1、效率與生產力分析中心(CEPA)工作報告DEAP 2.1版本指南:數據包絡分析（計算）程序Coelli T.JNo.8/96澳大利亞，NSW2351，阿米代爾新英格蘭大學，計量經濟學系CEPA工作報告.au/econometrics/cepawp.htmISSN1327-435XISBN 1 86389 4969目 錄摘 要31.INTRODUCTION說明42.EFFICIENCY MEASUREMENT CONCEPTS效率測度的概念。52.1 Input-Orientated Measures投入主導型的測度62.2 Output-Orientated

2、Measures 產出主導型測量方法93.Data Envelopment Analysis(DEA)數據包絡分析123.1 The Constant Returns to Scale Model(CRS) 規模報酬不變模型13Slacks 松弛變量15Example 1 例子1193.2 The Variable Returns to Scale Model (VRS)and Scale Efficiencies 規模收益變化模型（VRS）和規模效率22Calculation of Scale Efficiencies 規模效率的計算23Example 2例子2253.3 Input and

3、 Output Orientations 投入和產出主導型263.4 Price Information and Allocative Efficiency 價格信息和配置效率29Example 3 例子3303.5 Panel Data,DEA and the Malmquist Index 面板數據，DEA和Malmquist指數31Scale Efficiency 規模效率34Example 4 例子4344.The DEAP Computer Program DEAP計算機程序35Data file 數據文件36Instruction file 向導文件37Output file 輸出

4、文件385.Examples 例子385.1 Example 1:An Input-orientated CRS DEA Example 例子1：一個CRS投入主導型DEA例子395.2 Example 2:An Input-orientated VRS DEA Example 例子2：一個VRS投入主導型的DEA模型例子435.3 Example 3:A Cost Efficiency DEA Example 例子3：成本效率DEA例子475.4 Example 4:A Malmquist DEA Example 例子4：Malmquist DEA例子496.Concluding Comme

5、nts 結束語53REFERENCES 參考文獻：53APPENDIX 附錄55Tips on using DEAP in File Manager in Windows 3.1: 在Windows 3.1的File Manager使用DEAP的小貼士：56摘 要這篇論文描述了一個程序，這個程序是用來實施數據包絡分析（DEA），以此來計算生產中的效率。程序中實施的方法是基于Rolf Fare，Shawna Grosskopf和他的同事的工作。計算程序中有三個主要的選擇。第一個包括標準的CRS和VRS兩個DEA模型（這包括了技術效率和規模效率的計算），這兩個模型是Fare, Grosskopf

6、and Lovell(1994)設計的。第二個選擇考慮了這些模型的延伸，即說明成本和配置效率。這些模型也是Fare et al(1994)設計的。第三個選擇考慮到了Malmquist DEA模型的使用，這個模型是用面板數據來計算全要素生產率變化（TFP）、技術進步、技術效率變化和規模效率變化的指數。后面所說的模型Fare,Grosskopf,Norris and Zhang(1994)曾經討論過。所有的模型無論在投入主導型還是產出主導型（除了成本效率）都能夠獲得。1.INTRODUCTION說明這個指南描述了一個實施數據包絡技術的計算機程序。DEA模型是運用線性規劃的方法通過建造一個非參數分段

7、的面（前沿），然后相對這個面計算效率。計算機程序能夠考慮模型的多樣性。三個主要的選擇是：1.標準CRS 和VRS的數據包絡分析模型，它們包括技術效率和規模效率的計算（當規模效率適合）。這些模型是Fare,Grosskopf and Lovell(1994)構造的。2.上述模型的延伸，考慮了成本和配置效率。這些模型也是Fare et al(1994)構造的。3. 第三個選擇考慮到了Malmquist DEA模型的使用，這個模型是用面板數據來計算全要素生產率變化（TFP）、技術進步、技術效率變化和規模效率變化的指數。這些方法Fare,Grosskopf,Norris and Zhang(1994)

8、曾經討論過。這些方法無論是在投入主導型還是在產出主導型（除了成本效率）都是能夠獲得的。當合適的時候，程序的結果可以包括技術、規模、配置、成本效率的估計值；還有松弛變量的殘值；對應點；全要素生產率和技術進步變化指數。 文章可以分為以下幾章。第二章給出了Farrell(1957);Fare,Grosskopf and Lovell(1985,1994)等關于效率測度概念的簡短的介紹。第三章概述了這些思想是怎樣通過DEA方法實現實證研究的。第四部分描述了計算程序，DEAP。第五章給了一些運用程序的例子。最后，在第六章，總結了要點。附錄里面包含了程序所用的重要技術方面的概述。2.EFFICIENCY

