1、數(shù)形結(jié)合一、在一些命題證明中得應(yīng)用舉例1、證明勾股定理：解析:上圖中，四個(gè)小三角形（陰影部分）得面積加上中間小正方形得面積等于大正方形得面積化簡(jiǎn)后得到勾股定理。解析:在上圖中，利用正方形與小正方形面積得轉(zhuǎn)化，能更進(jìn)一步理解平方差公式 與完全平方公式得運(yùn)算過(guò)程以及公式得本質(zhì)問(wèn)題。3、證明基本不等式：2、證明乘法公式（平方差與完全平方）：解析:如上圖所示，直角三角形斜邊上得中線等于斜邊得一半,長(zhǎng)度為，根據(jù)直角三角形得相似關(guān)系，可以得到直角三角形斜邊上得高得長(zhǎng)度為，顯然在直角三角形中斜邊上得中線得長(zhǎng)度會(huì)大于等于高，利用這樣簡(jiǎn)潔明了得幾何圖解，對(duì)基本不等式得理解也就更加簡(jiǎn)單了。4、證明正（余）弦定理：

2、解析：（1）如上圖所示,;即；根據(jù)圓得性質(zhì)（等弧對(duì)等角）；綜上，得正弦定理：。(2)根據(jù)勾股定理AB2BE2AC2CE2,即c2(ccosB)2b2(accosB)2;整理可得余弦定理：;同理得出cosA、cosC得余弦定理、5、證明結(jié)論解析:如上圖所示，根據(jù)y=tanx、y=x、y=sinx在上得圖像可瞧出tanx>xsinx,、當(dāng)然，實(shí)際考試作圖不可能如此精確，那么轉(zhuǎn)化到右圖得單位圓中，當(dāng)時(shí)，角得終邊始終在第一象限內(nèi)，根據(jù)三角函數(shù)線可知，藍(lán)線表示正弦線，紅線表示正切線，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式，即圖中黑色弧線得長(zhǎng)度表示x,顯而易見(jiàn)。紅線長(zhǎng)度弧線長(zhǎng)度藍(lán)線長(zhǎng)度，即tanx>x>sinx

3、,。6、證明兩角差得余弦公式：解析:如上圖所示，根據(jù)三角比得定義及單位圓得定義可知單位圓上得點(diǎn)得坐標(biāo)表示、左圖中，將B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至(1,0)處(右圖所示)。此時(shí),，因?yàn)榫€段AB得長(zhǎng)度沒(méi)有發(fā)生變化，即，化簡(jiǎn):。當(dāng)然也可以用向量得方法證明利用向量數(shù)量積定義，證明更加簡(jiǎn)潔。如左圖，0二、在考試中得具體應(yīng)用：1、與函數(shù)得綜合運(yùn)用，主要體現(xiàn)在求零點(diǎn)、交點(diǎn)、解得個(gè)數(shù)及參數(shù)范圍等方面：例1(14奉賢)已知定義在R上得函數(shù)y=f(x)對(duì)任意x都滿足f(x+2)=-f(x),當(dāng)只有四個(gè)零點(diǎn)，則a得取值范圍就是答案：解析:根據(jù)已知條件，f(x)得周期為4,先畫(huà)f(x)一個(gè)周期圖像，當(dāng)1x<3時(shí),，由此畫(huà)出-1,

4、3)得圖像，此為一個(gè)周期，圖像如下，只有四個(gè)零點(diǎn)即f(x)與y=只有四個(gè)交點(diǎn)，需分類討論：當(dāng)0<a<1時(shí)，有兩個(gè)界值，如下圖所示:此時(shí)3個(gè)交點(diǎn)代入點(diǎn)(3,1)，解得a=(2)當(dāng)a1時(shí)，也有兩個(gè)界值，如下圖所示:評(píng)注:數(shù)形結(jié)合體型，一定要結(jié)合圖像分析，并且一些用于定位得特殊點(diǎn)要善于把握;另一方面，必須熟悉初等函數(shù)得所有性質(zhì)及函數(shù)圖像得變換、例2(14閔行)，若a、b、c、d互不相同，且f(a)=f(b)=f(c)=f(d),則abcd得取值范圍就是答案:(32,35)解析:根據(jù)題意，如下圖所示，ab=1,abcd=cd=,4<c<5所以答案就是(32,35)。評(píng)注:這類題

