值域為Z ；y x 的定義域為R，值域為0,1) 2對任意實數x ，都有 x x x, 且0 x1. 3對任意實數x ，都有 xx x 1, x1 x x . 4y x 是不減函數，即假設x1x2那么 x1 x2 ，其圖像如圖I 4 51；y x 是以1為周期的周期函數，如圖I 4 52.圖 4 5 1圖 45 2 5 x

2、nn x; xn x .其中xR,nN .nn 6 xy x y; x x y xy; xi xi , xiR ；特別地，i 1i1naa n .bb 7 xy x y ，其中x, ynnR ；一般有xi xi , xiR ；特別地，i 1i 1 n x n x, xR ,nN . 8x x ，其中xR , n N .專業資料整理WORD格式nn專業資料整理WORD格式例題講解1求證：2n 1n!n2k 1 , 其中k為某一自然數.n2k2對任意的n N ,計算和Sk 1 .K 02專業資料整理WORD格式5023計算和式Sn 0305n的值 .專業資料整理WORD格式4設 M 為一正整數，問

3、方程x 2 x 2 x 2，在1，M中有多少個解？專業資料整理WORD格式5求方程x 240x的實數解.451 0 x 2x3xnx6x R , n N ,證明: nx23.1n7對自然數n 及一切自然數x，求證： x x1 x 2 xn1 nx. .nnn8求出 10 20000 的個位數字101003例題答案：專業資料整理WORD格式1證明： 2 為質數， n! 中含 2 的方次數為專業資料整理WORD格式2( n! )n2t .t 1k 1假設 n2k 1 ,那么 2( n! ) 2k t 1 2k t 1 1 2 222k 22k 11 n 1t 1t 1故 2n 1 | n!.反之，

4、假設n 不等于 2 的某個非負整數次幕，可設n=2sp，其中 p>1 為奇數，這時總可以找出整數 t，使2t2sp 2t 1,于是n!中所含的方次數為2( n! ) 2s 1p 2s 2p2 2s t p 0( 2 s 12 s 22s t ) p 2 s t (2 t1) p 2s p2 s t pn 2s t p.由于 1 2s tp 2,那么 2s t2,故n!中含 2的方次數 2( n! )n 2, 那么2n 1n!. 這與已知矛盾，故必要性得證 .2解：因n 2n1 對一切k=0,1, ,成立，因此，2 k 12 k12 n1 2n n.2k 122k12k1又因為 n 為固定

5、數，當k 適當大時, n1,從而n0,故S(n n).2k2k 2k2k 1nK 03解：顯然有：假設 x y1,那么 x y x y 1, x, yR.503 是一個質數，因此，對n=1,2, ,502,305n 都不會是整數，但305n +305(503 n)305,503503503可見此式左端的兩數的小數局部之和等于1，于是， 305n+ 305(503n) 304. 故503503S502 305n 251( 305n 305(503n),304 25176304.n 1503n 1503503專業資料整理WORD格式4解：顯然x=M是一個解,下面考察在1， M 中有少個解.專業資料

6、整理WORD格式設 x 是方程的解.將x2 x 22 x x x 2代入原方程，化簡得2 x x專業資料整理WORD格式 2 x x x 2 .由于0 x1, 所以上式成立的充要條件是2x x 為一個整數.專業資料整理WORD格式設 xmN ,那么必有 xk( k 0,1, ,2m1),即在 m, m1)中方程有個解2m2m.又由于 1mM1, 可知在 1, M )中方程有 2(12(M1)M (M1)個解.因此,原方程在中有M ( M個解1,M1)1.5解：因 xx x 1,又 x0不是解 .4( x1) 240 x510,4x24 x510.(2 x5)( 2 x11)0.(2 x3)(2