9、MEASUREMENT CONCEPTS效率測度的概念。這章的主要目的是概述一些常用的測度效率的方法，并且討論了相對于技術有效（通常由某種形式的前沿機構所代表）怎樣計算出他們。過去的40年里，我們運用個很多不同的方法估計前沿效率。兩個有代表性的方法是：1.數據包絡分析2.隨機前沿法他們分別包含了數學規劃和計量經濟學的方法。這篇論文和DEAP計算機程序是關于DEA 方法的。計算機程序FRONTIER可以通過隨即前沿法估計前沿效率，想得到更多關于FRONTIER請看Coelli(1992,1994)的研究。這章對現代的效率測度給了一個簡短的介紹。更詳細的方法請參考Fare, Grosskopf a

10、nd Lovell (1985,1994)and Lovell(1993)的研究。現代效率測量是與Farrell (1957)，他在Debreu(1951)and Koopmans(1951)的工作的基礎上定一個一個簡單的測度公司效率的方法，這個方法考慮了多投入。他認為公司的效率可以分為兩個部分：技術效率，反映了公司在給定投入的情況下所能獲得的最大的產出的能力。另一個是配置效率。它反映了給定各自投入價格的情況下使用最優比例的能力。兩個測量結合起來給出了總經濟效率的測度。接下來的討論從Farrell最初的想法開始，這個想法產生于投入，然后關注于投入的減少。這通常被稱為投入主導型。 2.1 Inp

11、ut-Orientated Measures投入主導型的測度Farrell通過一個簡單的例子闡述了他的觀點。這個例子假設一個公司的規模報酬不變，使用了兩個投入（x1和x2）生產單一的產出（y）已知全效率公司的單位等產量曲線，由數據1的SS代表，允許技術效率的度量。如果給定的公司用一定數量的投入，由P點所定義，去生產一單位的產出，公司的技術無效可以有QP的距離所表示，它就是在不減少產出的情況下，所有的投入按比例減少的數量。這通常由百分數QP/OP的比率表示，它代表了所有投入減少的百分比。公司的技術效率通常由TEI=OQ/OP （1）也就是1減去QP/OP 。它取值01，因此提供了公司技術無效的指

12、標。1代表完全的技術有效，例如，Q點就是技術有效的，因為他在效率曲線上。 數據 1技術和配置效率如果投入的價格的比率由數據1的AA表示，那么配置效率也就算出來了。P點運作的公司的配置效率由下面的比率給出定義。AEI=OR/OQ （2）因為RQ的距離代表如果生產發生在配置有效的點Q,而不是技術有效但是配置無效的Q點，那么就可以降低生產成本。 總經濟效率（EE）可以由下面的比率EEI=OR/OP （3）RP的距離可以解釋為成本降低。注意，技術和配置的效率給出了總的經濟效率，TEI*AEI=（OQ/OP）*（OR/OQ）=（OR/OP）=EEI （4） 數據 2分段線性等量曲線這些效率測量假設完全有

13、效率的公司是已知的。在實踐中，這并不是問題，效率等量曲線是從樣本數據中估計出的。Farrell認為無論是使用非參數分段線性等量曲線（沒有觀測的點在它的左邊或下邊）（參考數據2），還是參數形式，比如柯布道格拉斯形式，相對應的數據也都沒有在它左邊或者下邊的。Farrell用美國48個洲的農業數據給出了他的方法的一個例子。2.2 Output-Orientated Measures 產出主導型測量方法上述投入主導型技術效率測量方法提出了一個問題：在不減少產出數量的同時，能按比例減少多少的投入？人們也可以問這樣的問題：不改變投入數量的同時，產出數量可以按比例增加多少呢？這是一個與上面闡述的投入主導型測

14、量方法相反的產出主導型測量方法。投入主導型測度方法和產出主導型測度方法可以用僅包含一個投入和一個產出的簡單例子進行闡述。數據3（a）描述了這一問題。我們有一個規模收益遞減的函數f（x），和一個在P點運行的無效率的公司。Farrell的投入主導型測量方法中的TE與圖中的AB/AP是相同的，然而產出主導型測度方法的TE是CP/CD。僅當規模收益不變的時候，產出主導型和投入主導型測度方法的技術效率是相等的。但是存在規模報酬遞增還是遞減的時候就不相等。數據3（b）描述了規模報酬不變。我們可以看到AB/AP=CP/CD，對于任意無效率的P,我們都可以選擇。數據3投入和產出主導型技術效率測度方法和規模收益

