1、 全等三角形一、全等三角形1、定義：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。特征：形狀相同、大小相等、完全重合。一個三角形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)可以得到它的全等形。平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。2、全等三角形的表示：“全等”用“”表示，“”表示兩圖形的形狀相同，“=”表示大小相等，讀作“全等于”。注意：記兩三角形全等時，通常把表示對應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對應(yīng)位置上。全等三角形的對應(yīng)元素：對應(yīng)頂點(diǎn)，對應(yīng)邊，對應(yīng)角3、全等三角形的性質(zhì)（1）全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等。（2）全等三角形的周長相等、面積相等。（3）全等三角形的對應(yīng)邊上的對應(yīng)中線、角平分線、高線分別相等。4、全等三角形的判定（1）邊邊

2、邊：三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“SSS”）（2）邊角邊：兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等兩個三角形全等（可簡寫成“SAS”）（3）角邊角：兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“ASA”）（4）角角邊：兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“AAS”）（5）斜邊、直角邊：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“HL”）5、證明兩個三角形全等的基本思路：二、角的平分線1、（性質(zhì)）角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。2、（判定）角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。三、學(xué)習(xí)全等三角形應(yīng)注意的問題（1）要正確區(qū)分“對應(yīng)邊”與“對邊”，“對應(yīng)

3、角”與“對角”的不同含義；（2）表示兩個三角形全等時，表示對應(yīng)頂點(diǎn)的字母要寫在對應(yīng)的位置上；（3）“有三個角對應(yīng)相等”或“有兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等”的兩個三角形不一定全等；（4）時刻注意圖形中的隱含條件，如“公共角”、“公共邊”、“對頂角”。（一） 三角形全等的判定一（SSS）1如圖，ABAD，CBCDABC與ADC全等嗎？為什么？如圖，C是AB的中點(diǎn)，ADCE，CDBE求證ACDCBE如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，AB=DE，AC=DF，BE=CF求證A=DADCB已知，如圖，AB=AD，DC=CB求證：B=D.如圖，ADBC，ABDC，DEBF. 求證：BEDF.（二） 三角形

4、全等的判定二（SAS）1如圖，AC和BD相交于點(diǎn)O，OA=OC，OB=OD求證DCAB2如圖，ABC，AD，分別是ABC，的對應(yīng)邊上的中線，AD與有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論ACEDB3如圖，已知ACAB，DBAB，ACBE，AEBD，試猜想線段CE與DE的大小與位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論4已知：如圖，ADBC，AD=CB，求證：ADCCBAABCD5已知：如圖ADBC，AD=CB，AE=CF。求證：AFDCEBAEBCFD2ACBHED16已知，如圖，AB=AC，AD=AE，1=2。求證：ABDACE7已知：如圖，點(diǎn)B、E、C、F在同一直線上，ABDE，且AB=DE，BE=CF. 求證：ACDF8

5、已知：如圖，AD是BC上的中線，且DF=DE求證:BECF9如圖，在ABC中，分別延長中線BE、CD至F、H，使EFBE，DHCD，連結(jié)AF、AH求證：（1）AFAH；（2）點(diǎn)A、F、H三點(diǎn)在同一直線上；（3）HFBC.10如圖，在ABC中，ACBC，ACBC，直線EF交AC于F，交AB于E，交BC的延長線于D，連結(jié)AD、BF，CFCD. 求證：BFAD，BFAD.11證明：如果兩個三角形有兩條邊和其中一邊上的中線對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等（提示：首先分清已知和求證，然后畫出圖形，再結(jié)合圖形用數(shù)學(xué)符號表示已知和求證）12證明：如果兩個三角形有兩條邊和第三邊上的中線對應(yīng)相等，那么這兩個三角形

6、全等13.已知：如圖，正方形ABCD，BE=CF，求證：(1)AE=BF；（2）AEBF.ABCDEF14已知：E是正方形ABCD的邊長AD上一點(diǎn)，BF平分EBC，交CD于F，求證BE=AE+CF.（提示：旋轉(zhuǎn)構(gòu)造等腰）15.如圖，ABD和ACE是ABC外兩個等腰直角三角形，BAD=CAE=900.（1）判斷CD與BE有怎樣的數(shù)量關(guān)系；（2）探索DC與BE的夾角的大??；（3）取BC的中點(diǎn)M，連MA，探討MA與DE的位置關(guān)系.（三）（四） 三角形全等的判定三、四（ASA、AAS）1如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在一條直線上，F(xiàn)B=CE，ABED，ACFD求證AB=DE，AC=DF2如圖，ACB=90&#

