1、曲阜師范大學碩士學位論文非線性奇異微分方程及方程組解的存在性姓名：張紅俠申請學位級別：碩士專業：應用數學指導教師：劉立山20090401）（曲阜師范大學碩士學位論文非線性奇異微分方程及方程組解的存在性摘要非線性泛函分析是分析數學中既有深刻理論又有廣泛應用的研究學科，它以數學和自然科學中出現的非線性問題為背景，建立處理非線性問題的若干一般性理論和方法因其能很好的解釋自然界中的各種各樣的自然現象，近年來受到了國內外數學及自然科學界的高度重視，逐漸形成了一門重要的學科非線性微分方程邊值問題源于應用數學，物理學，控制論等各種應用學科中，是目前非線性泛函分析中研究最為活躍的領域之一，而具有奇異項的非線性

2、微分方程邊值問題又是近年來討論的熱點，是目前微分方程研究中的一個十分重要的領域本文利用錐理論，不動點理論，拓撲度理論以及不動點指數理論并結合上下解方法，研究了幾類非線性奇異微分方程，方程組邊值問題的解的情況本文共分為三章：在第一章中，通過建立一個新的比較定理并且運用上下解方法和不動點定理，研究一類具有積分邊界條件的四階奇異特征值問題正解的存在性（）（），（，），（。）（）如）吣）出）眠，（）駝（），（）（）駝（），（），（）其中入是一個參數，：（，）（，。）一連續且（，玨）允許在和或和處奇異；，（【，】，）（，），。）本章研究的方程類型本質的推廣了文【】所討論的方程類型在第二章中，本章利用不動

3、點指數原理討論奇異二階脈沖微分方程三點邊值問題的多個正解的存在性。（）（）（）（）（僅（），卜姐）（）（），（），盧（）（），（）曲阜師范大學碩士學位論文其中【，仃令（，），。），【，。），（，一，一，厶（。，。）；（）（吉）一（），（）（毒）一（）；，（，）（，】），（），在第三章中，我們利用不動點指數并結合平移變換的方法，研究一類具有積分邊界條件的二階奇異半正脈沖微分系統的正解的存在性一（），（，（）（），（，），一剪（）（，（），（，），（）一，（）（），（），（）可（）可（）（）（），一。（），七，其中，正一是正常數滿足所，：（，）【，）一（，。）是連續的且允許在和或處奇異；：（，）一

4、（一。，。）是一可積的；【，】是非負的；（【，），【，。），饑：“他者）一可、。），其中，（），（毒）分別是籮，（）在點的左右極限關鍵詞：四階奇異特征值問題；積分邊界條件；正解；脈沖微分方程；不動點指數；二階奇異微分系統；半正；錐曲阜師范大學碩士學位論文，吐，曲（曲毛廠，加曲“曲文（）佃）叫“。隴啦崆弋矽文石凈，：（，）（，。）（）；，危（【，】，）（），【，。）【】曲肇師范大學碩士學位論文，礎七、，、塒堋呲叫荊吖一一（）【，】。，（，），一，。），【，），以（，？一，厶（。，）；（）（毒）一（）（）（毒）一（）；，（）（以（，】）（），一（）（，（）（，（），一秒（）（，（），（，），口（）

5、一（），（）（），廣（）（）（）（）（），一。（），一口一，：（，）【，。）【，）：（，）一（一。）；【，】，（），【。）。（毒）一（，）。（，）（毒）訛），：；曲阜師范大學碩士學位論文；曲阜師范大學碩士學位論文原創性說明本人鄭重聲明：此處所提交的碩士論文（非線性奇異微分方程及方程組解的存在性，是本人在導師指導下，在曲阜師范大學攻讀碩士學位期間獨立進行研究工作所取得的成果論文中除注明部分外不包含他人已經發表或撰寫的研究成果對本文的研究工作做出重要貢獻的個人和集體，均已在文中已明確的方式注明本聲明的法律結果將完全由本人承擔作者簽名：璐日期撕？、樂曲阜師范大學碩士學位論文使用授權書非線性奇異微分方

