1、隨機(jī)模擬與蒙特卡羅法2006年08月30日 星期三 下午 10:20分子聚集體或宏觀物系的結(jié)構(gòu)與物理化學(xué)性質(zhì)可以通過求相應(yīng)物理量的系綜平均值得到。但是，系統(tǒng)的狀態(tài)數(shù)常常是一個(gè)近乎天文的數(shù)字。比如，對(duì)一個(gè)大小的一個(gè)二維點(diǎn)陣，即使每個(gè)點(diǎn)只能取兩個(gè)狀態(tài)，系統(tǒng)可能取的狀態(tài)總數(shù)為。這樣，求一個(gè)平均值，就是用速度為每秒數(shù)萬(wàn)億次的巨型計(jì)算機(jī)，它也要算上至少年。顯然，這是根本無(wú)法做到的。計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬方法是用一小部分“代表”狀態(tài)上的算術(shù)平均值近似系綜平均值。計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬是在電子計(jì)算機(jī)上對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行模擬并進(jìn)而得到問題解答的方法的簡(jiǎn)稱。其中所說(shuō)的隨機(jī)現(xiàn)象可以是原問題本身所固有的，也可以是人為建立起來(lái)的與原問題

2、答案有一定關(guān)系的某隨機(jī)現(xiàn)象。計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬方法亦稱蒙特卡羅方法(Monte Carlo Method)，后一名稱已被國(guó)內(nèi)外廣大學(xué)者所普遍采用。蒙特卡羅方法的程序大都為專門應(yīng)用設(shè)計(jì)，一般的應(yīng)用程序不會(huì)太復(fù)雜，可以自己編寫。一個(gè)模擬退火算法程序ASA(Adaptive Simulated Annealing)可以在網(wǎng)上免費(fèi)得到(，ftp:/)，用于許多優(yōu)化的目的。1. 蒙特卡羅方法的名稱與歷史蒙特卡羅方法為計(jì)算數(shù)學(xué)中的一種計(jì)算方法，它的基本特點(diǎn)是，以概率與統(tǒng)計(jì)中的理論與方法為基礎(chǔ)，以是否適于在計(jì)算機(jī)上使用為重要標(biāo)志。因此，它雖屬計(jì)算方法但又與一般計(jì)算方法有很大區(qū)別。蒙特卡羅是摩納哥的一個(gè)著名城市，

3、以賭博聞名于世。蒙特卡羅方法借用這一城市的名稱，屬于象征性的，是為了表明該方法的上述基本特點(diǎn)的。蒙特長(zhǎng)羅方法也稱統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)方法或計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬方法，這些名稱同樣是為表明該方法的上述基本特點(diǎn)的。 蒙特卡羅方法作為一種可行的計(jì)算方法，是由Ulam和Von Neumann在20世紀(jì)40年代中葉為解決研制核武器中的計(jì)算問題而首先提出并加以運(yùn)用的。在此之前，作為該方法的基本思想，實(shí)際上早已被統(tǒng)計(jì)學(xué)家所發(fā)現(xiàn)和利用了。例如，早在17世紀(jì)的時(shí)候，人們就知道了依頻數(shù)來(lái)決定概率的方法。又如，在19世紀(jì)末，曾有很多人進(jìn)行隨機(jī)投針試驗(yàn)。根據(jù)針與地面上平行線束（距離均為二倍針長(zhǎng)）相交的概率P等于的倒數(shù)，用頻數(shù)n/ N替代

4、概率P，并進(jìn)而得到。為了使p的有效數(shù)字達(dá)到4位，置信水平為0.95，所需投針次數(shù)要在40萬(wàn)以上。因此，在還不具備實(shí)現(xiàn)這樣大量試驗(yàn)的條件之前，除非為其他目的，如上例求p是為了驗(yàn)證大數(shù)定律，不會(huì)有人用進(jìn)行實(shí)際試驗(yàn)的辦法來(lái)計(jì)算所要計(jì)算的值。進(jìn)入20世紀(jì)40年代中葉，出現(xiàn)了電子計(jì)算機(jī)，使得用數(shù)學(xué)方法在電子計(jì)算機(jī)上模擬這樣大量的試驗(yàn)成為可能。另外，科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，出現(xiàn)了越來(lái)越多的復(fù)雜而困難的問題，用通常的解析方法或數(shù)值方法都很難得到解決。蒙特卡羅方法就是在這些情況下，作為一種可行的而且是不可缺少的計(jì)算方法被提出和迅速發(fā)展起來(lái)的。2. 蒙特卡羅方法的一般原理蒙特卡羅方法解題的一般過程是，首先構(gòu)成一個(gè)概