5、出現(xiàn)很多，典型得數(shù)形結(jié)合題型，要讓學(xué)生熟悉各類函數(shù)圖像及相關(guān)性質(zhì)，尤其就是對(duì)稱性與周期性；在草稿紙上作圖時(shí)，雖說(shuō)就是草圖，但有必要做出一些特殊點(diǎn)進(jìn)行定位；寫區(qū)間時(shí),務(wù)必考慮區(qū)間得開(kāi)閉情況。變式已知函數(shù)f(x)=|x1|一1,若關(guān)于x得方程f(x)=t(tR)恰有四個(gè)互不相等得實(shí)數(shù)根得取值范圍就是答案：(3,4)解析:根據(jù)題意，如下圖所示，=0例3(14楊浦)定義一種新運(yùn)算：。已知函數(shù)f(x)=(1+，若函數(shù)g(x)=f(x)k恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則k得取值范圍就是()A、(1,2;B、(1,2);C.(0,2);D。(0,1)答案:B解析：f (x) (1 3)log 2XX441一，log2X1一

6、XX,4log 2X,log 2X1一Xlog2X,0 x 4示:，如下圖所令g(X)=f(x)-k=0，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(X)與函數(shù)y二k有兩個(gè)交點(diǎn)，則k(1,2)。評(píng)注:本題考查分段函數(shù)表達(dá)式求法，函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合很容易求解，可以作適當(dāng)?shù)醚由欤热纾幸粋€(gè)零點(diǎn)，求k得取值范圍等。例4(14寶山)關(guān)于函數(shù)f(x)=，給出下列四個(gè)命題：當(dāng)x>0時(shí),y=f(X)單調(diào)遞減且無(wú)最值;方程f(x)=kx+b(k0)一定有解；如果方程f(x)=k有解，則解得個(gè)數(shù)一定就是偶數(shù)；y=f(x)就是偶函數(shù)且有最小值、則其中真命題就是答案:、解析:含絕對(duì)值、分類討論、先畫(huà)x1與

7、0<x1得部分，然后根據(jù)偶函數(shù)得性質(zhì)(關(guān)于y軸對(duì)稱)畫(huà)出左半部分，函數(shù)圖像如下圖所示：明顯錯(cuò)誤；k=0時(shí)，解得個(gè)數(shù)為1;、正確。評(píng)注:含絕對(duì)值得數(shù)形結(jié)合題型，根據(jù)絕對(duì)值內(nèi)得情況，進(jìn)行分類討論，畫(huà)出函數(shù)圖像，再結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，一般就是對(duì)稱性或奇偶性，然后根據(jù)函數(shù)圖像對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行分析篩選。例5(14奉賢)定義在上得函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)時(shí),；f(3x)=3f(x)。設(shè)關(guān)于x得函數(shù)F(x)=f(x)1得零點(diǎn)從小到大依次記為、，則答案:50解析:結(jié)合已知條件，分析函數(shù)性質(zhì)，畫(huà)出函數(shù)圖像，如下圖所示，2+4+8+10+26=50評(píng)注:數(shù)學(xué)結(jié)合最直觀，或根據(jù)函數(shù)得對(duì)稱性，找到對(duì)稱關(guān)系，圖像就畫(huà)出來(lái)了，答案