6、程及方程組解的存在性系本人在曲阜師范大學攻讀碩士學位期間，在導師指導下完成的碩士學位論文本論文的研究成果歸曲阜師范大學所有，本論文的研究內容不得以其他單位的名義發表本人完全了解曲阜師范大學關于保存、使用學位論文的規定，同意學校保留并向有關部門送交論文的復印件和電子版本，允許論文被查閱和借閱本人授權曲阜師范大學，可以采用影印或其他復制手段保存論文，可以公開發表論文的全部或部分內容作者簽名：導師簽名：日期，、“勿幢恢鄉毿刁日期必弘名名，第一章具有積分邊界條件的四階奇異特征值問題的正解引言本章將討論下列有積分邊界條件的四階奇異特征值問題的正解（）（，），（）（。）（）（），（）九（）（），卜（。）（

7、）邶）川）（）郴）啦其中入是一個參數，：（，）（，。）一連續且（，）允許在和或和處奇異；，（，）（，），）奇異多點邊值問題是微分方程理論中重要的分支，它具有深刻的物理背景和廣泛的理論應用，近年來許多作者致力于奇異多點邊值問題的研究，得到了關于奇異多點邊值問題正解存在性的大量結果，參見文【】及其參考文獻目前這類文章的研究大多集中于奇異二階邊值問題的正解的存在性和多解性，但對四階奇異情形，多點邊值問題解的研究還比較少，特別是包含多點邊值問題的積分邊值問題研究的更少最近，文（】利用不動點定理在抽象空間中得到了下列帶有積分邊界條件的二階微分方程正解的存在性（）一（，（），（）（）（）（），（）（）（）

8、（）（），這里（【，】只尸），是空間的正規錐，【，】是非負的作者通過構造一個特殊的錐并且運用嚴格集壓縮算子的不動點指數得到了（）正解的存在性文【】作者利用不動點定理和上下解方法研究了下列四階奇異三點特征值問題正解的存在性（），（，），（）（）觚（），（），（）（），（），第一章具有積分邊界條件的四階奇異特征值問題的正解其中是一個參數，（，）都是常數，（，）（），），且（，）在和或，點奇異文】研究了四階奇異邊值問題的特征值問題正解的存在性受以上文章的啟發，本章研究具有一般積分邊界條件的奇異（），非線性項（，）允許在和或和處奇異首先給出一個新的比較定理，然后構造問題（）的上下解，最后運用不動點定理

9、獲得了當，（，）關于是減的情況下正解的存在性，給出了處理（，）允許在處奇異的方法，可以處理（，）在處奇異的方法并不多見預備知識定義稱函數（，）（，），），是（）的一個正解，若（），（，）并且；是（）的一個解對于某，若（）有一個正解，則稱為特征值，稱為相應的特征函數定義稱函數妒（）（，】，）（，），）為（）的一個下解，若砂（）滿足妒（）入，（，艫（），則）“蝴矽洲）如）疵，【妒（）（幻妒（），妒（）九）妒）六注（）的上解砂（）可以類似的定義若存在（）的一個下解妒（）和一個上解驢（）滿足妒（）妒（），則（妒（），妒（）稱為（）的一個上下解對本章取和最大值范數，在中定義一個集合如下：存在正數滿足（）

10、（一），顯然（一），故是非空集合本章采用下面的假設：（），（【：】，），如，（一）（一仍）一其中產（一）（），產（），曲阜師范大學碩士學位論文（叫州）旭艮（州，（）（）（，。），），（，）關于札是遞減的（風）對于任何，（，弘）且（一）（，（一）（吼）對于所有的（，（），關于（，）是一致的設（）（，）是下面的邊值問題的格林函數”（），（。）吼（）（），（）：（）（）：，其中，：、，十一一一一攔赴塑卜，（），三蓁：差莖：引理假設（）成立，則對于任意【，】邊值問題二圣。，：。，三：；：（。）（）（），（）。，。，（）（）：（）（）一（）（）（箜二童墨查墼坌望墨釜壁絲粵墮童昱塹塹笪塑塹絲垂堡從到冉秋分