5、率空間；然后在該概率空間中確定一個(gè)依賴隨機(jī)變量A(可以為任意維)的統(tǒng)計(jì)量g(x)，其數(shù)學(xué)期望作為G的近似估計(jì)。由以上過程看出，蒙特卡羅方法解題的最關(guān)鍵一步是，確定一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，其數(shù)學(xué)期望正好等于所要求的值。為方便起見，后面將總稱這樣的統(tǒng)計(jì)量為無(wú)偏統(tǒng)計(jì)量。由于其他原因，如確定數(shù)學(xué)期望為G的統(tǒng)計(jì)量g(x)有困難，或?yàn)槠渌康模商乜_方法有時(shí)也用G的漸近無(wú)偏估計(jì)代替一般過程中的無(wú)偏估計(jì)，并用此漸近無(wú)偏估計(jì)作為G的近似估計(jì)。蒙特卡羅方法的最低要求是，能確定這樣一個(gè)與計(jì)算步數(shù)N有關(guān)的統(tǒng)計(jì)估計(jì)量，當(dāng)時(shí),依概率收斂于所要求的值G，亦即，對(duì)于任意的0，應(yīng)有其中P(·)表示事件·的概率。子樣

6、：具有已知分布f(x)的總體，作為它的子樣形式，在蒙特卡羅方法中通常被大家所采用的是簡(jiǎn)單子樣。簡(jiǎn)單子樣指的這樣的隨機(jī)子樣，它們之間相互獨(dú)立，對(duì)于任意的x和所有的n = 1，N滿足簡(jiǎn)單子樣具有三個(gè)非常重要的性質(zhì)。第一個(gè)性質(zhì)是，對(duì)于任意的統(tǒng)計(jì)量具有同一分布且相互獨(dú)立，數(shù)學(xué)期望均等于蒙特卡羅方法的收斂性：蒙特卡羅方法的近似估計(jì)依概率1收斂于G，亦即的充分必要條件是無(wú)偏統(tǒng)計(jì)量g(x)滿足就是說(shuō)，蒙特卡羅方法的收斂性取決于所確定的無(wú)偏統(tǒng)計(jì)量是否絕對(duì)可積，確切些說(shuō)，是它的絕對(duì)數(shù)學(xué)期望是否存在。如果無(wú)偏統(tǒng)計(jì)量g(x)滿足條件亦即依概率1收斂G的速度為。就是說(shuō)，蒙特卡羅方法出收斂速度取決于所確定的無(wú)偏統(tǒng)計(jì)量是

7、幾次絕對(duì)可積，但收斂速度總不會(huì)超過。蒙特卡羅方法的誤差：根據(jù)中心極限定理，只要所確定的無(wú)偏統(tǒng)計(jì)量具有有限的異于零的方差，對(duì)于任意非負(fù)的X均有因此，當(dāng)N足夠大時(shí)，就可以認(rèn)為有如下近似等式：其中為置信度，1 - 為置信水平。根據(jù)以上結(jié)果，我們可以根據(jù)問題的要求，確定出置信水平，然后按照正態(tài)積分表確定出X來(lái)，而近似估計(jì) 與真值G之間的誤差就可以用下式近似地得到： 通常取X為0.6745、1.96或3，相應(yīng)的置信水平依次為0.5、0.95或0.997。蒙特卡羅方法誤差容易確定。對(duì)于般計(jì)算方法，要想給出計(jì)算結(jié)果與真值的誤差并不是一件容易辦到的事情，蒙特卡羅方法則不然。根據(jù)蒙特卡羅方法的誤差公式，其中的X