7、x70. x5 x11,22 x3 , 或 x3 ,22 x17 ; x17 .22解得 x2或 x6或 7或 8, 分別代入方程得 :4 x2290, x29 ;24 x21890, x189 ;24 x22290, x229 ;24 x22690, x269 .2經檢驗知，這四個值都是原方程的解.6這道題的原解答要極為復雜，現用數學歸納法證明如下.【證明】令 Ak x 2x kx , k 1,2, .2k由于 A1 x, 那么n1時, 命題成立 .專業資料整理WORD格式設nk時命題成立,即有A1 x, A2 2x, Ak1( k因為,11)x.AkAk1 kx,即kAkkAk 1kx對一

8、切 成立所以kAkkAk 1 kx, (k1)kk,Ak1(k 1)Ak2( k1) x,2A2 2 A1 2x, A1相加得: x.kAk( A1A2Ak1 ) x 2x( k1) xkx故 kAk x2x( k1) x kxAk 1Ak2A2A1 x 2x( k 1) xkx( k1) x ( k2) x 2x x( x( k1)x( 2x( k2)x)( k1) x x) kx kx kx kx kxk kxAk kx, 即nk時,命題成立 ,故原不等式對一切 nN均成立 ,證畢.7解： M |f(x)| max max|f |， |f( 1)|， |f( a )|2假設 |a | 1

9、(對稱軸不在定義域內部)2則 M max|f |， |f( 1)|而 f 1 abf( 1)1 a b|f | |f( 1)| |f f( 1)| 2|a|4那么|f |和 |f( 1)|中至少有一個不小于2 M212 |a | 12M max|f |， |f( 1)|， |f(a )|22 max|1 ab|， |1 a b|， |a b|4 max|1 ab|， |1 a b|， |a2 b|， |a2 b|441(|1 a b| |1 a b| |a2 b| |a2 b|)4441(1 a b) (1 a b)(a2 b) (a2 b)444 1 ( 2 a 2)4212綜上所述，原命題

10、正確.專業資料整理WORD格式8先找出10 2000010100的整數局部與分數局部 .31020000(10100 ) 20032003200101003=310100310100(10100 ) 2003200(10100 ) 2 100(32 )100 ,知 (10100 )232| 10200003200又101003 | (10100 ) 232 ,知 10200003200100103是整數 .顯然320091001,101003101003知 10 20000310 2000320010 20000910010 200008150.10100101003101003101003其

11、中分母的個位數字為3，分子的個位數字為9，故商的個位數字為3.在應用上， 積分作用不僅如此， 它被大量應用于求和， 通俗的說是求曲邊多邊形的面積，這巧妙的求解方法是積分特殊的性質決定的。一個函數的不定積分亦稱原函數指另一族函數，這一族函數的導函數恰為前一函數。其中： F(x) + C' = f(x)專業資料整理WORD格式一個實變函數在區間a,b 上的定積分， 是一個實數。 它等于該函數的一個原函數在去在 a 的值。因為 *dx= dx=x, 所以積分符號與微分符號d 相乘時可以抵消。根本積分表：(1) 0dx=C(2) 1/x=ln|x|+C(3) (m -1， x>0)(4)

12、 (a>0,a 1)牛頓萊布尼茲公式b 的值減專業資料整理WORD格式(5) cosxdx=sinx+C(6) sinxdx=-cosx+C(7) sec2xdx=tanx+C(8) csc2xdx=-cotx+C(9) secxtanxdx=secx+C(10) cscxcotxdx=-cscx+C(11)=arcsinx+C(12)=arctanx+C專業資料整理WORD格式二次函數一般地，把形如 y=ax2+bx+c 其中 a， b，c 是常數， a 0， bc 可以為 0的函數叫做二次函數 quadratic function ，其中 a 稱為二次項系數， b 為一次項系數， c

