1、第15章 虛位移原理解題的一般步驟及應注意的問題解題的一般步驟（）根據題意，分清所分析的問題是屬于哪一類問題求平衡條件；求約束反力；求桁架內力。（2）分析約束的性質, 畫主動力的受力圖.系統以外的物體對它的作用力；非理想約束的約束反力；因解除約束而“轉化”為主動力的約束反力或內力。（3）確定系統的自由度，應包括因解除約束而增加的自由度。選擇合適的坐標做廣義坐標。（4）給出系統的虛位移，采用如下方法計算主動力作用點的虛位移與廣義坐標虛位移間的關系：幾何法：運用運動學中分析速度的方法，進行計算。分析法：先選一靜坐標系，用廣義坐標寫出主動力（力矩）作用點的坐標分析表達式，然后再對廣義坐標取變分，進行

2、計算。（5）建立虛功方程，計算各主動力在給定虛位移中的虛功，建立虛功方程，確定平衡條件，求出待求的參量。2.應注意的問題1應用虛位移原理，一般都是以整個系統為研究對象，不宜選取分離體。2計算彈性力在虛位移中的虛功時， 彈性力的大小與虛位移的大小無關。3在計算轉動剛體（或平面運動剛體）上的主動力的虛功時，如果把主動力的虛功轉化為主動力對轉動軸（或瞬時轉動軸）之力矩的虛功，可能簡便些。三、典型例題分析例1 圖示曲柄連桿機構, 在曲柄OA上作用一力偶矩為M的力偶, 欲使機構在圖示位置保持平衡, 試求加于滑塊B上的水平力P應為多大? 已知OA=a, AB=b, 在圖示位置AB與水平線的夾角a=30&#

3、186;BPdrBdrAayOjAy解: 這是屬于求主動力的平衡條件的問題。作用于系統和主動力有和。系統受完整約束，有一個自由度，當機構有虛位移時，作定軸轉動，曲柄作平面運動，滑塊作平動。令桿的虛位移為j，則點虛位移為drA, B點虛位移為drB, AB桿的虛位移為繞瞬心C的微小轉角y, 機構的虛位移如圖。根據虛位移原理得：drBj（）代入（）式得：15-1 圖示曲柄式壓縮機的銷釘B上作用有水平力F，此力位于平面ABC內。作用線平分。設AB = BC，各處摩擦及桿重不計，求對物體的壓縮力。解：令B有虛位移，而C有鉛直向上的虛位移，如圖（a）。將及向BC方向投影，為簡單起見，以表示的絕對值，以表

4、示，則有即（1）由虛位移原理得（2）將式（1）代入（2）得15-3 挖土機挖掘部分示意如圖。支臂DEF不動，A、B、D、E、F為鉸鏈，液壓油缸AD伸縮時可通過連桿AB使挖斗BFC繞F轉動，EA = FB = a。當時桿，此時油缸推力為F。不計構件重量，求此時挖斗可克服的最大阻力矩M。解：由虛功原理： （1）式中（2） A、B的虛位移向AB投影（3）式（2），（3）代入（1）得15-5 在圖示機構中，當曲柄OC繞O軸擺動時，滑塊A沿曲柄滑動，從而帶動桿AB在鉛直導槽K內移動。已知：OC = a，OK = l，在點C處垂直于曲柄作用一力F1；而在點B沿BA作用一力F2。求機構平衡時F2與F1的關系

5、。解：用解析法解，選取為廣義坐標，則滑塊A的約束方程 （1）由虛位稱原理（2）把式（1）代入（2）得因，于是有 故15-7 圖示滑套D套在光滑直桿AB上，并帶動桿CD在鉛直滑道上滑動，已知時彈簧為原長，彈簧剛性系數為5 kN/m。求在任意位置平衡時，應加多大的力偶矩M？ 解：解除彈簧約束，代之以彈性力F及。 已知時彈簧原長為0.3 m，在任意角時，彈簧，此時彈簧的縮短量為。故彈性力取x軸沿AB桿，設D點沿桿的坐標為xD，而選取為廣義坐標，則滑塊D的約束方程為，另外有xB = 常量，由虛位移原理把F及的表達式代入上式得 把k = 5000 N/m代入求得 15-9 在圖示機構中，曲柄AB和連桿B