15、我們可已通過考慮包括兩產出（y1和y2）和一投入（x1）來進一步考慮產出主導型測度方法。再一次，我們假設規模報酬不變，我們可以用一單位產品可能曲線（產品等量曲線）的兩個方面來表示技術。數據4描述了這個例子，ZZ就是單位產品可能曲線，點A是無效率的公司。注意，無效率的點A，在曲線下方，因為ZZ代表最高的生產可能線。數據 4產出主導型的技術和配置效率Farrell的產出主導型測度模型可以如下定義。在數據4中，AB的距離代表技術無效。這就是，在不增加額外的投入的基礎上，可以增加多少產出。因此，產出主導型的技術效率就是這個比率。TE0=OA/OB （7）如果我們有價格的信息，我們就可以畫等產量曲線DD

16、，并定義配置效率為AE0=OB/OC （8）他有一個使收益增加的定義（類似于投入主導型的減少成本的配置無效的定義）。進一步，我們可以定義總體經濟效率為兩個測度的綜合：EE0=（OA/OC）=（OA/OB）*（OB/OC）=TE0*AE0 （9）這三個測量也都在01之間。在總結這章之前，關于我們定義的六個效率測度有兩點我們需要說明。1）所有的測度都是從原點到實際觀察到的生產點的射線。因此，他們都有相對恒定的投入（產出）比例。這種射線的效率測度的優點是他們都是單位不變的。這就是變化度量的單位（例如：測量勞動數量用人時而不是人年）將不會改變效率值。非射線的測度，比如較短的生產點到生產面的距離，可能是

17、被要求的，但是測度將相對選擇的測度單位而不是恒定的。在這種情況下，改變測度單位可能導致發現一個不同的更近的點。當我們考慮DEA的松弛變量的時候，在我們將對這一問題進行深入的研究。2）Farrell的投入主導和產出主導技術效率的測量與Shepherd(1970)的投入產出距離模型可以看做是等價的。想知道更多請看Lovell(1993,p10)。當我們運用DEA計算全要素變化的Malmquist指標的時候，這項觀察變得重要。3.Data Envelopment Analysis(DEA)數據包絡分析數據包絡分析是前沿估計的非參數數學規劃方法。這里討論的DEA模型是很簡短的，只有相對很少的技術細節。

18、想知道更多方法論的細節請參考Seiford and Thrall(1990),Lovell(1993),Ali and Seiford(1993),Lovell (1994),Charnes et al(1995)and Seiford(1996)的研究。Farrell(1957)的關于前沿估計的分段線性規劃方法僅僅被Farrell論文后的20年里少數的幾個作者所推崇。作者，比如Boles(1966)and Afriat(1972)，所推崇的數學規劃方法可以完成任務，但是這種方法并沒有引起人們的廣泛關注，直到Charnes,Cooper and Rhodes(1978)發表了論文，并且創造了數

19、據包絡分析這個詞。從那以后，涌現了大量的拓展和運用DEA方法的文獻。Charnes,Cooper and Rhodes(1978)提出了一個模型，這個模型是投入主導型并假設規模報酬不變（CRS）。接下來的論文提出了相反的假設，比如Banker , Charnes and Cooper(1984)提出了規模報酬變化的模型（VRS）。接下來DEA的討論從3.1的投入主導型的CRS模型開始，因為這個模型是最應該被廣泛應用的。 3.1 The Constant Returns to Scale Model(CRS) 規模報酬不變模型我們從定義一些記號開始。假設有N個公司或者像DEA文獻里面叫的DMU。

20、每個公司有K個投入和M個產出的數據。對于第i個DMU，他們分別由xi和yi來代表，K×N的投入矩陣為X，M×N的產出矩陣為Y，代表了所有N個DMU的所有數據。DEA的目的就是在數據點的基礎上構造一個非參數的包絡前沿，使所有的觀測的數據都在生產前沿的上面或者下面。比如工業的一產出，兩投入的簡單例子，可以看做是一些相交平面，形成了一個涵蓋三維空間的散點的緊緊的蓋子。給出了規模報酬不變的假設，這可以由投入的單位等產量曲線代表。（參考數據介紹DEA的最好的辦法是通過比率的形式。對于每個DMU，我們都得到所有產出關于所有投入的比率的測量，比如：uyi/vxi，其中u是M×1

21、的輸出權重矩陣，v是K×1的的投入權重矩陣。選擇最優的權重就是數學規劃要解決的問題。maxu,v(uyi/vxi),st uyj/vxj1,j=1,2,.,N, u,v0 （10）這就包括了尋找u和v的過程，這樣第i個DMU的效率測度就被最大化了，并且由于約束，所有的效率都是小于等于1.一個特殊的比率的問題就是他有無限個解決辦法。為了避免這個問題，我們就可以加入這樣的一個假設vxi=1,這就提出了：max,(yi), st xi=1,yj-xj0, j=1,2,.,N, ,0, （11）這里，符號由u 和 v 變為 和 正反映了這種轉變。這種形式在線性規劃里面被稱為乘數形式。使用線性