7、176;，AC=BC，BECE，ADCE于D，AD=2.5cm，DE=1.7cm求BE的長3已知，D是ABC的邊AB上的一點(diǎn)，DE交AC于點(diǎn)E，DE=FE，F(xiàn)CAB.ADBCFE求證：AE=CE.4已知：如圖，四邊形ABCD中，ABCD，ADBC求證：ABDCDB.5如圖，在ABC中，ACBC，CEAB于E，AF平分CAB交CE于點(diǎn)F，過F作FDBC交AB于點(diǎn)D. 求證：ACAD.6如圖，ADBC，ABDC，MNPQ. 求證：DEBE.7如圖, 在ABC中，A90°，BD平分B，DEBC于E，且BEEC.（1）求ABC與C的度數(shù)；（2）求證：BC2AB.8如圖，四邊形ABCD中，AD

8、BC，E是CD上一點(diǎn)，且AE、BE分別平分BAD、ABC.（1）求證：AEBE；BCEAD（2）求證：E是CD的中點(diǎn)；（3）求證：AD+BC=AB.A B C E D F9已知，如圖RtABC，BAC=90°，ADBC，D為垂足，ABD的平分線交AD于E點(diǎn)，EFAC，求證：AE=EF.10ABC是等腰直角三角形 ，BAC=90°，AB=AC.（1）若D為BC的中點(diǎn)，過D作DMDN分別交AB、AC于M、N，求證：DMDN.（2）若DMDN分別和BA、AC延長線交于M、N. 問DM和DN有何數(shù)量關(guān)系？11已知：C點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，4），A為y軸負(fù)半軸上一動點(diǎn)，連CA，CBCA交x

9、軸于B.（1）求證：CACB；（2）問OBOA是否為定值，是定值并求其定值.12已知A（4，0），B（0，4），C（0，4），過O作OMON分別交AB、AC于M、N兩點(diǎn)。（1）求證：OMON；（2）連MN，MN交x軸于Q，若M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，求M與N的坐標(biāo)。（五） 三角形全等的判定五（HL）1如圖，ABC中，ABAC，AD是高求證：(1)BD=CD；(2)BADCAD2如圖，ACCB，DBCB，ABDC求證：ABDACDADECBF3已知：如圖，ABCD，DEAC，BFAC，E，F(xiàn)是垂足，求證：（1）；（2）4如圖，AD平分BAC，DEAB于E，DFAC于F，且DB=DC，求證：EB=FC5如

10、圖，在ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DEAB，DFAC，垂足分別是E，F(xiàn)，BE=CF求證：AD是ABC的角平分線（六） 角的平分線的性質(zhì)1如圖，CDAB，BEAC，垂足分別為D，E，BE，CD相交于點(diǎn)O，OB=OC求證1=22如圖，OC是AOB的平分線，P是OC上的一點(diǎn)，PDOA交OA于D，PEOB交OB于EF是OC上的另一點(diǎn)，連接DF，EF求證DF=EF3如圖，在ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DEAB，DFAC，垂足分別是E，F(xiàn)，BE=CF求證：AD是ABC的角平分線4如圖，在ABC中，A90°，BD平分B，DEBC于E，且BEEC.（1）求ABC與C的度數(shù)；（2）求證：BC2AB.（七）

11、倍長中線法與截長補(bǔ)短法1在ABC中，AB=5，AC=3，AD為BC邊的中線，則AD的長的取值范圍是（ ）.A.1<<4 B.3<<5 C.2<<3 D.0<<52AD是ABC中BC邊上的中線，AB=4，AC=6，則AD的取值范圍是 .3如圖，ABD和ACE是ABC外兩個等腰直角三角形，BAD=CAE=900.（1）判斷CD與BE有怎樣的數(shù)量關(guān)系；（2）探索DC與BE的夾角的大??；（3）取BC的中點(diǎn)M，連MA，探討MA與DE的位置關(guān)系.4如圖，四邊形ABCD中，ADBC，E是CD上一點(diǎn)，且AE、BE分別平分BAD、ABC.BCEAD（1）求證：AE

12、BE；（2）求證：E是CD的中點(diǎn)；（3）求證：AD+BC=AB.5如圖ABC中，A=500，AB>AC，D、E分別在AB、AC上，且BD=CE,BCD=CBE，BE、CD相交于O點(diǎn)，求BOC的度數(shù).6ABC中，D是BC中點(diǎn)，DEDF，E在AB邊上，F(xiàn)在AC邊上，判斷并證明BE+CF與EF的大小？.7已知：如圖，在ABC中，A=90°，AB=AC，1=2， 求證：BC=AB+AD（分別用截長法和補(bǔ)短法各證一次）A21CBD8已知，如圖，在正方形ABCD中AB=AD，BD90°（1）如果BEDFEF，求證：EAF45°；FA平分DFE（2）如果EAF45