13、 為常數項。 x 為自變量， y 為因變量。等號右邊自變量的最高次數是2。二次函數圖像是軸對稱圖形。注意：“變量不同于“自變量，不能說“二次函數是指自變量的最高次數為二次的多項式函數。“未知數只是一個數具體值未知，但是只取一個值，“變量可在實數X圍內任意取值。在方程中適用“未知數的概念函數方程、微分方程中是未知函數，但不管是未知數還是未知函數， 一般都表示一個數或函數也會遇到特殊情況 ，但是函數中的字母表示的是變量， 意義已經有所不同。 從函數的定義也可看出二者的差異， 如同函數不等于函數的關系。函數性質1.二次函數是拋物線，但拋物線不一定是二次函數。開口向上或者向下的拋物線才是二次函數。拋物

14、線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a 。對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點 P。特別地，當b=0 時，拋物線的對稱軸是y 軸即直線 x=0 2.拋物線有一個頂點P，坐標為 ,當時， P 在 y 軸上；當 =0 時， P 在 x 軸上。3.二次項系數 a 決定拋物線的開口方向和大小。當a>0 時，拋物線向上開口；當a<0 時，拋物線向下開口。 |a|越大，那么拋物線的開口越小。4.一次項系數 b 和二次項系數 a 共同決定對稱軸的位置。當a 與 b 同號時即 ab>0，對稱軸在 y 軸左；當 a 與 b 異號時即 ab<0，對稱軸在 y 軸右。5.常數項 c

15、 決定拋物線與y 軸交點。拋物線與 y 軸交于 0，c6.拋物線與 x 軸交點個數: = b2-4ac>0 時，拋物線與 x 軸有 2 個交點。= b2-4ac=0 時，拋物線與 x 軸有 1 個交點。當 = b2-4ac<0 時，拋物線與 x 軸沒有交點。 X 的取值是虛數 ,.當 a>0 時，函數在處取得最小值f()= ；在 x|x< 上是減函數，在 x|x> 上是增函數；拋物線的開口向上；函數的值域是y|y " 相反不變 ;.專業資料整理WORD格式7.定義域：R專業資料整理WORD格式值域：對應解析式，且只討論a 大于 0 的情況， a 小于0

16、的情況請讀者自行推斷專業資料整理WORD格式(4ac-b2)/4a ，+；t ， +奇偶性：偶函數周期性：無解析式： y=ax2+bx+c 一般式 a 0 a>0，那么拋物線開口朝上； a<0，那么拋物線開口朝下；極值點： -b/2a， (4ac-b2)/4a ；專業資料整理WORD格式=b2-4ac,專業資料整理WORD格式>0，圖象與x 軸交于兩點： -b+ /2a， 0和 -b- =0，圖象與x 軸交于一點： -b/2a， 0；/2a ，0；專業資料整理WORD格式<0，圖象與x 軸無交點；專業資料整理WORD格式 y=a(x-h)2+t配方式專業資料整理WORD

17、格式此時，對應極值點為h， t，其中h=-b/2a ， t=；反函數一般地，設函數y=f(x)(x A) 的值域是C，根據這個函數中x,y 的關系，用y 把 x 表示出，得到 x= f(y). 假設對于 y 在 C 中的任何一個值， 通過 x= f(y) ，x 在 A 中都有唯一的值和它對應，那么， x= f(y) 就表示 y 是自變量， x 是自變量 y 的函數，這樣的函數 x= f(y)(y C)叫做函數 y=f(x)(x A) 的反函數，記作 x=f-1(y). 。反函數 y=f-1(x) 的定義域、值域分別是函數 y=f(x) 的值域、定義域。說明：在函數 x=f-1(y) 中， y

18、是自變量， x 是函數，但習慣上，我們一般用x 表示自變量，用 y 表示函數， 為此我們常常對調函數 x=f-1(y) 中的字母 x,y，把它改寫成 y=f-1(x) ，今后凡無特別說明，函數 y=f(x) 的反函數都采用這種經過改寫的形式；反函數也是函數，因為它符合函數的定義。 從反函數的定義可知， 對于任意一個函數 y=f(x)來說，不一定有反函數，假設函數 y=f(x) 有反函數 y=f-1(x) ，那么函數 y=f-1(x)的反函數就是y=f(x) ，這就是說，函數y=f(x) 與 y=f-1(x) 互為反函數；從映射的定義可知，函數y=f(x) 是定義域 A 到值域 C 的映射，而它