22、規劃的二元形式，我們可以得到這個問題的相等的形式。min,st -yi+Y0,xi-X0,0, 其中是一個標量而是個N×1的常數矢量，這個包絡形式比乘數形式少了很多的約束（K+M<N+1），也是我們愿意解決的形式。其中 的值就是第i個DMU的效率分數。要滿足1，1代表前沿效率上的點，也就是技術有效的DMU，這是Farrell(1957)的定義。注意，線性規劃問題必須要解決N次，對于每個樣本DMU都要計算一次，然后每個DMU都得到了值。 Slacks 松弛變量DEA的非參數前沿分段線性形式會產生效率測度的一些不同的地方。問題的產生是因為分段前沿函數與坐標軸平行的部分。（參考數據2

23、）這在大多數的參數模型里面是不存在的（參考數據1）。為了闡述這一問題，參考數據5，其中DMU的投入包括C和D是兩個有效率的DMU，他代表了前沿。DMU的A和B是無效率的DMU。根據Farrell(1957)的技術效率測度， DMU A和B的技術效率分別為OA/OA and OB/OB。然而，問題是A點是否是效率點呢。因為我們可以在得到同樣產出的情況下減少投入的數量x2，（通過CA）。這在文獻里稱做投入松弛變量。當我們考慮更多投入和更多產出的情況時，圖示就不再簡單了，并且相關的概念產出松弛也是可能發生的。因此，在DEA的分析中，提供Farrell的技術效率測度（）和非零的投入或產出松弛變量，以此

24、來提供準確的DMU的技術效率指標，這件事是值得爭論的。注意，對于第i個DMU的產出松弛變量僅僅當Y-yi=0的時候才等于0，投入松弛變量也僅僅當xi-X=0的時候才等于0。（對于給定的和） 數據 5效率測度和投入松弛變量在數據5中，與A點相關的投入松弛變量就是投入x2的CA。當簡單的例子里面有更多的投入和產出的時候，我們就可以發現更近的效率前沿點（比如C點）。因此，接下來的松弛變量的計算就不是沒有意義的。一些作者建議用兩階段線性規劃的方法去移動效率前沿點，通過最大化需要的松弛變量的總和，把無效的的前沿點（比如數據5的A點）移動到有效率的點（如C點）。兩階段線性規劃問題可以如下定義：min,OS

25、,IS-(M1OS+K1IS),st -yi+Y-OS=0,xi-X-IS=0,0,OS0,IS0, （13）其中oS是M×1的產出松弛變量矩陣，IS是K×1的投入松弛變量矩陣，M1和K1分別是他們的M×1和 K×1 的矩陣。注意，在兩階段線性規劃中，不是變量，他的取值來于第一階段。更進一步，我們要注意兩階段線性規劃的問題對于N個DMU來說每個都要解決。有兩個主要問題是關于兩階段線性規劃的。第一個也是最顯而易見的是松弛變量的總和是最大化而不是最小化。因此，我們找到的不是最近的效率點而是最遠的效率點。第二個關于兩階段方法的主要問題是對于計量單位來說他不是不

26、變的。計量單位的改變，比如說更多的投入，從千克到噸（在其他計量單位不變的前提下），可以導致發現不同的效率前沿點和不同的松弛變量和更多的測度方法。 然而，我們也要注意，在數據5中的簡單的例子里有兩點并不是問題所在。因為在垂直面上僅有一個效率點。然而，如果松弛變量發生在兩個或者更多維的結構直面上僅有一個效率點。然而，如果松弛變量發生在兩個或者更多維的結構中（這是經常發生的）上述問題就會發生了。（Charnes,Cooper,Rousseau 和Semple(1987)設計了一個單位不變的模型，在這個模型里松弛變量的單位價值和第i個公司的使用的投入或者產出的數量成反比。這能解決直接問題，但是由創造了

27、另一個問題，因為這種方法沒有足夠的理由計算松弛變量的權重。）這個問題的結果是，許多研究僅僅解決第一階段的線性規劃問題（等式12），從而得到Farrell的每個DMU的輻射的技術效率值（）。并且完全忽略松弛變量，或者他們記錄輻射的Farrell的技術效率值（）和殘余松弛變量，這個變量是這樣計算的OS=-yi+Y and IS=xi-X. 然而，這個方法并非能解決所有的問題，可能是因為殘余松弛變量不一定提供所有的松弛（Koopmans）變量（例如，數據5.5中有一些觀測點在前沿的垂直面部分上時），或者是可能不總是能找出每個DMU的最近的效率點。 在DEAP軟件中，我們關于松弛變量給使用者三種選擇。