13、6;，求證：BEDFEFFA平分DFE（3）如果點(diǎn)F在DC的延長線上，點(diǎn)E在CB的延長線上，且DFBEEF，求證：EAF45°；FA平分DFE（畫圖并證明）（八） 全等三角形檢測一、選擇題：1.在ABC、DEF中如果C=D，B=E，要使ABCFED，還需要的條件是（ ）A.AB=ED B.AB=FD C.AC=FD D.A=F2.如圖：ABCD，ADBC，AC、BD交于點(diǎn)O，AEBD于E，CFBD于F點(diǎn)，那么圖中全等三角形共有（ ）A.5對 B.6對 C.7對 D.8對3.如圖，D在AB上，E在AC上且B=C,那么補(bǔ)充下列一個條件后，仍無法判定ABEACD的是（ ）A.AD=AE B

14、.AEB=ADC C.BE=CD D.AB=AC4.如圖：某同學(xué)把一塊三角形玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)有要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是（ ）A.帶去 B.帶去C.帶去 D.帶和去5.下列說法中，正確的個數(shù)是（ ）兩邊及其中一邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等；兩角及第三角的平分線對應(yīng)相等的兩個三角形全等；兩邊及其中一邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等；有兩邊相等的直角三角形全等；腰和一個角分別對應(yīng)相等的兩等腰三角形全等。A.1個 B.2個 C.3個 D.4個6.在ABC中，AB=5，AC=3，AD為BC邊的中線，則AD的長的取值范圍是（ ）.A.1<<4 B.3<

15、;<5 C.2<<3 D.0<<57.下列四個命題: 直角三角形只有一條高線；有兩邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形一定全等；兩內(nèi)角之差等于第三個內(nèi)角的三角形必為直角三角形;腰和底角對應(yīng)相等的兩個等腰三角形一定全等.其中正確的命題有( ).A.1個 B.2個 C.3個 D.4個8.等腰三角形周長為，一腰的中線將周長分成5:3兩部分,則它的底邊長為（ ）.A. B. C.或 D.9.下列條件中，能判斷兩個等腰三角形全等的條件的個數(shù)是( ）.頂角和一條腰對應(yīng)相等； 一條腰和底邊對應(yīng)相等；頂角和底邊對應(yīng)相等； 兩條腰和底角對應(yīng)相等A.1個 B.2個 C.3個 D.4個10.已知

16、：如圖，BD為ABC的的角平分線，且BD=BC，E為BD延長線上的一點(diǎn)，BE=BA，過E作EFAB，F(xiàn)為垂足. 下列結(jié)論：ABDEBC；BCE+BCD=180°；AD=AE=EC；BA+BC=2BF. 其中正確的是( ).A. B. C. D.11.如圖：已知ADAB，AEAC，AD=AB，AE=AC則下列結(jié)論：DAC=BAE；DACBAE；DCBE；MA平分DME；BMCCEA；正確個數(shù)是（ ）A.2個 B.3個 C.4個 D.5個12.如圖P是等腰RtABC斜邊AC上任意一點(diǎn)，PEAB于E，PFBC于F，PGEF于G，在GP的延長線上取一點(diǎn)D,使PD=PB,則BC與DC關(guān)系是（

17、）A.BC=DC B.BC=DC，且BCDCC.BC>DC D.BCDC二填空題：13.AD是ABC中BC邊上的中線，AB=4，AC=6，則AD的取值范圍是 .14.如圖ABC中，A=500，AB>AC，D、E分別在AB、AC上，且BD=CE，BCD=CBE，BE、CD相交于O點(diǎn)，則BOC的度數(shù)為 .F15.已知：如圖，點(diǎn)A在線段DE上，點(diǎn)F在線段AB上，且1=2=3，要使得ABCEDC，需要添加的一個條件是 _(只需寫出一個滿足的條件)16.已知ABC中，高AD與高BE交于H點(diǎn)，BH=AC，則ABC的度數(shù)等于 .17.如圖，1=2=25°，3=4，5=6，則7= . 18.有一張等腰三角形紙片，若能從一個底角的頂點(diǎn)出發(fā)，將其剪成兩個等腰三角形紙片，則原等腰三角形紙片的頂角為 度.三解答題：