8、是確定的，N是實(shí)際的抽樣數(shù)，未知的僅僅是均方差。可是，它是可以通過計(jì)算的同時(shí)計(jì)算給出的，即對(duì)于再?gòu)?fù)雜的蒙特卡羅方法計(jì)算問題，均方差的確定大致上也是如此，因此，誤差容易確定成了蒙特卡羅方法另一大優(yōu)點(diǎn)。一般計(jì)算方法常存在著有效位數(shù)損失問題，要想解決這一問題有時(shí)還是相當(dāng)困難的，蒙特卡羅方法則不存在這一問題。蒙特卡羅方法的費(fèi)用：根據(jù)上述誤差公式，若問題所要求的誤差為，置信水平為1 - ，X是按照正態(tài)積分表由置信水平所確定的，則應(yīng)有即子樣容量N必須滿足進(jìn)一步假設(shè)每計(jì)算一次無(wú)偏統(tǒng)計(jì)量所需要的費(fèi)用是C，則蒙特卡羅方法的總費(fèi)用自然應(yīng)該是就是說(shuō)，蒙特卡羅方法的費(fèi)用與方法所確定的無(wú)偏統(tǒng)計(jì)量的方差及其費(fèi)用C的乘積C

9、成正比。上述結(jié)果表明，在相同條件下，即在相同誤差和置信水平要求下，一個(gè)蒙特卡羅方法的好壞完全取決于C的值的大小，其值越小相應(yīng)的方法越好。蒙特卡羅方法的收斂速度與問題的維數(shù)無(wú)關(guān)：由蒙特卡羅方法的誤差公式看出，在置信水平一定的情況下，蒙特卡羅方法的誤差除了與問題所確定的無(wú)偏統(tǒng)計(jì)量的方差有關(guān)以外，只取決于子樣的容量N，而與無(wú)偏統(tǒng)計(jì)量g()中的是多少維空間的點(diǎn)無(wú)關(guān)。例如，如下的S重積分計(jì)算問題：蒙特卡羅方法的近似估計(jì)是其中，為S維方體內(nèi)均勻抽樣確定的點(diǎn)。由蒙特卡羅方法的誤差公式不難看出，如果無(wú)偏統(tǒng)計(jì)量g(x)的方差不變，則除了由于維數(shù)的變化可能引起每次觀察費(fèi)用作較小的變化之外，蒙特卡羅方法的誤差是與維

10、數(shù)S無(wú)關(guān)的，或者說(shuō)，蒙特卡羅方法的收斂速度與問題的維數(shù)無(wú)關(guān)，顯然，這一特點(diǎn)是其他計(jì)算方法所不常具有的。蒙特卡羅方法受問題的條件影響不大：蒙特卡羅方法的另一個(gè)基本特點(diǎn)是，它受問題條件限制的影響不大。例如，對(duì)于上述積分，如果加上一個(gè)積分區(qū)域V的限制：則無(wú)論S維單位方體內(nèi)的區(qū)域V如何特殊，我們都可以給出類似的近似估計(jì)如下： 顯然，這也是其他計(jì)算方法所不常具有的。 蒙特卡羅方法不必進(jìn)行離散化處理：蒙特卡羅方法的再一個(gè)特點(diǎn)是，它不象其他計(jì)算方法那樣對(duì)問題一定要進(jìn)行離散化處理。明確些說(shuō)，其他計(jì)算方法需要事先確定網(wǎng)格點(diǎn)，一旦網(wǎng)格點(diǎn)確定后，問題所關(guān)心的就是這些網(wǎng)格點(diǎn)上的值，而與其他點(diǎn)上的值無(wú)關(guān)。蒙特卡羅方法完

11、全不需要這些。例如，在化工問題中的如下齊次積分方程本征值：其中和x為三維空間的點(diǎn)，V一般都比較復(fù)雜。對(duì)此問題，一般計(jì)算方法總是需要在積分區(qū)域V上劃分網(wǎng)格點(diǎn)(這一步用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)是比較困難的)，實(shí)現(xiàn)離散化，使問題所關(guān)心的只是這些網(wǎng)格點(diǎn)上的值(需要占用計(jì)算機(jī)大量存貯單元)。蒙特卡羅方法則不需要這樣做。很明顯，蒙特卡羅方法的這一優(yōu)點(diǎn)，不僅使蒙特卡羅方法更加適于解決那些高維問題，精確度進(jìn)一步增加，節(jié)省計(jì)算機(jī)大量存貯單元，而且給建立蒙特卡羅方法通用程序帶來(lái)了很大方便。蒙特卡羅方法具有直接解決問題的能力：蒙特卡羅方法還有一個(gè)特點(diǎn)是，對(duì)于那些本身具有統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的所謂非確定性問題，不需要象常規(guī)方法那樣首先將它轉(zhuǎn)化