28、他們是：1.一階段DEA，我們在等式12構造線性規劃模型并計算松弛變量殘值。2.兩階段DEA，我們用等式12和13構造線性規劃模型。3.多階段DEA，我們構造一系列的輻射的線性規劃模型以此來識別有效預測點。同其他兩種方法相比，多階段DEA方法計算復雜。然而，這種方法的優點是他能識別投入和產出混合的效率預測點，這些點與非有效點十分的相似，并且識別出的效率預測點相對于測度單位來說是不變的。因此，同另外兩個方法相比我們推舉使用多階段的DEA。 我們在這個指南中說了很多關于松弛變量的問題，現在我們總結出我們也許夸大了松弛變量的作用。松弛變量可以看做是用DEA方法來得到前沿結構和使用有限樣本的人工品。如

29、果我們能夠得到DEA的無限樣本，或者使用另外一個估計前沿結構的方法，這種方法有一個光滑的結構表面，那么松弛變量的問題就消失了。另外對于這個觀察，我們接受Ferrier and Lovell(1990)的觀點是合理的。他們認為松弛變量可以看做是配置無效率。因此，我們相信技術效率分析可以合理的集中于在一階段DEA線性規劃（參考等式12）中得到的輻射效率指數。然而，如果我們堅持想得到Koopmans效率預測點，我們就強力建議使用多階段的方法而不是兩階段的方法，原因如上所述。 Example 1 例子1我們用一個包括五個DMU（公司）的簡單例子闡述規模報酬不變投入主導型的數據包絡分析。每個DMU都是兩

30、投入一產出，數據如下：表 1規模報酬不變的DEA例子數據這個例子的投入產出比率在數據6中繪出，同時還匯出了DEA的同等式12對應的前沿。我們可以記在心里，然而，這個DEA前沿是對5個DMU每個都計算一次線性規劃的結果。例如，對于DMU3我們可以這樣重新書寫等式12.min,st -y3+(y11+y22+y33+y44+y55)0,x13-(x111+x122+x133+x144+x155)0,x23-(x211+x222+x233+x244+x255)0,0, （14）where=(1,2,3,4,5).和的值在表2第三行中提供了最小的值。我們注意到DMU3的技術效率值是0.833。DMU3

31、可以在不減少產出的情況下將投入降低16.7%。這就意味著應該在數據6的3點生產。這個估計點3在DMU2和DMU5的連線上，它被認為是點3的對應點。他們定義了前沿相關部分的所在（例如與DMU3相關的）也就定義了DMU3的效率生產點。點3是點2和點5的線性組合，線性組合的權重就是表2第三行的值。數據 6規模報酬不變投入主導型DEA例子表2規模報酬不變投入主導型DEA的結果很多研究都討論目標和對應點。DMU的目標也就是對應的效率投影點3。這等于0.833×(2,2)= (1.666,1.666)。因此，DMU3要得到3單元的產出就得要用3×(1.666,1.666)=(5,5)單

32、元的兩種投入 人們可以對其他各個無效率的DMU進行類似的討論。DMU4的效率指數是0.714，同DMU3一樣有類似的對應點。DMU1的效率指數是0.5，DMU2就是他的效率的對應點。我們可以注意到，DMU1的估計點在效率部分的上端，這個效率部分平行于x2的軸。因此，它不代表效率點（根據Koopman的定義。）因為我們可以減低投入x2的0.5個單位（因此生產點就在點2）仍舊能得到相同數量的產出。因此DMU1可以說為投入放射性浪費了50%，并且有0.5單元的x2的（非放射性）投入松弛變量。這就導致了目標(x1=1,x2=2)。那就是相對應的點2. 3.2 The Variable Returns

33、to Scale Model (VRS)and Scale Efficiencies 規模收益變化模型（VRS）和規模效率CRS的假設僅僅在所有的DMU都在最優的規模上運作的時候才合適（例如：LRAC曲線上的一個相應的平面部分）。不完全競爭和約束，財務等等，可能導致DMU不在最合適的規模上運作。Banker,Charnes and Cooper(1984)拓展了規模報酬不變的DEA模型為規模報酬變化的情形。當DMU沒有在最優的規模上運作的時候，CRS說明書的使用可能會導致技術效率的測度被規模效率所混淆。VRS模型說明書將會允許剔除規模效率影響的技術效率的計算。CRS線性規劃模型可以通過增加凸性

34、約束很容易的修改成VRS模型。對等式12增加的凸性約束為：N1=1 可以得到，min,st -yi+Y0,xi-X0,N1=10, （15）N1是所有的N×1的矩陣。這種方法形成了一個凸面，他能夠比CRS的圓錐形的面更緊密的包絡所有的數據，因此獲得的技術效率比使用CRS模型獲得的技術效率高或者是相等的。VRS規說明書是20世紀最受歡迎的說明書。Calculation of Scale Efficiencies 規模效率的計算許多研究把從CRS模型獲得的技術效率分解成了兩部分，一部分是因為規模無效率，一部分是因為純技術無效。這可以在相同的數據上通過實施CRS和VRS兩個DEA模型來做到