19、的反函數y=f-1(x) 是集合 C 到集合 A 的映射，因此，函數y=f(x) 的定義域正好是它的反函數y=f-1(x) 的值域；函數 y=f(x) 的值域正好是它的反函數y=f-1(x) 的定義域如下表：函數 y=f(x) 反函數 y=f-1(x)定義域 AC值域 CA；上述定義用“逆映射概念可表達為：假設確定函數 y=f(x) 的映射 f 是函數的定義域到值域“上的“一一映射，那么由f 的“逆映射 f-1 所確定的函數x=f-1(x) 就叫做函數 y=f(x) 的反函數 . 反函數 x=f-1(x)的定義域、 值域分別是函數 y=f(x) 的值域、定義域。開場的兩個例子： s=vt 記為

20、 f(t)=vt, 那么它的反函數就可以寫為 f-1(t)=t/v，同樣 y=2x+6 記為f(x)=2x+6 ，那么它的反函數為：f-1(x)=x/2-3 。有時是反函數需要進展分類討論，如：f(x)=X+1/X ，需將 X 進展分類討論：在X大于0時的情況， X 小于 0 的情況， 多是要注意的。 一般分數函數的反函數的表示為 y=ax+b/cx+d(a/c 不等于 b/d)-y=b-dx/cx+a 。反函數的應用：直接求函數的值域困難時， 可以通過求其原函數的定義域來確定原函數的值域， 求反函數的步驟是這樣的：1先求出原函數的值域，因為原函數的值域就是反函數的定義域我們知道函數的三要素是

21、定義域， 值域， 對應法那么， 所以先求反函數的定義域是求反函數的第一步專業資料整理WORD格式2反解x，也就是用y 來表示x專業資料整理WORD格式3改寫，交換位置，也就是把x 改成y，把y 改成x專業資料整理WORD格式4寫出反函數及其定義域就關系而言，一般是雙向的，函數也如此，設y=f x為的函數，假設對每個yY ，專業資料整理WORD格式有唯一的 x X ，使 f x=y ，這是一個由 y 找 x 的過程 ，即 x 成了 y的函數，記為 x=f -1y。那么 f -1 為 f 的反函數。習慣上用 x 表示自變量，故這個函數仍記為y=f -1 x，例如 y=sinx 與 y=arcsin

22、x 互為反函數。在同一坐標系中，y=f x與 y=f-1x的圖形關于直線 y=x 對稱。隱函數假設能由方程 F x， y=0 確定 y 為 x 的函數 y=f x，即 F x，f x 0，就稱 y 是 x 的隱函數。注意：此處為方程F x,y = 0 并非函數。思考：隱函數是否為函數？不是，因為在其變化的過程中并不滿足“一對一和“多對一。多元函數設點 x1，x2，, ，xnG&Iacute;Rn ， U&Iacute;R1，假設對每一點x1， x2，, ，xnG，由某規那么f 有唯一的uU 與之對應： f：GU ， u=f x1， x2，, ，xn，那么稱f 為一個 n 元函數

23、， G 為定義域， U 為值域。根本初等函數及其圖象冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數稱為根本初等函數。冪函數： y=x 0， 為任意實數的定義域：當為正整數時為定義域為，+，當 為負整數時定義域為， 00， +；當 =a(a 為整數 )，當 a 是奇數時值域為，+，當a 是偶數時為值域為0， +； =p/q,p,q 互素，作為的復合函數進展討論。指數函數： y=ax a>0 ，a1，定義域為，+，值域為 0 ，+， a>1 時是嚴格單調增加的函數即當 x2>x1 時， ，0對數函數： y=logax a>0，稱 a 為底 ，定義域為 0，+，值域為， +