12、成為確定性問題，如轉(zhuǎn)化成某方程的解，然后再通過解決確定性問題得到問題的答案。例如，粒予進(jìn)入屏蔽層與介質(zhì)發(fā)生多次碰撞后可能被吸收，也可能反射回來(lái)或穿過屏蔽層，問題所關(guān)心的常是穿透概率。對(duì)于這樣一個(gè)非確定性問題，常規(guī)方法是首先給出它所滿足的方程，實(shí)際上是一個(gè)積分微分方程，即轉(zhuǎn)化成為確定性問題，然后用某種計(jì)算方法解這一確定性問題，進(jìn)而得到問題的解答。蒙特卡羅方法不需要將非確定性問題轉(zhuǎn)化成為確定性問題，可以直接從非確定性問題出發(fā)，通過模擬原問題的實(shí)際過程得到問題的解決。在由非確定性問題轉(zhuǎn)化成確定性問題和用計(jì)算方法解這一確定性問題過程中，常常需要作很多近似，蒙特卡羅方法則不需要，因此，有人稱蒙特卡羅方法

13、為精確的方法，并常依此為標(biāo)準(zhǔn)衡量其他方法的近似是否是合理的。蒙特卡羅方法具有同時(shí)計(jì)算多個(gè)方案的能力：蒙特卡羅方法的再一個(gè)特點(diǎn)是，對(duì)于那些需要計(jì)算多個(gè)方案的問題，有時(shí)不需要象常規(guī)方法那樣逐個(gè)方案遂個(gè)計(jì)算，而可以同時(shí)計(jì)算所有的方案，其全部計(jì)算量幾乎與計(jì)算一個(gè)方案的計(jì)算量相當(dāng)。例如，上述穿透概率計(jì)算問題，當(dāng)屏蔽層為均勻介質(zhì)平幾何情況，要計(jì)算I種厚度的穿透概率時(shí)，用蒙特卡羅方法只須計(jì)算最厚一種情況，其他厚度的穿透概率在計(jì)算最厚一種情況時(shí)稍加處理便可同時(shí)得到。詳細(xì)些說(shuō)，在計(jì)算最厚一種屏蔽層的穿透概率時(shí)，粒子在屏蔽層內(nèi)隨機(jī)游動(dòng)，對(duì)于各種厚度的屏蔽層，粒子是離開，或離開再進(jìn)入，也可能再離開等等情況是請(qǐng)清楚楚

14、的。設(shè)第一次離開各種厚度的粒子數(shù)依次為，觀察的粒子總數(shù)為N，則，便分別近似等于各種厚度屏蔽層的穿透概率。蒙特卡羅方法的缺點(diǎn)：蒙特卡羅方法也存在一些缺點(diǎn)，這些缺點(diǎn)主要有，對(duì)于維數(shù)少的問題，一般是二維和二維以下問題，它不如其他計(jì)算方法好；對(duì)于大的幾何系統(tǒng)或小概率事件的計(jì)算問題，它的計(jì)算結(jié)果有時(shí)比真值偏低；誤差是概率誤差，而不是一般意義下的誤差。3. 偽隨機(jī)數(shù)我們已經(jīng)看到，由具有已知分布的總體中產(chǎn)生簡(jiǎn)單子樣，在蒙特卡羅方法的問題中占有非常重要的地位。總體和子樣的關(guān)系屬于一般和若干個(gè)別的關(guān)系，或者說(shuō)屬于共性和若干個(gè)性的關(guān)系。由具有已知分布的總體中產(chǎn)生簡(jiǎn)單子樣，就是由簡(jiǎn)單子樣中的諸個(gè)性近似地反映總體的共

