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文檔簡介

1、合 肥 學 院Hefei University 系別: 化學與材料工程系 專業: 化學工程與工藝 班級: 姓名: 學號: 關于奈維-斯托克斯方程的分析牛頓第二定律在不可壓縮粘性流動中的表達式。簡稱N-S方程。此方程是法國力學家、工程師C.-L.-M.-H.奈維于1821年創立,經英國物理學家G.G.斯托克斯于1845年改進而確定的。這些方程建立了流體的粒子動量的改變率(加速度)和作用在液體內部的壓力的變化和耗散粘滯力(類似于摩擦力)以及重力之間的關系。這些粘滯力產生于分子的相互作用,能告訴我們液體有多粘。這樣,奈維-斯托克斯方程描述作用于液體任意給定區域的力的動態平衡。直角坐標系下: x分量

2、y分量 z分量 將以上三式寫成向量形式,為 上式稱為牛頓型流體的運動方程,或奈維斯托克斯方程。該方程對穩態或非穩態流動、可壓縮或不可壓縮流體、理想或實際流體均適用。但需指出,本構方程是針對牛頓型流體而言的,故該方程僅適用于牛頓型流體。 對于不可壓縮流體,=常數,此時無論是穩態流動還是非穩態流動,連續性方程為 將上式帶入奈維斯托克斯方程有:x分量 y分量 z分量 寫成向量形式,為 式中為流體的運動粘度,或稱動量擴散系數。(1) 可解性 原則上講,奈維-斯托克斯方程是可以用數學方法求解的。但事實上,到目前為止,還無法將奈維-斯托克斯方程的普遍解求出。其原因是方程組的非線性以及邊界條件的復雜性,只有

3、針對某些特定的簡單情況才可能求得其解析解。奈維-斯托克斯方程描述的是任一瞬時流體質點的運動規律。原則上講,方程既適用于層流,也適用于湍流。但實際上只能直接用于層流,而不能直接求解湍流問題。這是由于在湍流中流體質點呈高頻隨機脈動,因此各物理量亦高頻脈動,而無法追蹤這些極為錯綜復雜的流體質點和旋渦的運動規律。(二)初始條件與邊界條件 對于具體的流體問題,在求解運動方程時給一定的初始及邊界條件。初始條件指時,在所考慮的問題中給出下述條件:邊界條件的形式很多,下面僅列出3種最常見的邊界條件:1、 靜止固面:在靜止固面上,由于流體具有黏性,u=0。2、 運動固面:在運動固面上,流體應滿足u流=u固。3、

4、 自由表面:自由表面指一個流動的液體暴露于空氣中的部分界面。在自由表面上應滿足 上式表明,在自由表面上法向應力分量在數值上等于氣體的壓力,而剪應力分量等于零。(3) 關于重力項的處理由第一章關于流體靜力學的討論可知,對于不可壓縮流體有 式中為流體的靜壓力。將以上3式帶入不可壓縮流體的奈維-斯托克斯方程式,可得 (1)令 (2) 式中為流體的動力壓力,簡稱動壓力,它是流體流動所需的壓力。將(2)帶入(1),可得 寫成向量形式為 (3)式中(2)(3)是以動壓力梯度表示的運動方程,式中不出現重力項。從物理意義上講,如果從流體流動的壓力中減去靜壓力則得動壓力,而后者僅與流體的運動速度有關。引入動壓力

5、可以是方程中不出現重力項,從而使方程的求解變得更容易。但是這并不意味著重力在任何情況下都不對速度u發生影響,因為在求解實際問題時除了方程之外還必須考慮邊界條件。在此必須區別兩種情況:(1)如果邊界條件中只包含速度而不包含壓力,則引入變換式后,對邊界條件而不發生任何影響,此時重力同樣不出現在邊界條件中。由此可以確信,在這種情形下中理想的存在除對壓力發生作用產生靜壓力外,不再對其他物理量包括速度u產生任何效應。(2)如果邊界條件中出現壓力,則引入公式后,原來不包含g的邊界條件中將出現g,重力通過邊界條件又重新出現了,它仍將對速度起作用。通過上述討論可知,只有在所述問題的邊界條件中僅含速度時,采用以

6、動壓力梯度表示的運動方程求戒才是有效的。通常封閉通道中的流體流動問題可采用此方程求解,而有自由表面的流動情況用此式是不適宜的。最后應指出,以動壓力梯度表示的運動方程式僅適用于不可壓縮流體。(4) 奈維-斯托克斯方程簡化 對平壁間流動,假設流體為不可壓縮流體,且所考察的部位遠離流道的進出口,流體僅沿x方向穩態流動,奈-維方程可以簡化:對不可壓縮流體僅沿x 方向上的穩態流,連續性方程可以簡化:于是 在x方向上的奈維-斯托克斯方程可以簡化為: 對z方向上的奈維-斯托克斯方程可以簡化為: 對y方向的奈維-斯托克斯方程可以簡化為: 由y方向的奈維-斯托克斯建華方程有:對上式求導: 于是可以得出: 這是一個二階線性常微分方程,它滿足以下邊界條件:解微分方程同時利用邊界條件得出流體流速分布關系在平壁中心處,流體的速度達到最大,于是有:速度分布于最大速度的關系為: 平均速度為:于是有: 于是沿x方向的壓力梯度為:由上式

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