35、。如果對于一個特定的DMU，兩個技術效率不同，這就證明這個DMU存在規模無效。規模無效可以通過VRS的技術效率和CRS的技術效率的不同來計算。 數據7試圖闡述這一問題。在這個數據里面我們有一投入一產出的例子，并且我們畫出了VRS和CRS的效率前沿。在CRS的投入主導型技術無效里，P點的距離是PPC，而在VRS模型里技術無效是PPV。兩者的不同PCPV，就是規模無效率。我們可以用比率效率測度來表示這些。TEI,CRS=APC/APTEI,VRS=APV/APSEI=APC/APV所有的這些測度都在01之間。我們也可以注意到，TEI,CRS=TEI,VRS×SEI因為APC/AP=(AP

36、V/AP)×(APC/APV).這就是CRS的技術效率可以分解稱純技術效率和規模效率。數據 7DEA中規模經濟的計算規模效率方法的一個缺點就是他的值不能反映DMU是否運行在規模報酬遞增或者規模報酬遞減的領域里。這可以通過運行一個非規模報酬遞增（NIRS）的額外的DEA模型來確定。這可以通過改變等式15的DEA模型來做到，將等式15的N1=1的限制替換成N11可以得到min,st -yi+Y0,xi-X0,N110, （16）NIRS DEA前沿在數據7中繪出。一個DMU的規模無效率（例如：由于規模遞增或者規模遞減）的類型可以通過看NIRS的技術效率值與VRS的技術效率值是否一致確定。

37、如果不相等（就是數據7點P 的例子），那么這個DMU就存在規模報酬遞增。如果他們相等（就是數據7點Q的例子），規模報酬遞減適用。An example of this approach applied to international airlines is provided in BIE(1994). BIE(1994)提供的國際航線的例子適用于這個方法。Example 2例子2這是一個簡單的包括5個公司的例子，每個公司都用一種單一的投入生產單一的產品。數據在表3中列出，VRS和CRS投入主導型DEA模型的結果在表4中列出，在數據8中畫出。假設我們使用投入主導型，效率通過數據8可以水平的測出。

38、當我們假設是規模報酬不變的時候，我們觀測到公司3是唯一的有效率的公司（在DEA的效率前沿上），但是當我們假設規模報酬變化的時候，公司1，3，5都是有效的。不同的效率方法的計算可以通過使用公司2來展示，因為公司2在CRS和VRS兩種模型下技術效率都是無效的。 CRS的技術效率等于2/4=0.5，VRS的技術效率是2.5/4=0.625，規模效率等于CRS的技術效率和VRS的技術效率的比率，那就是0.5/0.625=0.8。我們也可以觀察到，公司2在VRS的效率前沿的規模報酬遞增階段。表 3規模報酬變化的DEA模型的例子數據表 4VRS投入主導型DEA的結果數據8VRS投入主導型DEA例子3.3

39、Input and Output Orientations 投入和產出主導型在上面的投入主導型模型里面，我們在3.1和3.2部分討論過的，這個模型試圖把技術無效定義為按比例降低浪費的投入。這相當于Farrell基于投入方法計算的技術無效。正如在2.2部分所討論的，我們也可能把技術無效作為按比例的增加產出來計算。在規模報酬不變的情況下兩種方法的值是相同的，但是當規模報酬變化的時候就是不相同的（見數據3）。假設線性規劃模型不會受到聯立方程偏見這樣的統計問題。合適方向的選擇不會像計量經濟學的估計例子那樣至關重要。在很多的研究中，分析都傾向于投入主導型模型，因為很多的DMU有特別的命令需要滿足（比如發

40、電）。因此投入的數量看起來是主要決定的變量，盡管這個論點可能不是在所有的工業中都是強烈的。在一些工業中，DMU可能給定了固定數量的資源，被要求生產盡可能多的產出。在這種情況下，產出主導型就是比較合適的。必要的是我們選擇方向的根據是那些數量是管理者能最大限度的控制的。進一步講，在很多情況下，你會發現方向的選擇會對得到的數據產生微弱的影響。(e.g.see Coelli and Perelman 1996).產出主導型的模型和投入主導型的模型非常的相似。考慮下面的產出主導型的VRS模型的例子。max,st -yi+Y0,xi-X0,N1=10, （17）其中1<，-1就是第i個DMU在保持投