11、一次口以得到；（）（。）：（。）一（一）（），在（）中令得到（）玩（）酬如冷如）“（）一（叫小）這樣就可以求出（）礤。）：（）硝）硝）（一）小）帆將（）代入（）得（）（）（）（）一。（一）（），。（）（）一（）（）（一）穢（）（一）廠（）（），）（）（一），（），從而故。（）；（）（）（）九（）（）（）（，丁）爹（丁）丁（刊（）（）州）九；（）（，丁）可（丁）丁：（）（）碳彬（）叫）（），（）（）脅拈警釉，。（，）（）（）客小以石（，丁）（丁），凡脅地拈鼉知，睜丁丁渺百：晰丁炒（）曲阜師范大學碩士學位論文將（）和（）代入到（），可得、，）小）（叫郇）州）（）引）王！二三堡壘乏掣咖生等掣坐（）丁

12、丁沖（）（）可（丁）丁礎）小）（）反過來，假設甄（）（，）（），則州歸（生等巖墊（）堅等型協丁丁脅（），丁，可丁，丁對上式兩邊求導得：（，）一掣（）（一）（）（一）（）一（一）秒（）仇（），丁，可丁，丁（叫小）掣警（），一，一（）（咖炒（）弘丁丁渺，對上式再一次求導可得，（）（）一（一）（）一（）容易驗證而（）詹吼（）兢（），魏（）詹也（）甄（）如引理證明完畢性質假設（日）成立，則對任意，】有（，），（，）第一章具有積分邊界條件的四階奇異特征值問題的正解性質設（）（一），【，則對于任意，【，】有（州）（，）（一）（）五）（）（）三引理設（）（一），【，】，則對于任意的，【，】有胛（）（）（，）

13、（），其中（）（）一阮一阮小丁蒯警時溉丁）舯丁警丁）饑打（）證明由性質有礎，）吼）生豎巖墊和丁川（一）？（一；）一警（）（）小（一）（一朧）衛胛（）（）另一方面，由于（，）（一），可以得到凰（，）（，）（丁丁蜊（半警：丁），（）（）（一）口（一）（丁）；（丁）丁故由（）和（）知引理成立曲阜師范大學碩士學位論文引理（比較定理）設（）成立，若（【，）（），）滿足（）小），（）小）并且對于任意的（，），（），則（），【，】證明設一，俅）（），（，），（）一詹（）（），（）一詹（）（）則有，（），（）一由引理，可以得到（）（咖（）（叫（）如）（）（）（，）（），等（小咖沖）（鉑）（小（）（下丁渺），）

14、麥（）（，丁）秒丁，下，）（）嘭咖渺）（），【，】證明完畢引理設（）成立，若（，）（，），）滿足（。）（）（），（）！（）（），（）（），（），。，（）（）立？，（），并且對于任意的（，），（），則（），【，】證明設，（）他），【，則可（）（【，】）（，）？）滿足以蛇吣（。）（）小）旭卵）（）小）瓠第一章具有積分邊界條件的四階奇異特征值問題的正解由引理我們有（），【，即。，（。）（）（），（）因此再由引理可知（），【，證畢主要結果（）（）定理假設（）一（月）成立，則當入足夠大時（）至少有一個正解（），并且存在常數，使得對任意【，】有（）（）（一），（，（一）證明定義算子乃：如下：（乃州歸（，）

15、以和），（，小）捌，下面證明瓦在尸上是定義的并且死（尸）尸（）事實上由的定義，對于任意的，存在一個正數。滿足（）。（一），從而由（），（）和（），知（死口）（）入，（，）。（，），（，。（）武。（一）廠（一），（）武學（）（）燦，），【，】設拒】（），則由（風）和，讓）的連續性，我們有詹（一）（，），從而由（）知（一），（，。（）廠一），（，（）一，另一方面，由（）可得（曲（）享入礦（一）（一）武（一）（，（）。（一），【】曲阜師范大學碩士學位論文其中匕（一）武詹（一）（，（）故由（）和（）知是有定義的并且乃（，），對任意尸，通過簡單的計算有（）（，（死，）（），（）上（。）（乃）（。）。，（

