1、7-5 非線性控制系統的相平面分析法 相平面法在分析非線性系統時是很有用處的。但是，我們在介紹非線性系統的分析方法之前，先討論一下相平面法在分析線性二階系統中的應用是很有好處的。因為許多非線性元件特性一般都可分段用線性方程來表示，所以非線性控制系統也可以用分段線性系統來近似。一、線性控制系統的相平面分析1、階躍響應 設線性二階控制系統如圖7-38所示。若系統開始處于平衡狀態。試求系統在階躍函數作用下，在平面上的相軌跡。建立系統微分方程式，由圖示系統可得 因為，代入上式得 （7-31）對于時，因此上式可寫成 （7-32）方程（7-32）與（7-22）式相仿。因為假設系統開始處于平衡狀態，所以誤差

2、信號的初始條件是和。平面上的相軌跡起始于點，而收斂于原點(系統的奇點)。當系統特征方程的根是共軛復數根，并且位于左半平面時，其相軌跡如圖7-39(a)所示。根據平面上的相軌跡就可方便的求得平面上系統輸出的相軌跡，如圖7-39(b)所示。由圖7-39可見，欠阻尼情況下系統的最大超調量及系統在穩態時的誤差為零。因為平面相軌跡最終到原點，即奇點；所以在平面上相軌跡最終到達的穩態值，則奇點坐標為。2、斜坡響應 對于斜坡輸入；當時，的導數及。因此，方程（7-31）可以寫成 或 令，代入上式，則有 （7-33）在平面上，方程（7-33）給出了相平面圖與在平面上方程（7-32）給出的相平面圖是相同的。應當指

3、出，特征方程式的根確定了奇點的性質，在平面上的奇點的位置是坐標原點，而在平面上奇點坐標為點。又因為我們假設系統初始狀態為平衡狀態。所以誤差信號的初始值，。如果式（7-33）的特征根是處于左半平面的共軛復數根時，則在平面上的相軌跡為如圖7-40所示。由上面分析可以看出，圖7-38所示系統，對于斜坡輸入時的相軌跡，除整個相軌跡圖形向右平移之外，其他與階躍輸入時完全相同。另外，當系統在斜坡輸入時，相軌跡最終不是到原點而是卷入奇點。這表示系統在斜坡輸入時呈現的穩態誤差為。二、非線性控制系統的相平面分析當非線性元件靜特性可以用分段直線來表示時，這樣的非線性系統就可以用幾個分段線性系統來描述。這時，整個相

4、平面可以劃分成若干個區域，其中每一個區域相應于一個單獨的線性工作狀態。相應地每一個區域都有一個奇點，不過這個奇點有時可能不一定在本區域之內，而是在其它區域。如果奇點位于本區域之內，則稱為實奇點；如果奇點位于本區域之外，那么該區內的相軌跡就永遠不可能到達該點，因此，稱這樣的奇點為虛奇點。具有分段線性特性的二階系統，一般只有一個實奇點，因此與具有實奇點的區域相鄰接的所有區域都將具有虛奇點。每一個奇點的位置和性質，都取決于相應區域的運動方程。每一個區域的相平面圖均表示一個相應線性系統的相平面圖。有了這些相平面圖以后，只要在區域的邊界線上，把相應的相軌跡連接起來，就可構成整個系統的完整的相軌跡。下面舉

5、例說明具體做法。1、具有非線性增益的控制系統 設如圖7-41(a)所示的非線性控制系統，圖中表示的方塊是一個非線性放大器，其靜特性如圖7-41(b)所示，當誤差信號的數值大于或小于時，放大器的增益分別等于1或小于1，即 （7-34）可見，系統在大誤差信號時，具有大的增益；而在小誤差信號時，增益也小。因為圖7-40(a)所示系統是分段線性的。所以可以把它看成是兩個線性系統的組合，其相應的相軌跡也由兩個線性系統的相軌跡組合而成。具體做法如下：假設系統初始狀態為靜止平衡狀態。根據系統結構圖，寫出變量與之間的微分方程為由于，代入上式得 （7-35）設系統在單位階躍輸入作用下，在平面上作相應的相軌跡。對

6、于單位階躍輸入，當時，所以式（7-35）成為 （7-36）上式即為非線性系統在單位階躍作用下的誤差微分方程。將式（7-34）代入式（7-36）得下列兩個線性微分方程： （7-36a） (7-36b)在下面的分析中，假設方程（7-36a）為欠阻尼的運動方程，其特征根為具有負實部的共軛復數根，對應的相軌跡如圖7-42(a)所示，奇點（0，0）為穩定焦點。假設方程(7-36b）為過阻尼的運動方程，相應的特征根為兩個負實根，相軌跡如圖7-42(b)所示，奇點(0，0)為穩定節點。根據方程（7-36a）和(7-36b）所確定的相應區域，將圖7-42(a)和圖7-42(b)組合在一起就可得到圖7-41所示

