1、專題四：數列一、選擇題1 （2013年高考上海卷（理）在數列中,若一個7行12列的矩陣的第i行第j列的元素,()則該矩陣元素能取到的不同數值的個數為( )(A)18 (B)28 (C)48 (D)63【答案】A.2（2013年大綱版數學（理）已知數列滿足,則的前10項和等于(A) (B) (C) (D)【答案】C3 （2013年高考新課標1（理）設的三邊長分別為,的面積為,若,則()A.Sn為遞減數列 B.Sn為遞增數列C.S2n-1為遞增數列,S2n為遞減數列D.S2n-1為遞減數列,S2n為遞增數列【答案】B4（2013年安徽數學（理）試題）函數的圖像如圖所示,在區間上可找到個不同的數使得

2、則的取值范圍是(A) (B) (C) (D)【答案】B5 （2013年福建數學（理）試題）已知等比數列的公比為q,記則以下結論一定正確的是( )A.數列為等差數列,公差為 B.數列為等比數列,公比為C.數列為等比數列,公比為 D.數列為等比數列,公比為【答案】C 6 （2013年新課標卷數學（理）等比數列的前項和為,已知,則(A) (B) (C) (D)【答案】C7 （2013年高考新課標1（理）設等差數列的前項和為,則 ( )A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C8 （2013年遼寧數學（理）試題）下面是關于公差的等差數列的四個命題:其中的真命題為(A) (B) (C) (D)【答案】D9

3、（2013年高考江西卷（理）等比數列x,3x+3,6x+6,.的第四項等于A.-24 B.0 C.12 D.24【答案】A 二、填空題10（2013年高考四川卷（理）在等差數列中,且為和的等比中項,求數列的首項、公差及前項和.【答案】解:設該數列公差為,前項和為.由已知,可得.所以,解得,或,即數列的首相為4,公差為0,或首相為1,公差為3.所以數列的前項和或11（2013年新課標卷數學（理）等差數列的前項和為,已知,則的最小值為_.【答案】12（2013年高考湖北卷（理）古希臘畢達哥拉斯學派的數學家研究過各種多邊形數.如三角形數1,3,6,10,第個三角形數為.記第個邊形數為,以下列出了部分

4、邊形數中第個數的表達式:三角形數 正方形數 五邊形數 六邊形數 可以推測的表達式,由此計算_.【答案】1000 13（2013年江蘇卷（數學）在正項等比數列中,則滿足的最大正整數 的值為_.【答案】1214（2013年高考湖南卷（理）設為數列的前n項和,則(1)_; (2)_.【答案】;15（2013年普通高等學校招生統一考試福建數學（理）試題）當時,有如下表達式:兩邊同時積分得:從而得到如下等式:請根據以下材料所蘊含的數學思想方法,計算:【答案】16（2013年重慶數學（理）試題）已知是等差數列,公差,為其前項和,若成等比數列,則【答案】17（2013年上海市春季高考數學試卷(）若等差數列的

5、前6項和為23,前9項和為57,則數列的前項和_.【答案】18（2013年普通高等學校招生統一考試廣東省數學（理）卷）在等差數列中,已知,則_.【答案】19（2013年高考陜西卷（理）觀察下列等式: 照此規律, 第n個等式可為_. 【答案】20。（2013年高考新課標1（理）若數列的前n項和為Sn=,則數列的通項公式是=_.【答案】=.21（2013年安徽數學（理）試題）如圖,互不-相同的點和分別在角O的兩條邊上,所有相互平行,且所有梯形的面積均相等.設若則數列的通項公式是_.【答案】22（2013年高考北京卷（理）若等比數列an滿足a2+a4=20,a3+a5=40,則公比q=_;前n項和S

6、n=_.【答案】2,23（2013年遼寧數學（理）試題）已知等比數列是遞增數列,是的前項和,若是方程的兩個根,則_.【答案】63 三、解答題24（2013年安徽數學（理）試題）設函數,證明:()對每個,存在唯一的,滿足;()對任意,由()中構成的數列滿足.【答案】解:() 是x的單調遞增函數,也是n的單調遞增函數. .綜上,對每個,存在唯一的,滿足;(證畢)() 由題知上式相減:.法二:25（2013年高考上海卷（理）(3 分+6分+9分)給定常數,定義函數,數列滿足.(1)若,求及;(2)求證:對任意,;(3)是否存在,使得成等差數列?若存在,求出所有這樣的,若不存在,說明理由.【