41、入數量不變的前提下，產出所能增加的比例。注意，-1定義了在01之間變動的技術效率指數（這就是DEAP軟件得出的產出主導型的技術效率）一個產出主導型的DEA的兩個產出的例子，可以由一個分段線性產出可能曲線代表，正如數據8所展示的那樣。注意，觀測點在曲線的下方，曲線的一部分和坐標軸成直角，當生產點通過輻射狀的膨脹產出線投影到這部分曲線時，就要計算產出的松弛變量。例如點P 投影到點P點，P點在前沿，但是卻不是效率前沿上，因為在不增加任何產出的情況下，產品Y1可以通過AP增加產量。AP就是產出y1的產出松弛變量。有一點需要強調，那就是產出主導型和投入主導型模型將會通過定義準確的估計相同的前沿，識別出同

42、一個DMU作為最有效率的。對于無效率的DMU的效率測度方法在兩個方法可能是不同的。兩種方法我們將在數據3的第二部分展示，在那我們能觀察到僅當規模收益不變時兩者才能提供相同的效率值。數據 8產主導型的DEA3.4 Price Information and Allocative Efficiency 價格信息和配置效率 如果我們有價格的信息，我們就會考慮行為目標，比如成本最小或者產出最大，這樣我們就既可以測度技術效率又可以測度配置效率了。對于VRS的成本最小化的例子，我們將使用等式15包含的投入主導型的DEA模型來計算技術效率。我們然后運行下面的成本最小化的DEA模型。min,xi* wixi*

43、,st -yi+Y0,xi*-X0,N1=1 0, （23）其中wi是第i個DMU的投入價格矩陣，xi*（由線性規劃模型計算出）是在給定的投入價格wi和產出水平yi的情況下，能使第i個DMU達到成本最小化的投入數量。總的第i個DMU的成本效率或者是經濟效率就可以這樣計算CE=wixi*/wixi。那就是用成本最小的比例觀測成本。我們然后可以運用等式4去計算配置效率殘余，為AE=CE/TE。注意，這種計算方法不會對配置效率的測度產生任何松弛變量。這在松弛變量反映不合適投入比例的背景下總是合理的。我們也注意到我們也可以用同樣的方式考慮產出混合選擇的收入最大化和配置無效率。詳見Lovell(1993

44、,p33)對此的討論。要注意這個收益效率模型在DEAP里面不能實施Example 3 例子3在這個例子里面我們使用例子1里面的數據，并增加信息，就是所有的公司投入1和投入2的價格分別都是1和3.因此我們在數據6上畫一條斜率為-1/3的成本曲線，他在數據9上與等產量曲線相切。從表中我們可以看到公司5是唯一成本有效率的公司，并且所有的其他公司在某種程度上都存在配置無效率。各種不同的成本效率和配置效率都在表5中列出了。這些效率的計算可以用公司3來展示。我們早就發現公司3的技術效率是通過從原點（O）到3的射線計算的，他的比率就是0到點3的距離比上0到點3的距離，等于0.833。配置效率就是0到3的距離

45、比上0到3的距離為0.9。成本效率就是0到3的距離比上0到3的距離為0.75。我們也可以這樣計算0.833×0.9=0.750。數據9CRS成本效率DEA例子表 5CRS成本效率DEA的結果3.5 Panel Data,DEA and the Malmquist Index 面板數據，DEA和Malmquist指數當我們有面板數據的時候，我們就可以使用類似DEA的線性規劃和一個（基于投入或者產出）Malmquist TFP指數來測度生產力的變化，并把生產力的變化分解成技術進步和技術效率的變化。Fare et al(1994)定義了一個基于產出的Malmquist生產力指數如下：它代表

46、和生產點(xt,yt)相比較的生產點(xt+1,yt+1)的生產力。比1大的值代表從t到t+1時期的一個正的TFP增長。事實上，這個指數就是兩個基于產出的Malmquist TFP指數的等比中項。一個指數使用t時期的技術和另一個時期t+1的技術指數。為了計算等式24，我們必須計算有四個部分的函數，他包含四個線性規劃（他們的構造類似于計算Farrell的技術效率的方法。）的問題。 我們假設規模報酬不變（我們之后會進一步的分解來觀察規模效率的問題）用于計算d0t(xt,yt)的CRS產出主導的線性規劃等同于等式17，不同的是VRS的限制被移除，卻包含時間下標。就是 d0t(xt,yt)-1 =ma