8、也就呼之欲出，這就就是數(shù)形結(jié)合在直觀呈現(xiàn)方面得快捷、2、與三角函數(shù)得綜合運(yùn)用：例1(14十三校聯(lián)考)已知f(x)=asin2x+bcos2x(a、b為常數(shù))，若對(duì)于任意xR都有f(x)f(),則方程f(x)0在區(qū)間0,內(nèi)的解為12答案：x=解析:根據(jù)“若對(duì)于任意”可知，當(dāng)乂二時(shí)，函數(shù)圖像取最低點(diǎn)，再結(jié)合函數(shù)解析式可知函數(shù)周期為，因?yàn)楹瘮?shù)得最值橫坐標(biāo)與相鄰零點(diǎn)之間相差個(gè)周期，即，所以在區(qū)問(wèn)0,內(nèi)得解(即在區(qū)間0,內(nèi)得零點(diǎn))為x=。評(píng)注:本題瞧似復(fù)雜，因?yàn)橛凶帜竌、b,但只要理解了“三角函數(shù)得最值橫坐標(biāo)與相鄰零點(diǎn)急間相差個(gè)周期”這樣得圖像性質(zhì)，結(jié)合圖像原理，就迎刃而解了。例2(14閘北)設(shè)a0且a

9、1,已知函數(shù)f僅)=至少有5個(gè)零點(diǎn)，則a得取值范圍為答案:(0,1)(1,2)解析:就就是求函數(shù)上得交點(diǎn)個(gè)數(shù)，分兩種情況：當(dāng)0<a<1時(shí)，在兩個(gè)函數(shù)圖像有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示：所以0a<1時(shí)，滿足至少有5個(gè)交點(diǎn)(2)當(dāng)a>1時(shí)，如下圖所示,在要至少5個(gè)交點(diǎn)，在x=1處要大于0即2a>0,a2,滿足至少有5個(gè)交點(diǎn)。評(píng)注:這就是一道典型得數(shù)形結(jié)合得題型，將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題注意理解題意、審清題意及數(shù)與形之間得轉(zhuǎn)化、例3(14虹口)函數(shù)f(x)=2sin與函數(shù)得圖像所有交點(diǎn)得橫坐標(biāo)之與為答案:17解析:畫(huà)出函數(shù)f(x)=2sin與函數(shù)得圖像，如下圖所示：這

10、倆圖像都就是關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，所以它們得交點(diǎn)也就是關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，即一對(duì)對(duì)稱交點(diǎn)得橫坐標(biāo)之與為2,總共有8對(duì)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱得點(diǎn)，再加上(1,0)點(diǎn)本身，即所有交點(diǎn)得橫坐標(biāo)之與為17。評(píng)注:本題首先要熟悉函數(shù)得圖像變換，精確畫(huà)出函數(shù)圖像，然后再研究交點(diǎn)得特性，在這道題中，交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱得，在這個(gè)前提下，求橫坐標(biāo)之與就轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單得中點(diǎn)問(wèn)題。例4已知函數(shù)y=f(x),任取tR,定義集合:,，設(shè)，記(1)若函數(shù)f(x)=x，則h(1)=(2)若函數(shù)f(x)=sin，則h得最大值為答案:(1)2;(2)2解析:定義得意思就是函數(shù)y=f(x)在以定點(diǎn)P(點(diǎn)P在函數(shù)圖像上)為圓心半

11、徑為得圓內(nèi)得部分，這部分函數(shù)圖像得值域即定點(diǎn)P(1,1)，如下圖所示，藍(lán)色實(shí)線段部分為符合定義得圖像部分，這部分圖像最大值為2，最小值為0,所以h(1)=2(2)對(duì)于f(x)=s1n,函數(shù)最大值與最小值之差2,如下圖所示，通過(guò)理解觀察，可得出能夠同時(shí)包含最大值與最小值，所以h(t)得最大值為2，此時(shí)t=2k,k、評(píng)注:這就是一道理解性得定義體型，理解題目得定義很重要，然后結(jié)合函數(shù)圖像分析就不難了。例5(14閔行)對(duì)于函數(shù)f(x)=，有以下四個(gè)命題：任取包成立；4x)=2kf(x+2k)(k),對(duì)于一切x包成立；函數(shù)y=f(x)-In(x-1)有3個(gè)零點(diǎn)；對(duì)任意x>0,不等式f(x)包成立