15、性。 在連續(xù)型分布中，最簡(jiǎn)單而又最基本的一個(gè)分布是單位均勻分布。在蒙特卡羅方法中常把該分布的簡(jiǎn)單子樣作為基本量來(lái)看待，而由其他分布中產(chǎn)生簡(jiǎn)單子樣時(shí)把它看成是已知的。因此，它們雖然都屬于由具有已知分布的總體中產(chǎn)生簡(jiǎn)單子樣的問題，但就產(chǎn)生的方法而言，它們之間卻有著本質(zhì)上的差別。均勻分布也常稱為矩形分布，其中最基本的是單位均勻分布。單位均勻分布的密度函數(shù)如下： f(x) = 1，0x1。由具有單位均勻分布的總體中產(chǎn)生的簡(jiǎn)單子樣：，簡(jiǎn)稱為隨機(jī)數(shù)序列，其中的每一個(gè)體稱為隨機(jī)數(shù)。隨機(jī)數(shù)在蒙特卡羅方法中占有極其重要的地位。根據(jù)隨機(jī)數(shù)的定義，隨機(jī)數(shù)序列是相互獨(dú)立的具有相同單位均勻分布的隨機(jī)變量序列。隨機(jī)數(shù)具有

16、非常重要的性質(zhì)：對(duì)于任意自然數(shù)S，由S個(gè)隨機(jī)數(shù)所組成的S維空間上的點(diǎn)在S維空間的單位方體上均勻分布，亦即對(duì)于任意的，01，i = 1，S，如下等式成立：反之，如果隨機(jī)變量序列，對(duì)于任意自然數(shù)S，由S個(gè)元素所組成的 維空間上的點(diǎn)在上均勻分布，則隨機(jī)變數(shù)序列是隨機(jī)數(shù)序列。在機(jī)器中若沒有隨機(jī)數(shù)發(fā)生器，可以用下面的子程序RAN產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)(在主程序中要先調(diào)用INITRAN置初值)。4. 由已知分布的隨機(jī)抽樣由已知分布的隨機(jī)抽樣指的是由已知分布的總體中產(chǎn)生簡(jiǎn)單子樣。用F(x)表示已知分布的分布函數(shù)，表示由總體F(x)中產(chǎn)生的容量為N的簡(jiǎn)單子樣。按照簡(jiǎn)單子樣的定義，是用相互獨(dú)立的抽樣方法產(chǎn)生的，具有相同的分

17、布F(x)。由已知分布的隨機(jī)抽樣簡(jiǎn)稱為隨機(jī)抽樣。用表示由已知分布F(x)所產(chǎn)生的簡(jiǎn)單子樣中的個(gè)體。對(duì)于連續(xù)型分布常用密度函數(shù)f(x)表示總體的已知分布。用表示由已知分布f(x)所產(chǎn)生的簡(jiǎn)單子樣中的個(gè)體。抽樣方法有好幾種，如直接抽樣方法、舍選抽樣方法、復(fù)合抽樣方法、復(fù)合舍選抽樣方法等。然而，由于在實(shí)際問題中隨機(jī)變量所服從的分布是千差萬(wàn)別的，用這些方法實(shí)現(xiàn)隨機(jī)抽樣有時(shí)還會(huì)遇到困難。概括起來(lái)說(shuō)，可能遇到的困難主要有以下兩點(diǎn)：一點(diǎn)是有的分布用上述抽樣方法雖然可以實(shí)現(xiàn)，但抽樣效率很低；另一點(diǎn)是有的分布用上述方法雖然可以實(shí)現(xiàn)，抽樣效率也不低，但運(yùn)算量太大。由于上述原因，常采用某種近似抽樣方法。5. 系綜的

18、平均觀測(cè)量6. 線型高分子鏈構(gòu)象模擬示例線型高分子是由數(shù)目很大的結(jié)構(gòu)單元連接而成的長(zhǎng)鏈分子，例如分子量為28,000的聚乙烯(PE)，結(jié)構(gòu)單元數(shù) = 1000。由于熱運(yùn)動(dòng)及分子中的單鍵可以旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生許多不同的構(gòu)象。當(dāng)分子量確定后，隨著構(gòu)象的變化，分子的尺寸也在變化。我們用分子末端距（線型高分子鏈兩端的直線距離，h）的均方根來(lái)作為描述分子尺寸的參數(shù)，通常稱為根均方末端距。一般情況下h應(yīng)該是分子內(nèi)化學(xué)鍵向量和的模長(zhǎng)（e是單位向量，n和l分別為鍵數(shù)和鍵長(zhǎng)）高分子鏈完全伸直時(shí)，主鏈為鋸齒狀，對(duì)聚乙烯有，l = 0.154nm。根據(jù)高分子構(gòu)象的一些理論模型可以導(dǎo)出分子末端距。例如：柔性鏈模型的模擬則是在