16、瓦。）（）。（）（乃。）（）比，（）（）（）（），（乃）（）（）（）（），這說明（）（）（【，）（，），）（）下面去尋找（）的上下解由（）和（日）得到乃：是遞減的，再由引理可知，如一”一幽（）一廣以鏟磁、廠厶一彬凼此存在滿足，入日（，）（，），（，（一）武（一），另一方面，令（）詹（，）詹（，）（，（一），則由（）知，故由（），（）和（）可知，存在入滿足日（，）（，），（，（）誕（一班】從而有礎）圭舶（坂）仍（和印刊）刪刈），【，】，她）圭）也（和）（）（），【，（刪顯然妒（）妒（）尸，且從（）和（）有（）妒（）（孔）（）（）驢（）（）（）【，即（。）妒（）（乃）（）（死）（）矽（），（）第一

17、章具有積分邊界條件的四階奇異特征值問題的正解故由（），（）和（）可得矽（）一（，矽（）（乃曲）（）一，（，（乃）（）（乃）（）一，（，妒（，）久，（）一入（）（）妒（）一入（，（）（死）（）一入（，（乃）（）（冗）（）一（，（）（，（）一入（，（）（）因為妒（）（孔矽），矽（）（瓦）（），【，】，所以（。）說明砂（）和西（）滿足（）的邊界條件，故從（）一（）可知（妒（）矽（）（乃）（），（乃）（）是（。）的上下解對，并且砂（），妒（）。定義函數：（，）和算子：如下：（），（妒（），砂（），（，）（，讓），砂（）讓冬（），（，（），（），（）（臥州牡入（斌）也（和）耶，邢）幽武，【】由假設條件可

18、以知道：（，）是連續的，考慮下面的四階積分邊值問題院愛簍姒）啦（），皿叭，曲阜師范大學碩士學位論文對于所有，由（）（）并注意到妒（）（一）可得（月）（）（一）武（一）（，（）幽竿（）刪）竿（），（）所以（）是中的有界集，容易證明以：是連續的再證：是緊算子因為（，）在，】【】連續，所以一致連續，因此對于任意的，存在，對于任意的，【，】，當時，有心。，）一日。，）卜（一），（一）一因此對于所有的，【，】，當時，我們有（）、，一）（）一（）一日（、一廠廠必必，一，”如、，一“一一曲這說明（）在【，】上是等度連續的，因此由定理可知”：是相對緊的故：是全連續算子，從而由不動點定理可推出至少有一個不動點釧

19、滿足釧州現在證明妒（）叫（）（），【，】設（）矽（）一（），（，】，由（），（）和伽是的一個不動點得到，由的定義，（）（）（），（）（）（），山，（）（）（）（），（）（）（）、（），（）和條件（吼）可知（，（）（，（）（，妒（），第一章具有積分邊界條件的四階奇異特征值問題的正解（，）（）（，（一）（，砂（），【，所以，（，矽（）（，（）（，（一）（，（），比從而由（）和（）知川）艄）一（乃）（一鈕（，（一）一（，（），）因此由（），（）及引理可知），即彬（）（），【，】同樣可證（）妒（）【，】，所以妒（）（）（），【，從而由的定義知（，（）（，伽（），【，故伽”（）是（）的一個正解因為妒（）

20、叭（）妒（），【，】，所以由（）及引理和（月）知（一）妒（）（）咖（）（）（）（一）武（一），（，（一）（），（一），（，（一）。【，其中推論假設（）一（）成立，且（）三，（）三，】，則當足夠大時（）至少有一個正解（），并且存在常數使得對任意【，】有。（一）（）（一）證明由定理可知對充分大的”，存在一個正解叭（），滿足下式（見（）式）（一）矽（）（）（）（，），（，（）（瓦）（）（，毒）因為（）三（）三，【，則由（，）和引理可知（）（，）（，）（一），【，】，（）曲阜師范大學碩士學位論文故由（）和引理可推出（一）妒（）（）（）（乃）（）劃眥）球（叫武（一），（一），（，（一），（）（一），（，