12、，則實(shí)數(shù)k得取值范圍就是則其中所有命題得序號(hào)就是答案:、解析:根據(jù)下圖所示可知：選項(xiàng)就是，選項(xiàng)反比例函數(shù)圖像至少要滿足點(diǎn)（）上,此時(shí)，量做到精確，才能避免差錯(cuò)3、與解析幾何得綜合運(yùn)用：例1（14閘北）設(shè)曲線C:,則曲線C所圍封閉圖形得面積為答案：解析:因?yàn)閳D像關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱，所以可以先畫(huà)第一象限得圖像，第一象限x0,y0，絕對(duì)值直接去掉，可得一段圓弧，然后關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱翻折，如下圖所示,根據(jù)題目數(shù)據(jù)，可得,AB=2，可以先算第一象限得面積，由一個(gè)扇形與一個(gè)四邊形構(gòu)成，然后再乘以4,全面積為。評(píng)注:方程圖像問(wèn)題，含絕對(duì)值，所以根據(jù)象BM分類討論，根據(jù)相關(guān)性質(zhì)畫(huà)出方程圖像，割補(bǔ)法求面積。變

13、式由曲線所圍成得封閉圖形得面積為答案:2+例2（14金山）已知直線:4x-3y+6=0,拋物線C:圖像上得一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到直線與y軸得距離之與得最小值就是答案：1解析:結(jié)合題意，畫(huà)出直線與拋物線得草圖，找到點(diǎn)P到直線與y軸得距離之與，如下圖所示，即PH+PA=PH+PB-1=PH+PF1用點(diǎn)到直線距離公式求出來(lái)等于2,所以答案為1。評(píng)注:注意圓錐曲線得相關(guān)定義，進(jìn)行巧妙得轉(zhuǎn)化，如本題中用到了“拋物線上得點(diǎn)到焦點(diǎn)得距離等于這個(gè)點(diǎn)到準(zhǔn)線得距離”這個(gè)性質(zhì)，然后結(jié)合圖像進(jìn)行轉(zhuǎn)化。例3（14金山）已知有相同焦點(diǎn)得橢圓二0（）A.;B、;C.2;D01答案:D解析:法一:如下圖所示，由題意得：PF12詬，兩式

14、平方相減得：PPF2mn2,所以PF；PF22（PF1P2法二:對(duì)于橢圓而言，焦點(diǎn)三角形得面積為，對(duì)于雙曲線而言焦點(diǎn)三角形面積，而這就是同一個(gè)三角形，所以，所以1、評(píng)注:熟悉圓錐曲線得定義非常重要，根據(jù)條件找到變量之間恒定得關(guān)系，做數(shù)學(xué)題時(shí),很多時(shí)候要辯證思考，透過(guò)變化得表象，發(fā)現(xiàn)不變得內(nèi)在聯(lián)系，動(dòng)靜結(jié)合，有機(jī)分析，以靜制動(dòng),以不變應(yīng)萬(wàn)變。例4（14金山）設(shè)雙曲線上動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)得距離三最小值就是（）A、；B.;C。；D、1答案:B解析:雙曲線方程兩邊同時(shí)除以，得到，即方程,即求點(diǎn)得距離，選B評(píng)注:這就是一類要考慮極限位置得極限體型，在高考中出現(xiàn)過(guò)類似得題目，一般找到了極限得位置，題目就很容易解

