1、第十四章 曲線積分與曲面積分（高教社劉玉蓮361） §14.1 曲線積分一、第一型曲線積分 首先討論物質曲線的質量。如果在xy平面上有一條可求長的曲線C，如圖14.1，已知曲線C上點（x,y）的線密度是(x,y),求曲線C的質量。在曲線C上依次任取一組點：A=，=B，記為分法T。它們將曲線C分成n個小弧：， ，.設第k個小弧的長是，在其上任取一點（，）。在點的線密度（，）近似代替第k個小弧上每一點的線密度。于是，（，）應是第k個小弧質量的近似值，k=1,2，n。它們的和，即應是曲線C質量的近似值。 設（T）是分法T的n個小弧之長中最大者。（T）越小，越接近于曲線C的質量。于是，曲線C

2、的質量m應該是極限m=.抽取上式的物理意義就得到第一型曲線積分。設二元函數(shù)（x,y）在xy平面上一條可求長曲線C(A,B)上有定義。用任意分法T，將曲線C依次分成n個小弧： ， ，其中=A，=B。設它們的弧長分別是，。在小弧上任取一點（，），k=1，2，n，取該點的函數(shù)值 (，)與作乘積，然后作和 =, (1)稱為二元函數(shù)(x.y)在曲線C（A，B）的積分和。令（T）=max，。定義 設二元函數(shù)（x,y）在可求長曲線C（A，B）有定義。若當（T）0時，二元函數(shù)（x,y）在曲線C（A，B）的積分和（1）存在極限I，即=I，則稱I是函數(shù)（x,y）在曲線C的第一型曲線積分，記為I=，其中ds是弧長微

3、元。 不難看到，在xy平面上一條物質曲線C（A，B），若其上每一點（x，y）的線密度是（x，y），則物質曲線C的質量m是第一型曲線積分，即 m=. 根據(jù)第一型曲線積分定義，不難證明，第一型曲線積分有下述性質（僅列舉其中四個性質）： 1=，即第一型曲線積分與曲線C的方向（由A到B或由B到A）無關。事實上，在積分和（1）中小弧之長與曲線C的方向無關。 2=. 3k，其中k是常數(shù). 4=+. 定理1 若曲線C（A，B）：x=，y=， ,是光滑的，即，在，連續(xù)，且不同時為零，函數(shù)（x,y）在C連續(xù)，則函數(shù)（x,y）在C（A，B）存在第一型曲線積分，且 =. （2） 證明 給區(qū)間，任意分法T，分點依次是

4、.第k個小區(qū)間對應曲線C上第k個小弧，設其長是.由§8.5弧長公式與定積分中值定理，有=dt=，其中=，.在上任取一點,在曲線C上對應點是P（）.作和 =. （3）注意上面等式中與都屬于，但是不一定相等。為此將它改寫為 =+， （4）其中=- . (4)式第一個和數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間，的積分和。因此，有 =. 下面證明. 事實上，已知函數(shù)在閉區(qū)間，連續(xù)，從而它在，有界；函數(shù)在閉區(qū)間，連續(xù)，從而一致連續(xù)。即,有|.又，），有|-|.于是，當時，有|.|-|=,即 . 當時，有.當時，（4）式存在極限，即函數(shù)（x,y）在曲線C上存在第一型曲線積分，即=. （2）式將第一型曲線積分化成了定積

5、分，它就是計算第一型曲線積分的公式。 特別地，曲線C（A，B）是由方程y=y(x)給出，且（x）在a，b連續(xù)時，（2）式是=. （5）例1 計算，其中C：x=acos t，y=bsin t，. 解 ，t. dt.由公式（2），有 I=dt=dt.設，或，有例2 計算，其中C是圓周，. 解 如圖14.2. . ：， ：. ， . 由公式（5），有 設三維歐式空間有一條可求長的曲線C（A，B）。函數(shù)在曲線C有定義。可仿照平面（二維空間）第一型曲線積分定義給函數(shù)在空間曲線C上的第一型曲線積分 （6）的定義，其中ds是空間曲線C的弧長微分。 若三維歐式空間中光滑曲線C的參數(shù)方程 ，則三維歐式空間中第一

6、型曲線積分（6）可化成定積分，有公式 ， （7）其中是空間曲線C的弧長微分，即.例3 計算，其中C是圓柱螺旋線： ，. 解 ，. . .二、第二型曲線積分 首先討論力場作功問題。我們知道，若質點在常力F（大小與方向都不變）的作用下沿直線運動，位移是（有向線段），則常力F所作的功W是F與的內積，即 ，其中是F與之間的夾角。 設有一質點在平面力場的作用下，沿光滑的有向曲線C由點A運動到點B，如圖14.3，求力場F所作的功。 有任意分法T，將曲線C分成n個有向的小弧：，其中，.設的坐標是（）。將第k個有向小弧的弦記為，則弦在x軸與y軸上的投影分別是與，即 .在第k個小弧上任取一點.在點的（力）向量是

7、 .以點的向量近視代替第k個小弧上每一點的向量。于是，內積應是質點在力場F的作用下，沿第k個小弧由點運動到點所作功的近似值。它們的和應是質點在力場F的作用下，沿曲線C由點A到點B所作功W的近似值。當越小，近似程度越好。于是，當時，有.由內積公式，有 ，即 . （8） 抽出（8）式的物理意義就得到第二型曲線積分。 設平面上有光滑有向曲線C（A，B），二元函數(shù)在曲線C上有定義。用任意分法T，將曲線C依次分成n個有向小弧： ，其中，.設第k個小弧的弦在x軸與y軸上的投影區(qū)間的長（帶有符號）分別是與.在第k個小弧上任取一點.作和與， （9）分別稱為二元函數(shù)在曲線C（A，B）關于x與y的積分和. 令.（