7、答案】:(1)因為,故,(2)要證明原命題,只需證明對任意都成立,即只需證明若,顯然有成立;若,則顯然成立綜上,恒成立,即對任意的,(3)由(2)知,若為等差數列,則公差,故n無限增大時,總有此時,即故,即,當時,等式成立,且時,此時為等差數列,滿足題意;若,則,此時,也滿足題意;綜上,滿足題意的的取值范圍是.26（2013江蘇卷（數學）本小題滿分10分.設數列,即當時,記,對于,定義集合(1)求集合中元素的個數; (2)求集合中元素的個數.【答案】本題主要考察集合.數列的概念與運算.計數原理等基礎知識,考察探究能力及運用數學歸納法分析解決問題能力及推理論證能力.(1)解:由數列的定義得:,集

8、合中元素個數為5(2)證明:用數學歸納法先證事實上,當時, 故原式成立假設當時,等式成立,即 故原式成立則:,時,綜合得: 于是由上可知:是的倍數而,所以是的倍數又不是的倍數,而所以不是的倍數故當時,集合中元素的個數為于是當時,集合中元素的個數為又故集合中元素的個數為27（2013年浙江數學（理）試題）在公差為的等差數列中,已知,且成等比數列.(1)求; (2)若,求【答案】解:()由已知得到:;()由(1)知,當時,當時,當時,所以,綜上所述:; 28（2013年高考湖北卷（理）已知等比數列滿足:,. (I)求數列的通項公式;(II)是否存在正整數,使得?若存在,求的最小值;若不存在,說明理

9、由.【答案】解:(I)由已知條件得:,又,所以數列的通項或(II)若,不存在這樣的正整數;若,不存在這樣的正整數.29（2013年山東數學（理）試題）設等差數列的前n項和為,且,.()求數列的通項公式;()設數列前n項和為,且 (為常數).令.求數列的前n項和.【答案】解:()設等差數列的首項為,公差為, 由,得, 解得,因此 ()由題意知:所以時,故,所以,則兩式相減得整理得所以數列數列的前n項和30（2013年江蘇卷）本小題滿分16分.設是首項為,公差為的等差數列,是其前項和.記,其中為實數.(1)若,且成等比數列,證明:();(2)若是等差數列,證明:.【答案】證明:是首項為,公差為的等

10、差數列,是其前項和(1) 成等比數列 左邊= 右邊=左邊=右邊原式成立(2)是等差數列設公差為,帶入得: 對恒成立由式得: 由式得:法二:證:(1)若,則,. 當成等比數列, 即:,得:,又,故. 由此:,. 故:(). (2), . () 若是等差數列,則型. 觀察()式后一項,分子冪低于分母冪, 故有:,即,而0, 故. 經檢驗,當時是等差數列. 30（2013年大綱版數學（理）等差數列的前項和為,已知,且成等比數列,求的通項式.【答案】31錯誤！未指定書簽。（2013年普通高等學校招生統一考試天津數學（理）試題）已知首項為的等比數列不是遞減數列, 其前n項和為, 且S3 + a3, S5

11、 + a5, S4 + a4成等差數列. () 求數列的通項公式; () 設, 求數列的最大項的值與最小項的值. 【答案】32（2013年高考江西卷（理）正項數列an的前項和an滿足:(1)求數列an的通項公式an;(2)令,數列bn的前項和為.證明:對于任意的,都有【答案】(1)解:由,得. 由于是正項數列,所以. 于是時,. 綜上,數列的通項. (2)證明:由于. 則. .33（2013年廣東省數學（理）設數列的前項和為.已知,.() 求的值;() 求數列的通項公式;() 證明:對一切正整數,有.【答案】.(1) 解:,. 當時,又,(2)解:,. 當時, 由 ,得 數列是以首項為,公差為

12、1的等差數列.當時,上式顯然成立. (3)證明:由(2)知,當時,原不等式成立.當時, ,原不等式亦成立.當時, 當時,原不等式亦成立.綜上,對一切正整數,有.34（2013年高考北京卷（理）已知an是由非負整數組成的無窮數列,該數列前n項的最大值記為An,第n項之后各項,的最小值記為Bn,dn=An-Bn .(I)若an為2,1,4,3,2,1,4,3,是一個周期為4的數列(即對任意nN*,),寫出d1,d2,d3,d4的值;(II)設d為非負整數,證明:dn=-d(n=1,2,3)的充分必要條件為an為公差為d的等差數列;(III)證明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3,),則an的項只能是1或者2,且有無窮多項為1.【答案】(I) (II)(充分性)因為是公差為的等差數列,且,所以因此,.(必要性)因為,所以.又因為,所以. 于是,.因此,即是公差為的等差數列.(III)因為,所以,.故對任意.假設中存在大于2的項.設為滿足的最小正整數,則,并且對任意,.又因為,所以,且.于是,.故,與矛盾.所以對于任意,有,即非負整數列的各項只能為1或2.因此對任意,所以. 故.因此對于任意正整數,存在滿足,且,