1、INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUSCopyright 2011 by The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.McGraw-Hill/Irwin第七章最優風險資產組合INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-2投資決策 決策過程可以劃分為自上而下的3步: 風險資產與無風險資產之間的資本配置 各類資產間的配置 每類資產內部的證券選擇INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-3分散化與組合風險 市場風險(market risk) 系統性風險(sys

2、tematic risk)或不可分散風險(diversifiable risk) 宏觀經濟的變動，監管政策的變動(印花稅調整)， 公司特有風險(firm-specific risk) 可分散風險或非系統風險 重慶啤酒乙肝疫苗研發結果INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-4圖7.1 組合風險關于股票數量的函數INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-5風險分散 左圖：如果所有風險都是公司特有的，那么我們可以通過完全的分散化投資將組合風險降到0(大數定律)，但是這是不可能的。(反直觀) 右圖：存在市場風險時，即使完全的分散化也不能消除風險

3、。學術界的實證結果支持了這幅圖的觀察：紐約證券交易所的數據表明：組合收益的標準差隨著證券數量的增多由49.2%最終降到了19.2%INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-6圖 7.2 組合分散化INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-7協方差和相關性 投資組合的風險取決于投資各組合中資產收益率的相關性。 協方差和相關系數提供了衡量兩種資產收益變化的方式。INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-8兩個資產構成的資產組合: 收益()()()pDDEEE rw E rw E r Portfolio Return

4、 Bond Weight Bond Return Equity Weight Equity Return pDEDEPDDEErrwrwrwwrr債券的權重債券的收益率股票的權重股票的收益率資產組合的收益率INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-9 = 基金D的方差 = 基金E的方差 = 基金D和基金E收益率的協方差兩個資產構成的資產組合: 風險EDEDEEDDrrCovwwww,222222p2E2DEDrrCov,INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-10兩個資產構成的資產組合: 風險 組合方差的另一種表達方式: 可以看到，如果

5、協方差為負，那么組合方如果協方差為負，那么組合方差會降低差會降低。所以投資負相關的資產是分散化投資的一個重要原則。比如說中石油和南方航空就可以認為是負相關(受油價的影響不同)。2(,)(,)2(,)PDDDDEEEEDEDEw w Cov rrw w Cov r rw w Cov rrINVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-11 D,E = 收益率的相關系數 Cov(rD,rE) = DE D E D = 基金D收益率的標準差 E = 基金E收益率的標準差協方差INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-12 值的范圍 + 1.0 -1.

6、0如果 = 1.0, 資產間完全正相關如果 = - 1.0, 資產間完全負相關相關系數: 可能的值INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-13相關系數: 可能的值 的證明： 由于 所以關于 的一元二次函數的最小值應該 ，于是有： 也就是 。| 1222()20XYXYVar XtYtt t02222224404YXYXY 210INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-14相關系數的影響:其他條件不變時 因為 當 DE = 1, 組合方差最大， 當 DE = -1, 完全對沖，組合方差最小。 進一步，此時若想完全對沖，令組合方差=0，則

7、DDEEPwwDEDDEww122()pDDEEww222222PEEDDEDEDwww w INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-15最小方差對應的最優權重 將 帶入上式，我們有： 顯然，組合的最小方差為： 對應的最優權重為： 可以看到，當 =1時，組合方差可以減小到0。 222222PEEDDEDEDwww w 1EDww 2222EEDDDEEDw 222222(2)( 22)PDDEEDDEEDEww 222222(1)2DEPDEED |INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-16最小方差對應的最優權重 由 及 可以看到：

8、 若 ，則取 可以使得組合方差=0，這個權重可能大于1（如果 或者 ，但是后者一般不會發生），這意味著賣空股票。 若 ，則取 可以使得組合方差=0。 222222(1)2DEPDEED 2222EEDDDEEDw 1|EDEDw1 ED2DEEDEDwINVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-17圖7.4 組合標準差關于投資比例的函數INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-18最小方差組合 最小方差組合由具有最小標準差的風險資產組成，這一組合的風險最低。（求解一個簡單的優化問題得到相應的權重在前文中，等價于求解一個一元二次方程。） 當相