8、是第k個小弧的長。） 定義 設二元函數(shù)在有向光滑曲線C（A，B）有定義。若時，二元函數(shù)在曲線C（A，B）關于x（或y）的積分和（9）存在極限（或），即 （或），稱（或）是（或）在曲線C（A，B）的第二型曲線積分，記為 （或）. 由（8）式不難看到，質點在平面力場的作用下，沿光滑的有向曲線C由點A運動到點B，力場F所作的功W是在曲線C（A，B）上的第二型曲線積分之和，即 .通常上式簡寫為. （10） 由弧長微分知，dx與dy分別是弧長微分ds在x軸與y軸上的投影。弧長微分ds的方向就是曲線C（A，B）的方向，則弧長向量微元.于是，功W可寫成向量形式的積分 . （11） 注 第二型曲線積分與曲線C

9、（A，B）的方向有關.因為與分別是第k個有向小弧的弦在x軸與y軸上的投影，當改變曲線C的方向時，與要改變符號，所以第二型曲線積分也要改變符號，即 與 .定理2 如果二元函數(shù)在有向光滑曲線C（A,B）：x=x(t)，y=y(t)，連續(xù)，且，則與在C（A,B）的第二型曲線積分都存在，且 ， （12） . （13）證明 只給出等式（12）的證明，同法可證等式（13）.給區(qū)間任意分法T，分點式.第k個小區(qū)間對應曲線C是哪個第k個小弧，在上任取一點.在第k個小弧上有對應的點，其中，.于是， . （14）另一方面，（12）式等號右端可改寫成 . （15）（14）式與（15）式等號兩端之差是 . 因為函數(shù)在

10、閉區(qū)間連續(xù)，所以它在一致連續(xù)，即，：，有 |.又因為在閉區(qū)間連續(xù)，所以在有界，即，有.于是，當時，有 ，從而，即 若光滑有向曲線C(A，B)的方程是 ，.，而在連續(xù)，則 . 例4 計算，其中曲線C是上半橢圓，取順時針的方向。 解 ，由公式（12）與（13）有 例 5 計算，其中曲線C分別是 1）直線； 2）拋物線； 3）立方拋物線.都是由原點（0,0）到點（1,1）. 解 1）沿直線，有. 2）沿拋物線，有 . 3）沿立方拋物線，有 .例 6 計算，其中曲線C與例5相同，并有與例5相同的始點與終點. 解 1）沿直線，有 . 2）沿拋物線，有 . 3）沿立方拋物線，有 . 例 7 有質量為m的質

11、點，在重力的作用下，沿鉛垂面上曲線C由點A到點B，計算重力F所作的功，如圖14.4. 解 設平面曲線C的參數(shù)方程是. ，.已知.于是，重力所作的功 = .此例說明，質點從點A移動到點B，重力F所作的功只與A與B的位置有關，而與曲線C無關。這是重力場的一個重要物理特性。從上述三例看到，當始點與終點相同，沿著不同的曲線，有的曲線積分相等（如例5與例7）；有的曲線積分不相等（如例6）。那么在什么條件之下，當始點與終點取定時，曲線積分與所沿的曲線無關呢？后面我們將討論這個問題。設三維歐式空間中有向光滑曲線C(A,B)，函數(shù)在曲線C上有定義。可仿照平面（二維空間）第二型曲線積分定義，給出在曲線C(A,B

12、)的第二型曲線積分 （），其中（與）是有向弧長微元在x軸（y軸與z軸）上的投影。當曲線C(A,B)改變方向時，有.不難寫出，向量場F=（P(x,y,z）,Q(x,y,z),R(x,y,z)）在有向光滑曲線C（A，B）的第二型曲線積分是其中ds=(dx,dy,dz). 如果三維空間的有向光滑曲線C（A，B）是參數(shù)方程x=x(t),y=y(t), z=z(t), t由到對應曲線C上由點A到點B，則三維歐式空間的第二型曲線積分可化成定積分，有公式 ， ， （17） . 例 8 計算，其中曲線C：，從t=0到 解 由公式（17）有三、第一型曲線積分與第二型曲線積分的關系在三維歐式空間中，由于弧長微分d

13、s與它在坐標軸上的投影dx，dy，dz有密切聯(lián)系，因此兩類曲線積分可以互相轉換。設三維歐式空間中有向光滑曲線C(A，B)，去弧長s為參數(shù)，曲線C的參數(shù)方程是，. 表示曲線C的長。A(x(0)，y(0)，z(0)， B(x()，y()，z().在曲線C上任取一點G(x，y，z)，如圖14.5.已知在點G的切線GT的切向量是，弧長微分ds是 .又有 .于是，就是曲線C在點G的切線GT的方向弦。設分別表示切線GT與x軸，y軸，z軸正向的交角，GT的方向余弦是，即 ， 或 ， （18）由（18）式，可將第二型曲線積分（16）化為第一型曲線積分，即. (19)注 P，Q，R，都是曲線C上點（x,y,z）的函數(shù)，而，表示向著弧長增加方向的切線與x軸，y軸，z軸正向的夾