19、以鏈段長(zhǎng)為半徑的球面上取均勻分布的隨機(jī)點(diǎn)，作為下一鏈段的起點(diǎn)。同樣在n步以后，計(jì)算該鏈的末端距平方。統(tǒng)計(jì)了N條高分子鏈以后，計(jì)算出均方末端距。7. 固體反應(yīng)中成核過程模擬示例（化學(xué)物理學(xué)報(bào)，7/4 (1994)，118）固體反應(yīng)與在流體中進(jìn)行的反應(yīng)有很大差別，一般分為成核與生長(zhǎng)兩個(gè)階段。在較低溫度下，分散在母相中的產(chǎn)物以替代缺陷形式占據(jù)晶格點(diǎn)，構(gòu)成二元物系。在成對(duì)最近鄰相互作用近似下，各向同性互作用系的哈密頓可以表示為式中A和B分別是缺陷在格點(diǎn)上的形成能和成對(duì)能；當(dāng)i格點(diǎn)被產(chǎn)物缺陷占據(jù)時(shí)，占有數(shù)= 1，否則，被反應(yīng)物占據(jù)時(shí)，占有數(shù) = 0；表示對(duì)所有格點(diǎn)位置求和， 表示求和僅對(duì)i的最近鄰進(jìn)行。

20、因而分別是缺陷總數(shù)和缺陷對(duì)數(shù)。哈密頓第二項(xiàng)前的負(fù)號(hào)表示產(chǎn)物缺陷成對(duì)使體系能量降低，這是產(chǎn)物相能成核從反應(yīng)物相中分離出來(lái)的原因。蒙特卡羅方法出自 MBA智庫(kù)百科()(重定向自蒙特卡羅法)蒙特卡羅方法（Monte Carlo method） 目錄隱藏· 1 蒙特卡羅方法概述 · 2 蒙特卡羅方法的提出 · 3 蒙特卡羅方法的基本思想 · 4 蒙特卡羅方法的基本原理 · 5 蒙特卡羅方法在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 · 6 蒙特卡羅方法的應(yīng)用領(lǐng)域 · 7 蒙特卡羅方法的工作過程 · 8 蒙特卡羅方法分子模擬計(jì)算的步驟 · 9

21、 蒙特卡羅模型的發(fā)展運(yùn)用 · 10 項(xiàng)目管理中蒙特卡羅模擬方法的一般步驟 · 11 非權(quán)重蒙特卡羅積分 編輯蒙特卡羅方法概述蒙特卡羅方法又稱統(tǒng)計(jì)模擬法、隨機(jī)抽樣技術(shù)，是一種隨機(jī)模擬方法，以概率和統(tǒng)計(jì)理論方法為基礎(chǔ)的一種計(jì)算方法，是使用隨機(jī)數(shù)（或更常見的偽隨機(jī)數(shù)）來(lái)解決很多計(jì)算問題的方法。將所求解的問題同一定的概率模型相聯(lián)系，用電子計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)模擬或抽樣，以獲得問題的近似解。為象征性地表明這一方法的概率統(tǒng)計(jì)特征，故借用賭城蒙特卡羅命名。 編輯蒙特卡羅方法的提出蒙特卡羅方法于20世紀(jì)40年代美國(guó)在第二次世界大戰(zhàn)中研制原子彈的“曼哈頓計(jì)劃”計(jì)劃的成員和J.馮·諾伊曼首

22、先提出。數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼用馳名世界的賭城摩納哥的Monte Carlo來(lái)命名這種方法，為它蒙上了一層神秘色彩。在這之前，蒙特卡羅方法就已經(jīng)存在。1777年，法國(guó)Buffon提出用投針實(shí)驗(yàn)的方法求圓周率。這被認(rèn)為是蒙特卡羅方法的起源。 編輯蒙特卡羅方法的基本思想 Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人們所發(fā)現(xiàn)和利用。早在17世紀(jì)，人們就知道用事件發(fā)生的“頻率”來(lái)決定事件的“概率”。19世紀(jì)人們用投針試驗(yàn)的方法來(lái)決定圓周率。本世紀(jì)40年代電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，特別是近年來(lái)高速電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，使得用數(shù)學(xué)方法在計(jì)算機(jī)上大量、快速地模擬這樣的試驗(yàn)成為可能。 考慮平面上的一個(gè)邊長(zhǎng)為1的