6、C為均質桿，具有相同的長度和重量W1。滑塊C的重量為W2，可沿傾角為的導軌AD滑動。設約束都是理想的，求系統在鉛垂面內的平衡位置。解：取為廣義坐標，另作坐標系Axy，設AB = BC = l因 對坐標的變分： 由虛位移原理即因，故有即故15-11 圖示均質桿AB長為2l，一端靠在光滑的鉛直墻壁上，另一端放在固定光滑曲面DE上。欲使細桿能靜止在鉛直平面的任意位置，問曲面的曲線DE的形式應是怎樣的？解：作坐標系Dxy，由于桿AB只受主動力W作用，根據虛位移原理 ，故yC = 常量 桿在鉛直位置時yC0 = l ， yC = l 桿在任意位置時yC = yA + lcos， 即 消去得DE曲線方程

7、由方程知，DE曲線為中心在（0，l）長短半軸分別為2l和l的橢圓的一部分。如坐標系Dxy向上平移l距離，則DE曲線方程與書中答案一致。15-13 半徑為R的滾子放在粗糙水平面上，連桿AB的兩端分別與輪緣上的A點和滑塊B鉸接。現在滾子上施加矩為M的力偶，在滑塊上施加力F，使系統于圖示位置處平衡。設力F為已知，忽略滾動摩阻和各構件的重量，不計滑塊和各鉸鏈處的摩擦，試求力偶矩M以及滾子與地面間的摩擦力Fs。解：作功力M，F，虛功方程為：，向AB投影： M = 2RF ，Fs = F15-15 試用虛位移原理求圖示桁架中桿3的內力。解：將BD桿解除代之以力F及。令C點有虛位移，則B點必有虛位移D點必有

8、虛位移，如圖（a）。由虛位移原理即 （1）由圖（a）可見，ACD框的轉軸在A點，CB桿的瞬心在E點故及所以 （2）由式（1）、（2）得（拉力） 例15-4 在水平面內運動的行星齒輪機構如圖15-4所示。均質系桿OA的質量為m1，它可繞端點O轉動，另一端裝有質量為m2，半徑為r的均質小齒輪，小齒輪沿半為R的固定大齒輪純滾動。當系桿受力偶M的作用時，試求系桿的角加速度。圖15-4【解】 機構具有一個自由度，選系桿的轉角為廣義坐標。設系桿對O軸的轉動慣量為JO，小齒輪對其質心A的轉動慣量為JA，小齒輪的絕對角速度為，則A點的速度為小齒輪的角速度系統的動能等于系桿的動能和小齒輪的動

9、能之和，即與廣義坐標對應的廣義力將上兩式代入拉氏方程例題2 三鉸拱如圖所示,求支座B的約束反力。PCmaaa BA解: (1)求支座B的鉛垂反力, 解除支座B的鉛垂約束,代之約束反力YB ,如圖所示, 該系統有一個自由度: AC繞A定軸轉動, BC做平面運動, 瞬心為A, 畫虛位移圖如圖。利用虛位移圖，drC =(AC)dq1 =(AC)dq2 dq1 = dq2 = dq 利用虛位移圖計算虛功 dW(m) = mdq1 dW(P) = aPdq2由虛位移原理，m dq+ aPdq -2aYBdq = 0 PCdrCmYBadq1BdrBdq2A(2)求支座B的水平反力, 解除支座B的水平約束

