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1、2015年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣西賽區(qū)預(yù)賽試題(考試時(shí)間: 2015 年5月17日上午 8 : 30 一 10 : 30 )注意:1所有答題均寫(xiě)在密封線右邊,寫(xiě)在其他紙上一律無(wú)效; 2密封線左邊請(qǐng)勿答題,密封線外不得有姓名及相關(guān)標(biāo)記一、填空題(本大題共10小題,每小題8分,共80分,請(qǐng)將答案填寫(xiě)在下面答題卡相應(yīng)的橫線上)1函數(shù)的最小值是 解析:定義域?yàn)椋O(shè),當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減,單調(diào)遞減, 當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減同理,當(dāng)時(shí)遞增,而當(dāng)時(shí)函數(shù)值,當(dāng)時(shí),而當(dāng)時(shí), , 2被8除所得余數(shù)是 解析:原式,原式被8除余數(shù)為53己知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足,則的取值范圍是 解析:由己知得,由,將前面兩個(gè)式子代入得得4己知數(shù)列的通項(xiàng)公式為,其前項(xiàng)和
2、為,則在數(shù)列中,有理數(shù)項(xiàng)共有 項(xiàng)解析:,從而中只有43個(gè)有理項(xiàng) 5四面體A-BCD中, AB = CD =5 , AC = BD=, AD=BC=,則四面體A-BCD的外接球半徑為 解析:構(gòu)造棱長(zhǎng)分別為3、4、5的長(zhǎng)方體,則四面體A-BCD的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球,6函數(shù)的圖像是開(kāi)口向下的拋物線,互異,且都在集合中取值,則這些拋物線中通過(guò)點(diǎn)(0,-l)的有 個(gè) 解析:拋物線過(guò)點(diǎn)(0,-l), , =-5,-4,-3,-2,-1, 0, 1,2,3,4, 5,只能從-5,-4,-3,-2中取一個(gè)有種取法,則有種取法,由乘法原理共有=36種可能 7ABC內(nèi)有2015個(gè)點(diǎn),加上三個(gè)頂點(diǎn),共有201
3、8個(gè)點(diǎn)把這些點(diǎn)連線,形成互不重疊的小三角形,則一共可以形成小三角形的個(gè)數(shù)是 解析:,8在銳角ABC 中,A,B,C的對(duì)邊長(zhǎng)依次為, 若,則B的取值范圍是 解析:,9設(shè)復(fù)數(shù),其中,當(dāng)取得最小值時(shí),= 解析:易求得, , 取得最小值,當(dāng)且僅當(dāng)解得10正整數(shù),具有如下性質(zhì):從集合1, 2,500中任取一個(gè)元素,若整除的概率是,則正整數(shù)的最大值是 解析:由題設(shè)恰有5個(gè)約數(shù),設(shè)的質(zhì)因數(shù)分解是,的約數(shù)個(gè)數(shù)為具有的形式,的最大值為 81 二、解答題(本大題共3小題,共70分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟11. (本小題滿(mǎn)分20分)設(shè),且,求的最小值解:由柯西不等式知,令,設(shè),在單調(diào)遞增,當(dāng)且僅當(dāng)取到最小值,所求最小值為 12. (本小題滿(mǎn)分 25 分)如圖,已知PA、PB是由O外一點(diǎn)P引出的兩條切線, M、N分別是線段AP、AB的中點(diǎn),直線MN交O于C、 E兩點(diǎn),點(diǎn)N在M與C之間, PC交O于點(diǎn)D,延長(zhǎng)ND 交PB于點(diǎn)Q證明:四邊形MNQP為菱形證明:連結(jié),顯然三點(diǎn)共線,且,所以是中點(diǎn),由是的中點(diǎn),故,(5分),所以,(10分)又四點(diǎn)共圓,故四點(diǎn)共圓, (15分)是直角三角形,有,于是四點(diǎn)共圓 (20分),所以,四邊形是菱形. (25分)13.(本小題滿(mǎn)分25分)動(dòng)點(diǎn)P在橢圓上移動(dòng)時(shí),求連結(jié)原點(diǎn)O和點(diǎn)P所得線段長(zhǎng)的最大值解:設(shè)點(diǎn),將橢圓方程變形為,橢圓的中心在(0, l),滿(mǎn)足:
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