1、高考中圓錐曲線最值問題求解方法 圓錐曲線最值問題是高考中的一類常見問題，體現了圓錐曲線與三角、函數、不等式、方程、平面向量等代數知識之間的橫向聯系。解此類問題與解代數中的最值問題方法類似，。由于圓錐曲線的最值問題與曲線有關，所以利用曲線性質求解是其特有的方法。下面介紹幾種常見求解方法。主要類型：（1）兩條線段最值問題。（2）圓錐曲線上點到某條直線的距離的最值。（3）圓錐曲線上點到軸（軸）上某定點的距離的最值。（4）求幾何圖形面積的最值等。一、 定義法 根據圓錐曲線的定義，把所求的最值轉化為平面上兩點之間的距離、點線之間的距離等，這是求圓錐曲線最值問題的基本方法。有些問題先利用圓錐曲線定義或性質

2、給出關系式，再利用幾何或代數法求最值，可使題目中數量關系更直觀，解法更簡捷。例1、已知拋物線 ，定點A(3,1)，F 是拋物線的焦點 ，在拋物線上求一點 P,使|AP|+|PF|取最小值 ，并求的最小值 。分析：由點A引準線的垂線，垂足Q，則 |AP|+|PF|=|AP|+|PQ|, 即為最小值。OF(1,0) xA(3,1)y Q P解： 如圖，, 焦點F(1,0) 。 由點A引準線x= -1的垂線 ，垂足Q，則 |AP|+|PF|=|AP|+|PQ|, 即為最小值. . 由, 得 為所求點. 若另取一點 ， 顯然 。點悟 利用圓錐曲線性質求最值是一種特殊方法。在利用時技巧性較強，但可以避繁

3、就簡，化難為易。又如已知圓錐曲線內一點A與其上一動點P，求 的最值時，常考慮圓錐曲線第二定義。例2、已知點F是雙曲線 的左焦點，定點A（1，4），P是雙曲線右支上動點，則 的最小值為_.解：例3、已知橢圓的右焦點F，且有定點，又點是橢圓上一動點。問是否有最值，若有，求出最值并指出點的坐標例4、已知點為拋物線上的點，那么點到點的距離與點到拋物線焦點的距離之和的最小值為 _ _，此時點坐標為 _.二、 參數法 利用橢圓、雙曲線參數方程轉化為三角函數問題，或利用直線、拋物線參數方程轉化為函數問題求解。例1、橢圓的切線 與兩坐標軸分別交于兩點 ， 求三角形的最小面積 。分析；寫出橢圓參數方程，設切點為

4、，可得切線方程。 解： 設切點為 ， 則切線方程為 .令y=0, 得切線與x軸交點；令，得切線與y軸交點= 點悟 利用圓錐曲線參數方程轉化為求三角函數的最值問題，再利用三角函數的有界性得出結果。 三 、二次函數法 函數法就是把所求最值的目標表示為關于某個變量的函數，通過研究這個函數求最值，是求各類最值最為普遍的方法.（關鍵：建立函數關系式，注意變量的定義域）。例1、過動直線與定直線的交點（其中）的等軸雙曲線系中 ， 當為何值時，達到最大值與最小值？分析：求出交點坐標代入雙曲線,可得的二次函數表達式，再利用函數方法求解。解：由 , 得 交點,將交點坐標代入雙曲線,= =.當 , ,又 ,；當p=

5、3a時, 點悟 把所求的最值表示為函數，再尋求函數在給定區間上的最值，但要注意函數的定義域。例2、點分別是橢圓的長軸的左右端點，F為右焦點，在橢圓上，位于軸的上方，且若為橢圓長軸上一點，到直線的距離等于.求橢圓上點到點的距離的最小值.分析：把所求距離表示為橢圓上點的橫坐標的函數，然后求這個函數的最小值。解：由已知可得點、,設點，則由（1）（2）及得 的方程為設，則點到直線AP的距離設橢圓上點到距離為則四 、幾何法 將圓錐曲線問題轉化為平面幾何問題，再利用平面幾何知識，如對稱點、三角形三邊關系、平行間距離（切線法：當所求的最值是圓錐曲線上點到某條直線的距離的最值時，可以通過作與這條直線平行的圓錐

6、曲線的切線，則兩平行線間的距離就是所求的最值，切點就是曲線上去的最值時的點。）等求解。例1、 已知橢圓 和直線 ，在l上取一點 ，經過點且以橢圓的焦點為焦點作橢圓 ，求在何處時所作橢圓的長軸最短，并求此橢圓方程 。分析；設是關于l對稱點，可求出坐標，過的直線方程與聯立得交點M為所求。y lP O xM解 ：由橢圓方程 ，得， 設 是關于l對稱點 ， 可求出 坐標為(-9,6) ， 過的直線方程:x+2y-3=0與x-y+9=0聯立，得交點M(-5,4)， 即過M的橢圓長軸最短。由 ,得，, 所求橢圓方程為 .點悟 ：在求圓錐曲線最值問題中，如果用代數方法求解比較復雜，可考慮用幾何知識求解，其中

7、“三角形兩邊之和大于第三邊”是求最值常用的定理。同時，利用平幾知識求解，蘊涵了數形結合的思想。 五、不等式法 基本不等式法先將所求最值的量用變量表示出來，再利用均值不等式“等號成立”的條件求解。.這種方法是求圓錐曲線中最值問題應用最為廣泛的一種方法.例5 、過橢圓的焦點的直線交橢圓A,B兩點 ，求面積的最大值 。分析：由過橢圓焦點，寫出直線AB方程為y=kx+1，與橢圓方程聯立，消去y，得關于x的一元二次方程，巧妙的利用根與系數的關系，可以起到避繁就簡的效果。 解 ： 橢圓焦點 ，設過焦點，直線方程為 與聯立 ，消去, 得 ， 其中兩根為橫坐標 。 將三角形看作與組合而成 ， 是公共邊 ，它們在公共邊上的高長為 ., 其中 =. 當 即時,取等號 ，即當直線為 時 , 得到的面積最大值為 。例2、設橢圓中心在坐標原點是它的兩個頂點，直線與橢圓交于兩點，求四邊形面積的最大值.解: 依題意設得橢圓標準方程為 直線AB、EF的方程分別為 設根據點到直線距離公式及上式，點E、F到AB的距離分別為四邊形AFBE的面積為當且僅當點悟 利用均值不等式求最值，有時要用“配湊法”，這種方法是一種技巧。