1、2015年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣西賽區(qū)預(yù)賽試題（考試時(shí)間： 2015 年5月17日上午 8 : 30 一 10 : 30 )注意：1所有答題均寫(xiě)在密封線右邊，寫(xiě)在其他紙上一律無(wú)效； 2密封線左邊請(qǐng)勿答題，密封線外不得有姓名及相關(guān)標(biāo)記一、填空題（本大題共10小題，每小題8分，共80分，請(qǐng)將答案填寫(xiě)在下面答題卡相應(yīng)的橫線上）1函數(shù)的最小值是 解析：定義域?yàn)椋O(shè)，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，單調(diào)遞減， 當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減同理，當(dāng)時(shí)遞增，而當(dāng)時(shí)函數(shù)值,當(dāng)時(shí)，而當(dāng)時(shí), ， 2被8除所得余數(shù)是 解析：原式，原式被8除余數(shù)為53己知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的取值范圍是 解析：由己知得，由,將前面兩個(gè)式子代入得得4己知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前項(xiàng)和

2、為，則在數(shù)列中,有理數(shù)項(xiàng)共有 項(xiàng)解析：,從而中只有43個(gè)有理項(xiàng) 5四面體A-BCD中， AB = CD =5 , AC = BD=， AD=BC=，則四面體A-BCD的外接球半徑為 解析：構(gòu)造棱長(zhǎng)分別為3、4、5的長(zhǎng)方體，則四面體A-BCD的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，6函數(shù)的圖像是開(kāi)口向下的拋物線，互異，且都在集合中取值，則這些拋物線中通過(guò)點(diǎn)（0，-l）的有 個(gè) 解析：拋物線過(guò)點(diǎn)（0，-l), , =-5,-4,-3,-2，-1, 0, 1,2,3,4, 5,只能從-5，-4，-3，-2中取一個(gè)有種取法，則有種取法，由乘法原理共有=36種可能 7ABC內(nèi)有2015個(gè)點(diǎn)，加上三個(gè)頂點(diǎn)，共有201

3、8個(gè)點(diǎn)把這些點(diǎn)連線，形成互不重疊的小三角形，則一共可以形成小三角形的個(gè)數(shù)是 解析：,8在銳角ABC 中，A，B，C的對(duì)邊長(zhǎng)依次為, 若，則B的取值范圍是 解析：，9設(shè)復(fù)數(shù)，其中，當(dāng)取得最小值時(shí)，= 解析：易求得, , 取得最小值，當(dāng)且僅當(dāng)解得10正整數(shù)，具有如下性質(zhì)：從集合1, 2，500中任取一個(gè)元素，若整除的概率是，則正整數(shù)的最大值是 解析：由題設(shè)恰有5個(gè)約數(shù)，設(shè)的質(zhì)因數(shù)分解是，的約數(shù)個(gè)數(shù)為具有的形式，的最大值為 81 二、解答題（本大題共3小題，共70分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟11. （本小題滿(mǎn)分20分）設(shè)，且，求的最小值解：由柯西不等式知，令，設(shè)，在單調(diào)遞增，當(dāng)且僅當(dāng)取到最小值，所求最小值為 12. （本小題滿(mǎn)分 25 分）如圖，已知PA、PB是由O外一點(diǎn)P引出的兩條切線， M、N分別是線段AP、AB的中點(diǎn)，直線MN交O于C、 E兩點(diǎn)，點(diǎn)N在M與C之間， PC交O于點(diǎn)D，延長(zhǎng)ND 交PB于點(diǎn)Q證明：四邊形MNQP為菱形證明：連結(jié)，顯然三點(diǎn)共線，且，所以是中點(diǎn)，由是的中點(diǎn)，故，(5分)，所以，(10分)又四點(diǎn)共圓，故四點(diǎn)共圓， (15分)是直角三角形，有，于是四點(diǎn)共圓 (20分)，所以，四邊形是菱形. (25分)13.（本小題滿(mǎn)分25分）動(dòng)點(diǎn)P在橢圓上移動(dòng)時(shí)，求連結(jié)原點(diǎn)O和點(diǎn)P所得線段長(zhǎng)的最大值解：設(shè)點(diǎn)，將橢圓方程變形為，橢圓的中心在（0, l)，滿(mǎn)足：