7、非線性系統的相軌跡圖，如圖7-43所示。圖中系統參數為：，和。 由圖7-43可知，相平面被分割成三個區域：在直線和限定的區域內對應著方程(7-36b）,而在這個區域以外相軌跡由方程(7-36a)確定。相軌跡起始于點，該點由初始條件，確定。從點出發的相軌跡，首先沿7-42(a)所示相軌跡運動，并“企圖”收斂到穩定焦點（虛奇點，坐標原點）。然而，當相點（描述點）運動到點，即到達本區域的邊界線線上時，若繼續運動將越出邊界而進入新的區域。因此，相軌跡將在點發生轉換，B點是上一區域的終點，同時也是下一區域的起點。從B點開始直至再發生下一次轉換為止，相點將沿圖7-42(b)所示相跡運動而企圖收斂到穩定節點

8、。但是在點，系統又一次發生轉換，相軌跡趨向于收斂虛奇點（穩定焦點）。同樣，當相點到達點時又將發生轉換如此反復繼續下去，直至最后相軌跡進入區域，不再越出并最終收斂到穩定節點，即實奇點(0,0)為止。可見，非線性系統的整個相軌跡為，如圖7-43的實線所示。顯然，系統在階躍輸入下穩態誤差為零。圖7-43中用虛線描繪的相軌跡為圖7-44所示欠阻尼二階系統在單位階躍作用下的相軌跡圖。比較這兩條相軌跡，可見前者所對應的階躍響應特性比后者要好。首先收斂速度快，即系統速度性提高了，其次，超調量小。對于較小的階躍輸入，響應甚至是無超調的。對于中等大小的階躍輸入，系統的階躍響應具有一次超調。對于大的階躍輸入，雖然

9、在系統的響應曲線中可能出現超調和反向超調，但其超調量肯定比圖7-44所示的線性系統要小。圖7-41所示系統在典型階躍輸入時的誤差響應曲線如圖7-45。2、繼電系統在圖7-41所示非線性隨動系統中，將放大器換成繼電器，并假定繼電器具有理想的繼電特性，系統結構圖如圖7-46所示。理想繼電器特性的數學表達式為 （7-37） 假設系統初始狀態為靜止平衡狀態。繼電系統運動方程為 對于階躍輸入，當時，有，所以上式為 （7-38）將式(7-37)代入上式得方程組 顯然，兩個方程均為線性微分方程。因為繼電特性是由兩條直線段組成，所以兩條直線段內繼電系統的特性仍為線性的，只是在繼電器切換時才表現出非線性特性。將

10、代入（7-38）式，則有 或 對上式兩邊進行積分得相軌跡方程 由假設條件：，代入上式可得 （7-39）代入值則有 根據上兩式可作出繼電系統的相軌跡如圖7-47所示。由圖可見，相軌跡起始于點，在的區域內按方程（7-39a）變化，到達軸點時，繼電器切換，相軌跡方程按方程(7-39b)變化。這樣依次進行，最后趨于坐標原點（0，0），得系統完整的相軌跡如圖7-47。另外由圖可見，相軌跡轉換均在縱軸上，這種直線稱為開關線，它表示繼電器工作狀態的轉換。3、速度反饋對繼電系統階躍響應的影響 設系統結構圖如圖7-48所示，圖中。這時理想繼電特性的數學表達式為 （7-40）系統運動方程為 對于階躍輸入，當時，上

11、式為 （7-41）將式（7-40）代入式（7-41）得方程組 上式方程組與方程比較，可見它們完全相同，不同之處僅是方程所對應的區域不同。根據方程可知，具有速度反饋的繼電系統的相跡方程為 由上兩式邊界條件可得開關線方程為 （7-43）根據開關線方程及相軌跡方程可作出系統的相軌跡，如圖7-49所示。將此相軌跡圖與圖7-47比較，可看出兩者主要是開關線不同。未接入速度反饋時，開關線為的虛軸；在接入速度反饋后，開關線逆時針轉了一個角度。由于開關線逆時針方向轉動的結果，相軌跡將提前進行切換，這樣就使得系統階躍響應的超調量減小，調節時間縮短，系統的動態性能得到改善。由于開關線轉角隨著速度反饋強度的增大而增大，因此，當時，系統性能將隨著速度反饋強度的增大而得到改善。綜上所述，相平面法一般可解決下列問題：（1）相平面上可以清晰地表示出系統在各種初始條件下的所有可能的運動；（2）相平面上可用奇點來分析系統的穩定性；（3）相平面上可用極限環來分析系統的自振穩定性；（4）由相軌跡可以求出系統的瞬