15、得，很多同學(xué)不會(huì)因?yàn)闆](méi)有想到極限得位置，而像=想把、例5（14閔行）若曲線上存在兩個(gè)不同點(diǎn)處得切線重合，則稱這條切線為曲線得自公切線，下列方程得曲線有自公切線得就是（）Ao;B.;C、；D、答案：C解析:A、B、C、D選項(xiàng)圖像依次如下圖所示，根據(jù)題意，選C評(píng)注:利用數(shù)形結(jié)合得方法，考查了含絕對(duì)值曲線方程得畫(huà)法，一般根據(jù)圖像得對(duì)稱性，或者分區(qū)間、分象限進(jìn)行分類討論函數(shù)方程在各個(gè)象限得圖像，再結(jié)合題意解題。4、與向量得運(yùn)用：例1（14徐匯）如下圖所示，已知點(diǎn)兩邊分別交于17；答案:解析:法一：M、G、N三點(diǎn)共線，設(shè)AGAMAN,有，因?yàn)橐?八口門ABAC,即 x31 1 3'3x1xy1,

16、化簡(jiǎn)上-3yx y法二:取特殊值，。評(píng)注:作為填空題，本題得第一做法就是法二，同時(shí)也要知道具體過(guò)程，注意向量些常用知識(shí)點(diǎn)及一些轉(zhuǎn)化技巧、例2（14閔行）設(shè)i、j依次表示平面直角坐標(biāo)系x軸、y軸上的單位向量，且a j答案:解析:根據(jù)題意，得幾何意義為一個(gè)點(diǎn)到得距離加上這個(gè)點(diǎn)到得距離等于，如下圖所示，即到A點(diǎn)得距離加上到B點(diǎn)得距離等于，而，所以這個(gè)點(diǎn)得軌跡為線段，而我們要求得取值范圍得幾何意義即轉(zhuǎn)化成線段上得點(diǎn)到點(diǎn)（）得距離得取值范圍，最短距離就是下圖中得長(zhǎng)度，用點(diǎn)到直線得距離公式或等面積法可求得評(píng)注:用代數(shù)得方法計(jì)算，因?yàn)橛懈?hào)，過(guò)程很復(fù)雜，結(jié)合向量得模得幾何意義，轉(zhuǎn)化成圖形問(wèn)題就簡(jiǎn)明了，易于理

17、解，教學(xué)過(guò)程中注意引導(dǎo)數(shù)形結(jié)合得使用、例3（14徐匯）如下圖所示，在邊長(zhǎng)為2得正六邊形中，動(dòng)圓得半徑為1,圓心在線段CD（含端點(diǎn)）三上運(yùn)動(dòng)，P是圓Q上及內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)向量答案：解析:如上圖所示,。評(píng)注:本題結(jié)合動(dòng)態(tài)圖像考查了向量得分解，要求能夠理解題意，本題也可建系分析5、與其她知識(shí)點(diǎn)得綜合運(yùn)用：例1（14浦東）用S集合S中的元素的個(gè)數(shù)，設(shè)A、B、C為集合，稱（A,B,C）有序三元組。如果集合A、B、C滿足AB|BCAC1,且ABC=,則稱有序三元組（A、B、C）為一最小相交，由集合1,2,3,4的子集構(gòu)成得所有有序三元組中，最小相交得有序三元組得個(gè)數(shù)為答案：解析:設(shè)，如下圖所示，因?yàn)锳BBC|AC1,所以Mi,M2,M3中個(gè)各有一個(gè)元素，將得元素排入，有種方法，由題意得，還剩下得一個(gè)元素，可排在種方法，由分步原理得。評(píng)注:本題要注意分步原理與分類原理得綜合運(yùn)用，抽象出解題模型，從而使問(wèn)題得到解決，當(dāng)然也可以用列舉法，顯然中A為含有1個(gè)或者4個(gè)元素的子集不符合題意，A為含有2個(gè)或者3個(gè)元素的子集，列舉即可求解。對(duì)于新定義題型，要善于將陌生問(wèn)題化為熟悉模型，注重基本原理得運(yùn)用。例2（14十三校聯(lián)考）集合zxy恰有一個(gè)成立，若（x,y,z）S且（z,w