23、正方形及其內(nèi)部的一個(gè)形狀不規(guī)則的“圖形”，如何求出這個(gè)“圖形”的面積呢？Monte Carlo方法是這樣一種“隨機(jī)化”的方法：向該正方形“隨機(jī)地”投擲N個(gè)點(diǎn)，有M個(gè)點(diǎn)落于“圖形”內(nèi)，則該“圖形”的面積近似為M/N。可用民意測(cè)驗(yàn)來(lái)作一個(gè)不嚴(yán)格的比喻。民意測(cè)驗(yàn)的人不是征詢每一個(gè)登記選民的意見，而是通過對(duì)選民進(jìn)行小規(guī)模的抽樣調(diào)查來(lái)確定可能的優(yōu)勝者。其基本思想是一樣的。 科技計(jì)算中的問題比這要復(fù)雜得多。比如金融衍生產(chǎn)品（期權(quán)、期貨、掉期等）的定價(jià)及交易風(fēng)險(xiǎn)估算，問題的維數(shù)（即變量的個(gè)數(shù)）可能高達(dá)數(shù)百甚至數(shù)千。對(duì)這類問題，難度隨維數(shù)的增加呈指數(shù)增長(zhǎng)，這就是所謂的“維數(shù)的災(zāi)難”(Curse of Dime

24、nsionality)，傳統(tǒng)的數(shù)值方法難以對(duì)付（即使使用速度最快的計(jì)算機(jī)）。Monte Carlo方法能很好地用來(lái)對(duì)付維數(shù)的災(zāi)難，因?yàn)樵摲椒ǖ挠?jì)算復(fù)雜性不再依賴于維數(shù)。以前那些本來(lái)是無(wú)法計(jì)算的問題現(xiàn)在也能夠計(jì)算量。為提高方法的效率，科學(xué)家們提出了許多所謂的“方差縮減”技巧。 另一類形式與Monte Carlo方法相似，但理論基礎(chǔ)不同的方法“擬蒙特卡羅方法”(Quasi-Monte Carlo方法)近年來(lái)也獲得迅速發(fā)展。我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚、王元提出的“華王”方法即是其中的一例。這種方法的基本思想是“用確定性的超均勻分布序列(數(shù)學(xué)上稱為L(zhǎng)ow Discrepancy Sequences)代替Mont

25、e Carlo方法中的隨機(jī)數(shù)序列。對(duì)某些問題該方法的實(shí)際速度一般可比Monte Carlo方法提出高數(shù)百倍，并可計(jì)算精確度。 編輯蒙特卡羅方法的基本原理由概率定義知，某事件的概率可以用大量試驗(yàn)中該事件發(fā)生的頻率來(lái)估算，當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)，可以認(rèn)為該事件的發(fā)生頻率即為其概率。因此，可以先對(duì)影響其可靠度的隨機(jī)變量進(jìn)行大量的隨機(jī)抽樣，然后把這些抽樣值一組一組地代入功能函數(shù)式，確定結(jié)構(gòu)是否失效，最后從中求得結(jié)構(gòu)的失效概率。蒙特卡羅法正是基于此思路進(jìn)行分析的。 設(shè)有統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)變量Xi(i=1，2，3，k)，其對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)分別為fx1，fx2，fxk，功能函數(shù)式為Z=g(x1，x2，xk)。 首