9、關系數小于 +1時， 資產組合的標準差可能小于任何單個組合資產。 當相關系數是 -1時， 最小方差組合的標準差是0.INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-19組合方差與期望收益的關系 由于權重 與組合的期望收益 之間有如下的線性關系： ，我們也能容易地將組合方差 表示成組合收益 的一元二次函數。 具體推導留作課后練習。 DwPE rEPDEDE rE rwE rE r2PPE rINVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-20圖 7.5 組合期望收益關于標準差的函數 INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-

10、21圖 7.5 組合期望收益關于標準差的函數 INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-22 資產相關性越小，分散化就更有效，組合風險也就越低。 隨著相關系數接近于-1，降低風險的可能性也在增大。 如果 = +1.0，不會分散任何風險。. 如果 = 0， P 可能低于任何一個資產的標準差。 如果 = -1.0， 可以出現完全對沖的情況。相關效應INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-23三種資產的組合 第六章研究了無風險資產和一個風險組合之間的最優組合。（需要給定風險組合的期望和方差） 本章前面內容研究了兩個風險資產之間的最優組合。 現

11、在考慮兩個風險資產和一個無風險資產的最優組合。INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-24三種資產的組合 步驟：先給出最優的風險資產組合，再基于第六章的效用最大化模型來得到無風險資產和風險資產組合之間的最優比例。 思路：先從圖形上得到啟發，再來進行計算。INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-25圖 7.6 債券和股權基金的投資可行集和兩條資本配置線INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-26圖 7.7 債券和股權基金的投資可行集、最優資本配置線和最優風險資產組合INVESTMENTS | BODIE,

12、KANE, MARCUS7-27夏普比率 使資本組合P的資本配置線的斜率最大化。 斜率的目標方程是: 這個斜率就是夏普比率。()PfPPE rrSINVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-28夏普比率 根據風險組合的期望收益和方差的表達式，我們將這些表達式帶入上述夏普比率。 運用標準的微積分函數極值的求解方法，很容易得到風險資產的最優比例： 注意這里的權重只是風險資產內部的比例。222( )DEEDEDDEEDDEDEE rE rwE rE rE rE r 1EDww INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-29決定最優組合 由上述公式

13、，可以算出風險資產組合的期望收益 及方差 。 再根據第六章的均值-方差效用函數模型得到最優的投資組合。其中投資于風險組合的比例為： ，投資于無風險資產的比例為 。 最后，投資于兩個風險資產的比例分別為 與 。 PE r2P2PfPE rryA1yDywEywINVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-30圖 7.8 決定最優組合INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-31馬科維茨資產組合選擇模型 將前述討論推廣到風險資產組合包含多個風險資產的情形，就是馬科維茨模型(The Markowitz Model). 證券選擇第一步是決定風險收益機

14、會。最小方差邊界最小方差邊界上最小方差組合上方的點提供最優的風險和收益。最小方差邊界又叫做有效前沿(Efficient Frontier)。INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-32圖7.10 風險資產的最小方差邊界INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-33馬克維茨資產組合選擇模型 現在，我們尋找報酬-波動性比率（即夏普比率）最高的資本配置線。INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-34圖 7.11 風險資產有效邊界和最優資本配置線INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-

15、35資本配置和分離特性 分離特性（Separation Property）闡明組合決策問題可以分為兩個獨立的步驟。決定最優風險組合，這是完全技術性的工作。整個投資組合在無風險短期國庫券和風險組合之間的配置，取決于個人偏好。 分離特性又稱作兩基金分離定理兩基金分離定理INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-36圖 7.13 有效集組合與資本配置線INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-37分散化的威力 回憶: 如果我們定義平均方差和平均協方差為: 211( ,)nnPijijijww Cov r r 2211111( ,)(1)niinnijjij inCovCov r rn n INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-38分散化的威力 假定組合中每個資產是等權重的。我們可以得出組合的方差: 由上式，當平均協方差=0時，即所有的風險都是公司特有的，則n變大時，組合方差將趨于0. 但是經濟中的系統性因素將使得平均協方差為正。所以即使n趨于無窮大，組合方差的極限也0。2211PnCovnnINVESTMENTS | BODIE, KANE, MARC