21、（一）（一），其中”詹（一），（，（一）證畢第二章二階奇異脈；中微分方程三點邊值問題的正解本章利用不動點指數原理考慮如下奇異脈沖微分方程（）（），（）！，（）（），姐伍），（七）（），（）（），（）（），其中，】，！令。，（，），。）【），以（，一，厶（，）；（）（）一（），（）（）一（）；其中（吉），（）分別表示（）在點的右極限與左極限，他去），俅）分別表示（）在點的右極限與左極限；，（，），（，】），（）脈沖邊值問題一直是脈沖微分方程理論的一個重要分支，是目前比較活躍的研究領域，吸引了眾多的學者，取得了許多較好的結果，得到了關于這類邊值問題正解存在性的大量結果，參見文，文利用錐拉伸壓縮不動

22、點定理得到了一類四階奇異邊值問題的的正解的存在性（）（）（，札（），秒（），（），口（）（）（），（），（）穢（），（）（）（，“（），鈔（）讓（）（）（）（，亂（）（），讓（），穢（），（）（）（）（），（）一札肌（），（）（），秒（）一仍，肌（），（）（），這里，玩（，），【，），（），（）允許在，處奇異；【，】【，。）【。）（一。，】（一。，】，。）是連續的；五：，成曲阜師范大學碩士學位論文，文屈，最近，文】利用不動點指數原理討論二階脈沖微分方程三點邊值問題的多個正解的存在性：（）（），（），（）（），【（）（）（），這里，（，），（？鳧受以上文章的啟發，本章將脈沖與奇異結合起來討論了奇

23、異的二階脈沖微分方程三點邊值問題（）的正解的存在性從而得到一些新的結論預備知識本章取空間】，】：（）在處連續，且雄）和他）存在，在范數，下，】成為一個空間稱函數是（）的一個正解，若滿足【，】，（），（，）并且是（）的一個解本章采用下列假設：（），（，），（工（，】），（），。，；存在，。），使得（），。，（）（），（）（，），）在，奇異，且，在任何子區間上不恒為，（一）【（）（）。，（，（一。，】），且對，仇有界（風）叩（，），一（第二章二階奇異脈沖微分方程三點邊值問題的正解考慮下面問題：（）（），（），（）（）七，（）（，）（）弓理假設：（，），（，），貝當：，如，歹，時，問題（）的有唯一的

24、解“（），并且（）可以表示為下面的形式緋）南，”）們小一川一；“邶】小）小燦）妻眥“）刪一（）（）證明首先假設（）是（）的一個解，對其一式積分兩次可以得到（）（。）一。（一）秒（）七烈一島（）在（）中分別令，印得：（）以）（）如）洶一“（叩）（。）一葉（）秒（）叩一）吼由于（）（），則有以驢研婚似州“，小燦仁，一善帥“汁晰小一）曲阜師范大學碩士學位論文將（）式代入（）式中得邵）南噸）圳一（燦一挈（）州小叫小沖）參形噸，圳一（彬引埋阪議【）成立，一，（，），則方程（）的唯一解（）在【】上滿足（）證明由郵）南噻）硎一町（沖一姜啪噸）硎（）小）（一刖（）小）（一，）卜）只】兩叫喜（叩。郭似噸（）矽（

25、）口（一）矽（）。由于（）是凹的且（），則讓（），證畢引理假設（）成立，只，（，），則方程的唯一解（）滿足條件：（），其中伽，幫，刀）定義，設是實的空間，如果是中某非空凸閉集，并且滿足下面條件：（）兮兒，（）尸尸，其中咿是的零元素中的每一個錐尸決定一個偏序即：對于秒只，則口一尸定第二章二階奇異脈沖微分方程三點邊值問題的正解義兩個凸集耳，耳，其中：，耳：讓）不動點指數的性質：引理【】設是空間的一個閉凸集，是一個有界開集滿足。毋設：是一個緊映射，假設對所有的（）（存在性）若（，），則丁在上有一個不動點（）（正規性）若釷，則（西，），對于，石（）（）（同倫不變性）設：是一個緊映射，滿足，（，）貝（，），）（，），）（）若是的互不相交的開子集，并且（）丁，則（丁，）（丁，）（丁，），其中（丁，）（，），引理【】設尸是空間中的一個錐，對于定義：）假設丁：珥一是一個緊映射滿足，（）若對于。戶，貝（丁，尸）（）若對于，），。川：，：，貝（，）主要結果足星阪芟【，）一