26、先根據(jù)各隨機(jī)變量的相應(yīng)分布，產(chǎn)生N組隨機(jī)數(shù)x1，x2，xk值，計(jì)算功能函數(shù)值 Zi=g(x1，x2，xk)(i=1，2，N)，若其中有L組隨機(jī)數(shù)對(duì)應(yīng)的功能函數(shù)值Zi0，則當(dāng)N時(shí)，根據(jù)伯努利大數(shù)定理及正態(tài)隨機(jī)變量的特性有：結(jié)構(gòu)失效概率，可靠指標(biāo)。 從蒙特卡羅方法的思路可看出，該方法回避了結(jié)構(gòu)可靠度分析中的數(shù)學(xué)困難，不管狀態(tài)函數(shù)是否非線性、隨機(jī)變量是否非正態(tài)，只要模擬的次數(shù)足夠多，就可得到一個(gè)比較精確的失效概率和可靠度指標(biāo)。特別在巖土體分析中，變異系數(shù)往往較大，與JC法計(jì)算的可靠指標(biāo)相比，結(jié)果更為精確，并且由于思路簡(jiǎn)單易于編制程序。 編輯蒙特卡羅方法在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用通常蒙特·卡羅方法通過構(gòu)

27、造符合一定規(guī)則的隨機(jī)數(shù)來(lái)解決數(shù)學(xué)上的各種問題。對(duì)于那些由于計(jì)算過于復(fù)雜而難以得到解析解或者根本沒有解析解的問題，蒙特·卡羅方法是一種有效的求出數(shù)值解的方法。一般蒙特·卡羅方法在數(shù)學(xué)中最常見的應(yīng)用就是蒙特·卡羅積分。 編輯蒙特卡羅方法的應(yīng)用領(lǐng)域蒙特卡羅方法在金融工程學(xué)，宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)，生物醫(yī)學(xué)，計(jì)算物理學(xué)(如粒子輸運(yùn)計(jì)算、量子熱力學(xué)計(jì)算、空氣動(dòng)力學(xué)計(jì)算)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。 編輯蒙特卡羅方法的工作過程在解決實(shí)際問題的時(shí)候應(yīng)用蒙特·卡羅方法主要有兩部分工作： 1. 用蒙特·卡羅方法模擬某一過程時(shí)，需要產(chǎn)生各種概率分布的隨機(jī)變量。 2. 用統(tǒng)計(jì)方法把模型的數(shù)

28、字特征估計(jì)出來(lái)，從而得到實(shí)際問題的數(shù)值解。 編輯蒙特卡羅方法分子模擬計(jì)算的步驟使用蒙特·卡羅方法進(jìn)行分子模擬計(jì)算是按照以下步驟進(jìn)行的： 1. 使用隨機(jī)數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)的分子構(gòu)型。 2. 對(duì)此分子構(gòu)型的其中粒子坐標(biāo)做無(wú)規(guī)則的改變，產(chǎn)生一個(gè)新的分子構(gòu)型。 3. 計(jì)算新的分子構(gòu)型的能量。 4. 比較新的分子構(gòu)型于改變前的分子構(gòu)型的能量變化，判斷是否接受該構(gòu)型。 · 若新的分子構(gòu)型能量低于原分子構(gòu)型的能量，則接受新的構(gòu)型，使用這個(gè)構(gòu)型重復(fù)再做下一次迭代。 · 若新的分子構(gòu)型能量高于原分子構(gòu)型的能量，則計(jì)算玻爾茲曼因子，并產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)。 o 若這個(gè)隨機(jī)數(shù)大于所計(jì)算出的玻爾茲曼因子，則放棄這個(gè)構(gòu)型，重新計(jì)算。 o 若這個(gè)隨機(jī)數(shù)小于所計(jì)算出的玻爾茲曼因子，則接受這個(gè)構(gòu)型，使用這個(gè)構(gòu)型重復(fù)再做下一次迭代。 5. 如此進(jìn)行迭代計(jì)算，直至最后搜索出低于所給能量條件的分子構(gòu)型結(jié)束。 編輯蒙特卡羅模型的發(fā)展運(yùn)用 從理論上來(lái)說(shuō)，蒙特卡羅方法需要大量的實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)次數(shù)越多，所得到的結(jié)果才越精確。以上Buffon的投針實(shí)驗(yàn)為例、歷史上的記錄如下表1。 從表中數(shù)據(jù)可以看到，一直到公元20世紀(jì)初期，盡管實(shí)驗(yàn)次數(shù)數(shù)以千計(jì)，利用蒙特卡羅方法所得到的圓周率值，還是達(dá)不到公元5世紀(jì)祖沖之的推算精度。這可能是傳統(tǒng)蒙特卡羅方法長(zhǎng)期