10、, 代之約束反力XB ,如圖所示, 該系統有一個自由度: AC繞A定軸轉動, BC做平面運動, 瞬心為I, 畫虛位移圖如圖。利用虛位移圖得:drC = (AC) dq1 = (IC) dq2dq2dq2CPmdrCdq1drBXBBAdq1 = dq2 = dq 利用虛位移圖計算虛功 dW(m) = m dq1 dW(P) = aPdq2dW(XB) = 2aXBdq2 由虛位移原理得: m dq1+ aPdq2+2aXBdq2=0例題3 組合梁結構受荷載如圖示，P1=10kN, q=1.6kN/m, P2=15kN, M=40kNm,求固定端支座A的約束反力。60º24P2P1CM

11、2q22D22AB解: (1)求固定端支座A的反力偶, 解除固定端約束,代之反力偶MA 和固定鉸支座A, 如圖所示, 作用在系統上的主動力有MA、M、P1、P2以及均布荷載的合力Q。該系統有一個自由度: AC繞A定軸轉動, BC做平面運動, 瞬心為I, 畫虛位移圖如圖。利用虛位移圖得: dq2 = dq1=1.25dq1 drB=(AB)dq1 =(BI)dq2 dq3= dq2=0.5dq1 drC=(IC)dq2=(CD)dq3 P2IdrBdq2dq1Q24P1CMDABdrCdq2dq3MAdW(MA) = MAdq1 dW(M) = Mdq3dW(P1) = -2P1dq1利用虛位移

12、圖計算虛功dW(P2) = -P2´dq2+P2´dq2dW(Q) =-Q´1dq1由虛位移原理得: MAdq1+ Mdq3-2P1dq1+(-P2dq2+ P2´dq2)-Qdq1=0 MA=7.685kN·m(2)求固定端支座A的水平反力, 解除固定端約束,代之以水平反力XA 和滑塊A, 該滑塊固結于A端， 只能水平方向自由滑動，如圖所示, 作用在系統上的主動力有XA、M、P1、P2以及均布荷載的合力Q。該系統有一個自由度: AB做平動, CD做定軸轉動，BC做平面運動，瞬心為I。畫虛位移圖如圖。由虛位移圖得：drA=dBI=8，XA BP

13、2IdrBdq1QP1CMDAdrCdq2dq1drA由虛位移原理得:解得：XA=17.547kN (3)求固定端支座A的鉛直方向的反力YA, 解除固定端約束,代之以鉛直反力YA 和滑塊A, 該滑塊固結于A端， 只能鉛直方向自由滑動，如圖所示, 作用在系統上的主動力有YA、M、P1、P2以及均布荷載的合力Q。該系統有一個自由度: AB做平動, BC做平面運動， 瞬心在C點。CD不動。畫虛位移圖如圖。由虛位移原理得:AYABP2drBQP1CMDdrAYA= 16.495kNKNkK例4 求圖示桁架1、桿的內力。1260°60°BAPP 解：(1) 求1桿的內力S1，解除1桿

14、，用內力S1和S¢1代替（假設為拉力），如圖所示, 作用在系統上的主動力有P、P、S1和S¢1。該系統有一個自由度: ADEFG做定軸轉動, BFH做平面運動， 瞬心在B點。畫虛位移圖如圖。利用虛位移圖得:drF =2adq1 = adq22dq1 = dq2利用虛位移圖計算虛功S¢1S160°60°dq1drFABPPdq2dW(S1) = - 0.87aS1dq1dW(P) = - aPdq1dW(P) = -2aPdq1 dW(S2) = - 0.87aS2dq2由虛位移原理得:0.87aSdq1 - aPdq1 - 2aPdq1 - 0.87aSdq2 = 0S1 = 1.15P (2) 求2桿的內力S2，解除2桿，用內力S2和S¢2代替（假設為拉力），如圖所示, 作用在系統上的主動力有P、P、S2和S¢2。該系統有一個自由度: ADEG做定軸轉動, BFH做平面運動，瞬心在B點（因為B點的速度沿水平方向， EF做平面運動，F點的速度等于隨E點平動的速度和繞E點轉動的速度，而這兩