24、 。a>1 時是嚴格單調增加的， 0<a<1 時是嚴格單減的。 不管 a 為何值， 對數函數的圖形均過點1，0，對數函數與指數函數互為反函數。如圖 5。以 10 為底的對數稱為常用對數，簡記為 lgx 。在科學技術中普遍使用的是以e 為底的對數，即<a>自然對數，記作lnx 。雙曲函數：雙曲正弦 ex e-x，雙曲余弦 " ex+e-x ，雙曲正切 exe-x/ex+e-x ，雙曲余切 ex+e-x / ex e-x。一般地，自變量 x 和因變量 y 之間存在如下關系： y=ax2+bx+c (a 0) a，b，c 為常數， a 0，且 a 決定函數的開

25、口方向， a>0 時，開口方向向上， a<0 時，開口方向向下。 IaI 還可以決定開口大小， IaI 越大開口就越小， IaI 越小開口就越大。那么稱 y 為 x 的二次函數。二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。 x 是自變量， y 是 x 的函數。專業資料整理WORD格式一 .二次函數的三種表達式一般式： y=ax2+bx+c a， b， c 為常數， a 0頂點式： y=a(x-h)2+k 拋物線的頂點P h，k 對于二次函數 y=ax2+bx+c其頂點坐標為(-b/2a,(4ac-b2)/(4a) 交點式： y=a(x-x1)(x-x 2) 僅限于與 x 軸有交點 A x

26、1， 0和 B x2，0的拋物線 其中 x1， x2= (-b ± (b2 4ac)/(2a) 注：在 3種形式的互相轉化中，有如下關系： _h=-b/(2a) k=(4ac-b2)/(4a) x",x"=(-b ± b2-4ac)/2a二次函數的圖象在平面直角坐標系中作出二次函數y=x2的圖象，可以看出，二次函數的圖象是一條拋物線。二次函數標準畫法步驟在平面直角坐標系上1列表 2描點 3連線二 .拋物線的性質1拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a 頂點式x=h。對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。特別地，當 b=0 時，拋物線的對稱

27、軸是y軸即直線 x=0 2拋物線有一個頂點 P，坐標為 P ( -b/2a， (4ac-b2)/4a )當-b/2a=0 時， P 在 y 軸上；當= b2-4ac=0 時， P 在 x 軸上。3二次項系數 a 決定拋物線的開口方向和大小。當 a>0 時，拋物線向上開口；當a<0 時，拋物線向下開口。|a|越大，那么拋物線的開口越小。4一次項系數 b 和二次項系數a 共同決定對稱軸的位置。當 a 與 b 同號時即 ab>0，對稱軸在 y 軸左當 a 與 b 異號時即 ab<0，對稱軸在 y 軸右。5常數項c 決定拋物線與y 軸交點。拋物線與y 軸交于 0， c， c 是

28、縱截距。6拋物線與x 軸交點個數= b2-4ac>0 時，拋物線與 x 軸有 2 個交點。= b2-4ac=0 時，拋物線與 x 軸有 1 個交點。= b2-4ac<0 時，拋物線與 x 軸沒有交點。 X 的取值是虛數 x= -b ± b2 4ac 的值的相反數，乘上虛數 i，整個式子除以 2a當 a>0 時，函數在 x= -b/2a 處取得最小值 f(-b/2a)=4ac-b2/4a ；在 x|x<-b/2a 上是減函數， 在x|x>-b/2a 上是增函數；拋物線的開口向上；函數的值域是x|x " 4ac-b2/4a 相反不變當 b=0 時，

29、拋物線的對稱軸是y 軸，這時，函數是偶函數，解析式變形為y=ax2+c(a 0三 .二次函數與一元二次方程特別地，二次函數以下稱函數y=ax2+bx+c ，當 y=0 時，二次函數為關于 x 的一元二次方程以下稱方程，即 ax2+bx+c=0此時，函數圖象與x 軸有無交點即方程有無實數根。函數與 x 軸交點的橫坐標即為方程的根。專業資料整理WORD格式1二次函數y=ax2 ， y=a(x-h)2 ， y=a(x-h)2+k ，y=ax2+bx+c( 各式中， a 0)的圖象形狀一樣，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸如下表：解析式y=ax2 ； y=a(x-h)2 ； y=a(x-h)2+k

