1、第一講： 集 合 集合的劃分反映了集合與子集之間的關系，這既是一類數學問題，也是數學中的解題策略分類思想的基礎，在近幾年來的數學競賽中經常出現，日益受到重視，本講主要介紹有關的概念、結論以及處理集合、子集與劃分問題的方法。1 集合的概念 集合是一個不定義的概念，集合中的元素有三個特征：（1） 確定性 設是一個給定的集合，是某一具體對象，則或者是的元素，或者不是的元素，兩者必居其一，即與僅有一種情況成立。（2） 互異性 一個給定的集合中的元素是指互不相同的對象,即同一個集合中不應出現同一個元素.（3） 無序性2 集合的表示方法主要有列舉法、描述法、區間法、語言敘述法。常用數集如：應熟記。3 實數

2、的子集與數軸上的點集之間的互相轉換，有序實數對的集合與平面上的點集可以互相轉換。對于方程、不等式的解集，要注意它們的幾何意義。4 子集、真子集及相等集（1）或；（2）且；（3）且。5 一個階集合（即由個元素組成的集合）有個不同的子集，其中有1個非空子集，也有1個真子集。6 集合的交、并、補運算=且=或且要掌握有關集合的幾個運算律：（1） 交換律 ，；（2） 結合律（）（）， （）()；（3） 分配律 （）（）（） （） () （）（4）01律 ， ， （5）等冪律 ，（6）吸收律 ()，（）（7）求補律 ，（8）反演律 7 有限集合所含元素個數的幾個簡單性質 設表示集合所含元素的個數 （1）

3、當時，（2） 8 映射、一一映射、逆映射（1） 映射 設、是兩個集合，如果按照某種對應法則，對于集合中的任何一個元素，在集合中都有唯一的元素和它對應，這樣的對應叫做從集合到集合的映射，記作：。上述映射定義中的、，可以是點集，數集，也可以是其他集合。和中元素對應的中的元素叫做（在下）的象，叫做的原象。中的任何一個元素都有象，并且象是唯一的。（2） 一一映射 設、是兩個集合，：是從集合到集合的映射，如果在這個映射的作用下，對于集合中的不同元素，在集合中有不同的象，且中的每一個元素都有原象，那么這個映射叫做到上的一一映射。（3） 逆映射 設：是集合到集合上的一一映射，如果對于中的每一個元素，使在中的

4、原象和它對應，這樣所得映射叫做映射：的逆映射，記作：。注意：只有一一映射，才有逆映射。 要能夠根據這三個概念的定義，準確地判斷一個給定的對應是不是映射，是不是一一映射，并能求出一一映射的逆映射。解題指導元素與集合的關系1 設|,，求證：（1）()；（2）分析：如果集合|具有性質，那么判斷對象是否是集合的元素的基本方法就是檢驗是否具有性質。解：（1）,且,故；（2）假設，則存在，使即 (*)由于與具有相同的奇偶性，所以（*）式左邊有且僅有兩種可能：奇數或4的倍數，另一方面，（*）式右邊只能被4除余2的數，故（*）式不能成立。由此，。2 設集合（3，2）。已知，,判斷與集合的關系。分析：解決本題的

5、關鍵在于由已知條件確定的取值范圍，從而利用對數函數的單調性確定的范圍。解：因為且，所以由此及得=3,從而=2.所以3,即。3 以某些整數為元素的集合具有下列性質：中的元素有正數，有負數；中的元素有奇數,有偶數；1；若，,則試判斷實數0和2與集合的關系。解：由若，,則可知，若，則（1） 由可設，且0，0，則| (|)故,由,0()+。（2）2。若2，則中的負數全為偶數，不然的話，當（）（）時，1（），與矛盾。于是，由知中必有正奇數。設，我們取適當正整數，使，則負奇數。前后矛盾。4 設為滿足下列條件的有理數的集合：若，則+，；對任一個有理數，三個關系，0有且僅有一個成立。證明：是由全體正有理數組成

6、的集合。證明：設任意的，0,由知，或之一成立。再由，若，則；若，則。總之，。取=1，則1。再由，2=1+1，3=1+2，可知全體正整數都屬于。設，由，又由前證知，所以。因此，含有全體正有理數。再由知，0及全體負有理數不屬于。即是由全體正有理數組成的集合。兩個集合之間的關系在兩個集合之間的關系中，我們感興趣的是“子集”、“真子集”、“相等”這三種特殊關系。這些關系是通過元素與集合的關系來揭示的，因而判斷兩個集合之間的關系通常可從判斷元素與這兩個集合的關系入手。5 設函數，集合，。（1） 證明：；（2） 當時，求。（3） 當只有一個元素時，求證：解：（1）設任意，則.而故,所以.（2） 因，所以

7、解得故 。由得解得 。6為非空集合，對于1，2，3的任意一個排列，若，則（1） 證明：三個集合中至少有兩個相等。（2） 三個集合中是否可能有兩個集無公共元素？證明：（1）若，則所以每個集合中均有非負元素。當三個集合中的元素都為零時，命題顯然成立。否則，設中的最小正元素為，不妨設，設為中最小的非負元素，不妨設則。若0,則0，與的取法矛盾。所以=0。任取因0,故0。所以，同理。所以=。（3） 可能。例如=奇數，=偶數顯然滿足條件，和與都無公共元素。7已知集合：問（1） 當取何值時，為含有兩個元素的集合？（2） 當取何值時，為含有三個元素的集合？解：=。與分別為方程組（） （）的解集。由（）解得（）=（0，1）=（，）；由（）解得（）=（1，0），（，）（1） 使恰有兩個元素的情況只有兩種可能： 由解得=0；由解得=1。故=0或1時，恰有兩個元素。（2） 使恰有三個元素的情況是：= 解得，故當時，恰有三個元素。8 設且15，都是1，2，3，真子集，且=1，2，3，。證明：或者中必有兩個不同數的和為完全平方數。證明：由題設，1，2，3，的任何元素必屬于且只屬于它的真子集之一。 假設結論不真，則存在如題設的1，2，3，的真子集，使得無論是還是中的任兩個不同的數的和都不