1、第三章 連續型隨機變量及其分布一、教學要求 1理解連續型隨機變量及其概率密度的概念，并掌握其性質，掌握均勻分布、指數分布、正態分布及其應用 2理解二維隨機變量的聯合分布的概念、性質以及連續型隨機變量聯合概率密度；會利用二維概率分布計算有關事件的概率 3理解二維隨機變量的邊緣分布，了解二維隨機變量的條件分布 4理解隨機變量的獨立性概念，掌握連續型隨機變量獨立的條件 5掌握二維均勻分布；了解二維正態分布的密度函數，理解其中參數的概率意義 6會求兩個獨立隨機變量的簡單函數的分布，會求兩個獨立隨機變量的簡單函數的分布，會求兩個隨機變量之和的概率分布 會求簡單隨機變量函數的概率分布 本章重點：一維及二維

2、隨機變量的分布及其概率計算二、知識要點 1分布函數 隨機變量的分布可以用其分布函數來表示，隨機變量取值不大于實數的概率稱為隨機變量的分布函數，記作, 即 2分布函數的性質 (1) () 是非減函數，即當時，有； (3) ; (4) 是右連續函數，即由已知隨機變量的分布函數，可算得落在任意區間內的概率也可以求得 3聯合分布函數 二維隨機變量的聯合分布函數規定為隨機變量取值不大于實數的概率，同時隨機變量取值不大于實數的概率，并把聯合分布函數記為，即 4聯合分布函數的性質 (1) ； (2) 是變量(固定)或(固定)的非減函數； (3) ，；(4) 是變量(固定)或(固定)的右連續函數； (5) 5

3、連續型隨機變量及其概率密度 設隨機變量的分布函數為，如果存在一個非負函數，使得對于任一實數，有成立，則稱X為連續型隨機變量，函數稱為連續型隨機變量的概率密度 6概率密度及連續型隨機變量的性質（）（）； （）連續型隨機變量的分布函數為是連續函數，且在的連續點處有； （4）設為連續型隨機變量，則對任意一個實數c，； (5)設是連續型隨機變量的概率密度，則有 7常用的連續型隨機變量的分布 (1)均勻分布，它的概率密度為其中， (2)指數分布，它的概率密度為其中， (3)正態分布，它的概率密度為 ，其中，當時，稱為標準正態分布，它的概率密度為，標準正態分布的分布函數記作，即， 當出時，可查表得到；當時

4、，可由下面性質得到設，則有 ；二維連續型隨機變量及聯合概率密度 對于二維隨機變量(X，Y)的分布函數，如果存在一個二元非負函數，使得對于任意一對實數有成立，則為二維連續型隨機變量，為二維連續型隨機變量的聯合概率密度 二維連續型隨機變量及聯合概率密度的性質 (1) ； (2) ； (3) 設為二維連續型隨機變量，則對任意一條平面曲線，有； (4) 在的連續點處有 ; (5) 設為二維連續型隨機變量，則對平面上任一區域有 1，二維連續型隨機變量的邊緣概率密度 設為二維連續型隨機變量的聯合概率密度，則的邊緣概率密度為；的邊緣概率密度為 1二維連續型隨機變量的條件概率密度 設為二維連續型隨機變量的聯合

5、概率密度，則在給定的條件下的條件概率密度為，其中；在給定的條件下的條件概率密度為，其中 1常用的二維連續型隨機變量 (1)均勻分布 如果在二維平面上某個區域G上服從均勻分布，則它的聯合概率密度為 (2) 二維正態分布 如果的聯合概率密度則稱服從二維正態分布，并記為. 如果，則，即二維正態分布的邊緣分布還是正態分布 1隨機變量的相互獨立性 如果與的聯合分布函數等于的邊緣分布函數之積，即， 那么，稱隨機變量與相互獨立 設為二維連續型隨機變量，則與相互獨立的充分必要條件為 如果那么，與相互獨立的充分必要條件是 多維隨機變量的相互獨立性可類似定義即多維隨機變量的聯合分布函數等于每個隨機變量的邊緣分布函

6、數之積，多維連續型隨機變量的獨立性有與二維相應的結論 1隨機變量函數的分布（）一維隨機變量函數的概率密度 設連續型隨機變量的概率密度為，則隨機變量的分布函數為其中，與是相等的隨機事件，而是實數軸上的某個集合隨機變量的概率密度可由下式得到： 連續型隨機變量函數有下面兩條性質： (i)設連續型隨機變量的概率密度為，是單調函數，且具有一階連續導數，是的反函數，則的概率密度為 (ii) 設，則當時，有，特別當時，有，（）二維隨機變量函數的概率密度 設二維連續型隨機變量的聯合概率密度為,則隨機變量函數的分布函數為,其中，是與等價的隨機事件，而是二維平面上的某個集合(通常是一個區域或若干個區域的并集) 隨機變量函數的概率密度為. 當與相互獨立，且的概率密度為,的概率密度為時，隨機變量函數的概率密度為,