30、； y=ax2+bx+c對應頂點坐標(0， 0) ； (h， 0) ； (h， k) ； (-b/2a ， (4ac-b2)/4a)對應對稱軸x=0 ； x=h； x=h ； x=-b/2a當 h>0 時， y=a(x-h)2 的圖象可由拋物線 y=ax2 向右平行移動h 個單位得到，當 h<0 時，那么向左平行移動|h|個單位得到當 h>0,k>0 時，將拋物線y=ax2 向右平行移動 h 個單位，再向上移動k 個單位，就可以得到 y=a(x-h)2 +k的圖象當 h>0,k<0時，將拋物線y=ax2 向右平行移動h 個單位，再向下移動 |k|個單位可得到

31、y=a(x-h)2+k的圖象當 h<0,k>0 時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k 個單位可得到 y=a(x-h)2+k的圖象當 h<0,k<0 時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到 y=a(x-h)2+k的圖象因此，研究拋物線y=ax2+bx+c(a 0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)2+k 的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了這給畫圖象提供了方便專業資料整理WORD格式2拋物線 y=ax2+bx+c(a直線 x=-b/2a ，頂點坐標是 0)的圖象：當a>0 時，開口向上，當

32、(-b/2a， 4ac-b2/4a) a<0 時開口向下，對稱軸是專業資料整理WORD格式3拋物線 y=ax2+bx+c(a 0)，假設 a>0，當 x " -b/2a 時， y 隨 x 的增大而減小，函數是減函專業資料整理WORD格式數；當 x " -b/2a 時， y 隨 x 的增大而增大，函數是增函數假設 a<0，當 x " -b/2a 時， y x 的增大而增大，函數是增函數；當 x " -b/2a 時， y 隨 x 的增大而減小，函數是減函數隨專業資料整理WORD格式4拋物線y=ax2+bx+c 的圖象與坐標軸的交點：(1)

33、圖象與 y 軸一定相交，交點坐標為 (0， c)；(2) 當 =b2-4ac>0 ，圖象與 x 軸交于兩點 A(x" ，0)和 B(x"，0)，其中的 x1,x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a 0)的兩根這兩點間的距離 AB=|x"-x"| 另外，拋物線上任何一對對稱點的距離可以由 |2 × -b/2a A | A 為其中一點當 =0圖象與x 軸只有一個交點當 <0圖象與x 軸沒有交點當a>0 時，圖象落在x 軸的上方， x 為任何實數時，都有專業資料整理WORD格式y>0；當 a<0 時，圖象落在x

34、軸的下方，x為任何實數時，都有y<0 專業資料整理WORD格式5拋物線y=ax2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，那么當x= -b/2a時，y 最小 (大 )值 =(4ac-b2)/4a 專業資料整理WORD格式頂點的橫坐標，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標，是最值的取值6用待定系數法求二次函數的解析式(1) 當題給條件為圖象經過三個點或x、 y 的三對對應值時，可設解析式為一般專業資料整理WORD格式形式：y=ax2+bx+c(a 0)(2) 當題給條件為圖象的頂點坐標或對稱軸時，可設解析式為頂點式：y=a(x-h)2+k(a 0)(3) 當題給條件為圖象與 x 軸的兩個交點坐標時， 可設解析式為兩根式： y=a(x-x1)(x-x2)(a 0) 7二次函數知識很容易與其它知識綜合應用，而形成較為復雜的綜合題目。因此，以二次函數知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現超越函數三角函數是數學中屬于初等函數中的超越函數的一類函數。它們的本質是任意角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數是在平面直角坐標系中定義的，其定義域為整個實數域。 另一種