47、x,St -yit+Yt0,xit-Xt0,0, （25）其他三個線性規劃問題就是這個的簡單變體：d0t+1(xt+1,yt+1)-1=max,St -yi,t+1+Yt+10,xi,t+1-Xt+10,0, （26）d0t(xt+1,yt+1)-1=max,St -yi,t+1+Yt0,xi,t+1-Xt0,0, （27）d0t+1(xt,yt)-1=max,st -yit+Yt+10,xit-Xt+10,0, （28）注意線性規劃模型27和28，生產點的技術是不同時期進行對比的，參數如同計算Farrell效率一樣需要1。點可能在可行的生產組合上方。這種情況最可能在線性規劃27中，當t+1時

48、期的生產點和t時期的生產點的技術進行對比時發生。如果技術進步發生了，<1的值就是可能的。注意如果發生技術退步，這種情況也可能在線性規劃28里面發生，但是技術退步發生的可能性很小。 我們要記住點和，因為他們在四個線性規劃里面的值可能是不同的。進一步，上述四個線性規劃必須對樣本中的每個公司都進行計算。因此，如果你有20個公司，兩個階段，你就要進行80個線性規劃的運算。也要注意到，當你增加了額外的時間，你必須對每個公司計算額外的三個線性規劃（去構造一個環比指數）。如果你有T個時間，你必須對每個樣本公司計算(3T-2)個線性規劃。因此，如果你有N個公司，你就必須計算N×(3T-2)個線

49、性規劃。例如，當N=10個公司，T=10個時間，這就要計算20×(3×10-2)=560個線性規劃。每個公司對于每個相鄰的時間的結果可以列成表。或者可以提出簡要的跨越時間或者空間的措施。Scale Efficiency 規模效率上面的方法可以進行延伸，我們把（CRS）技術效率分解為規模效率和純（VRS）技術效率兩個部分。這就包括計算兩個額外的線性規劃（當對比兩個生產點的時候）這包括重復計算包含了凸性限制(N1=1)的線性規劃25和26.這就是我們要計算VRS（而不是CRS）的效率函數技術效率。然后我們可以利用CRS和VRS的值計算規模效率殘值，使用3.2部分的方法。對于有N

50、個公司和T個時間的情況，我們就要把線性規劃次數從N×(3T-2)增加到N×(4T-2)。詳見Fare et al(1994,p75)關于規模效率的更多論述。Example 4 例子4在這個例子里面我們使用例子2的數據。并額外的增加一年的數據。這個數據在表6中列出，也在數據9中描繪了。數據9中也畫出了兩個時間的CRS和VRS DEA模型的前沿。不同的距離（技術效率）需要我們計算Malmquist指數，Malmquist指數也在表5.4部分的表10c中列出了。表 6Malmquist DEA的例子數據數據 8VRS投入主導型的DEA例子4.The DEAP Computer P

51、rogram DEAP計算機程序這部分描述DEAP計算機程序的使用。這個程序是為IBM兼容電腦用公式轉換語言編寫的。他是一個DOS程序，但是卻可以通過使用FILE MANAGER通過WINDOWS很容易的操作。程序包含了一個簡單的批處理程序，在這個程序里使用者創造數據文件，里面一個小的文件里包含了向導。使用者在DOS的推動下通過打“DEAP”開始程序。然后啟動向導。程序就運行向導，然后就產生一個文本編輯器能夠讀取的產出文件。比如NOTEPAD或者EDIT，或者使用一個WORD程序或者WORD PERFECT。DEAP2.0版在IBM PC上的運行大致包括五個文件：1）執行文件DEAP.EXE2

52、）開始文件DEAP.0003）數據文件（例如，叫做TEST.DTA）4）向導文件（例如，叫做TEST.INS）5）輸出文件（例如，叫做TEST.OUT）執行文件和開始文件在磁盤上讀取。開始文件DEAP.000保存了一些重要的參數值，這些參數值使用者可能不需要改變。數據和向導文件必須在使用者執行之前先行書寫。產出文件是在執行的時候DEAP程序創造的。數據的例子，向導和產出文件在下章列出。Data file 數據文件程序要求數據必須在一個文本（text）文件里面列出，并且希望數據以特別的順序列出。數據必須通過觀察資料列出（也就是每行一個公司），那也必須有一縱列書寫每個產出和每個投入，所有的產出先列出然后所有的投入后列出（在整個文件從左至右）例如，如果你在兩個投入和兩個產出上有40個觀測數據，就有4縱列數據，列的順序是：y1，y2，x1，x2。如果你選擇成本效率，你就要為每個投入提供價格信息。這些價格數據可以在投入數據列的右邊列出，順序是一樣的。因此，如果你有三個產出和兩個投入，列的順序就是y1,y2,y3,x1,x2,w1,w2，其中，w1 和 w2是和x1 和 x2數量相對應的價格。如果你選擇了Malmquist指數，你就要處理面板數據。例如，你有30個公司，每個公司都有四年的觀察數據。在這個例子里，你必須首先列出所有1年的數據，然