1、九年級下冊知識點第一章 直角三角形邊的關系1、正切：定義：在RtABC中，銳角A的對邊與鄰邊的比叫做A的正切，記作tanA，即tanA=A的對邊/A的鄰邊。tanA是一個完整的符號，它表示A的正切，記號里習慣省去角的符號“”；tanA沒有單位，它表示一個比值，即直角三角形中A的對邊與鄰邊的比；tanA不表示“tan”乘以“A”；tanA的值越大，梯子越陡，A越大；A越大，梯子越陡，tanA的值越大。（P1-6,11、P3-6、P4-12）2、正弦：定義：在RtABC中，銳角A的對邊與斜邊的比叫做A的正弦，記作sinA，即sinA=A的對邊/斜邊；3、余弦：定義：在RtABC中，銳角A的鄰邊與斜

2、邊的比叫做A的余弦，記作cosA，即cosA=A的鄰邊/斜邊；4、余切：定義：在RtABC中，銳角A的鄰邊與對邊的比叫做A的余切，記作cotA，即cotA=A的鄰邊/A的對邊；5、一個銳角的正弦、余弦、正切、余切分別等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。（通常我們稱正弦、余弦互為余函數。同樣，也稱正切、余切互為余函數，可以概括為：一個銳角的三角函數等于它的余角的余函數）用等式表達：若A 為銳角，則sinA = cos(90°A）等等。6、記住特殊角的三角函數值表0°，30°，45°，60°，90°。（P4-13、P5-15,16、P1

3、0-11、P12-3）題6：計算： + 7、當角度在0°90°間變化時，正弦值、正切值隨著角度的增大(或減小)而增大(或減小)；余弦值、余切值隨著角度的增大(或減小)而減小(或增大)。0sin1，0cos1。同角的三角函數間的關系：tn·cot=1，tan=sin/cos，cot=cos/sin，sin2+cos2=18、在ABC中，C為直角，A、B、C所對的邊分別為a、b、c，則有：（1）三邊之間的關系：a2+b2=c2；（2)兩銳角的關系：AB=90°；（3)邊與角之間的關系：sin等； （4）面積公式；（5）直角三角形ABC內接圓O的半徑為(a+b

4、-c)/2；（6）直角三角形ABC外接圓O的半徑為c/2。（P18-13、P16-例5、P19-15）題7：小紅的運動服被一個鐵釘劃破一個呈直角三角形的洞，其中兩邊分別為1 cm和2 cm，若用同色形布將此洞全部遮蓋，那么這個圓的直徑最小應等于()。A2 cmB3 cm C2 cm或3 cm D2 cm或cm題8：長為12 cm的鐵絲，圍成邊長為連續整數的直角三角形，則斜邊上的中線為_cm。題9：如圖2，河對岸有鐵塔AB在C處測得塔頂A的仰角為30°，向塔前進14米到達D，在D處測得A的仰角為45°，求鐵塔AB的高。圖2題10：已知：四邊形ABCD中，BADC90°

5、;，AB2、CD1、A60°，求：BC。 圖3第二章 二次函數1、定義：一般地，如果是常數，那么叫做的二次函數。自變量的取值范圍是全體實數。2、二次函數的性質：（1）拋物線的頂點是坐標原點，對稱軸是軸；（2）函數的圖像與的符號關系： 當時拋物線開口向上頂點為其最低點；當時拋物線開口向下頂點為其最高點。（3）頂點是坐標原點，對稱軸是軸的拋物線的解析式形式為。（P21-12）3、二次函數 的圖像是對稱軸平行于（包括重合）軸的拋物線。4、二次函數用配方法可化成：的形式，其中。5、二次函數由特殊到一般，可分為以下幾種形式：；。6、拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點。 的符號決定拋物線的開

6、口方向：當時，開口向上；當時，開口向下；相等，拋物線的開口大小、形狀相同。 平行于軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線。（P23-9,10）7、頂點決定拋物線的位置。幾個不同的二次函數，如果二次項系數相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同。8、求拋物線的頂點、對稱軸的方法 （1）公式法：，頂點是，對稱軸是直線。（P26-9） （2）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點為(,)，對稱軸是直線。 （3）運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點。 注意：用

7、配方法求得的頂點，再用公式法或對稱性進行驗證，才能做到萬無一失。題11：拋物線yx26x4的頂點坐標是()A(3，-5)B(-3，-5) C(3，5)D(-3，5)9、拋物線中，的作用（P29-例2,1,10） （1）決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣。 （2）和共同決定拋物線對稱軸的位置。由于拋物線的對稱軸是直線。，故：時，對稱軸為軸；（即、同號）時，對稱軸在軸左側；（即、異號）時，對稱軸在軸右側。 （3）的大小決定拋物線與軸交點的位置。 當時，拋物線與軸有且只有一個交點（0，）： ，拋物線經過原點； ,與軸交于正半軸；,與軸交于負半軸。 以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物

8、線的對稱軸在軸右側，則 。10、幾種特殊的二次函數的圖像特征如下：函數解析式開口方向對稱軸頂點坐標當時開口向上當時開口向下（軸）（0,0）（軸）(0, )(,0)(,)()11、用待定系數法求二次函數的解析式（P32-12、P34-7,8、P37-2,4、P42-1,2、P51-例、P54-16） （1）一般式：。已知圖像上三點或三對、的值，通常選擇一般式。 （2）頂點式：.已知圖像的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式。 （3）交點式：已知圖像與軸的交點坐標、，通常選用交點式：。題12：已知關于x的一元二次方程x2-2(m-1)x(m2-1)0，有兩個實數根x1、x2，且x12x224求m的值。題1

9、3：先化簡，再求值： ，其中題14：在平面直角坐標系中，B(1，0)，點A在第一象限內，且AOB60°，ABO45°。(1)求點A的坐標；(2)求過A、O、B三點的拋物線解析式；(3)動點P從O點出發，以每秒2個單位的速度沿OA運動到點A止，若POB的面積為S，寫出S與時間t(秒)的函數關系；是否存在t，使POB的外心在x軸上，若不存在，請你說明理由；若存在，請求出t的值。 圖412、直線與拋物線的交點（P47-5、P48-10,14） （1）軸與拋物線得交點為(0, )。 （2）與軸平行的直線與拋物線有且只有一個交點(,)。 （3）拋物線與軸的交點。二次函數的圖像與軸的兩

10、個交點的橫坐標、，是對應一元二次方程的兩個實數根。拋物線與軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定： 有兩個交點拋物線與軸相交； 有一個交點（頂點在軸上）拋物線與軸相切； 沒有交點拋物線與軸相離。 （4）平行于軸的直線與拋物線的交點：同（3）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點。當有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，設縱坐標為，則橫坐標是的兩個實數根。 （5）一次函數的圖像與二次函數的圖像的交點，由方程組 的解的數目來確定：方程組有兩組不同的解時與有兩個交點；方程組只有一組解時與只有一個交點；方程組無解時與沒有交點。 （6）拋物線與軸兩交點之間的距離：若拋物線與軸兩交點為，由于、是

11、方程的兩個根，故：第三章 圓1、定義：圓是平面上到定點距離等于定長的點的集合。其中定點叫做圓心，定長叫做圓的半徑，圓心定圓的位置，半徑定圓的大小，圓心和半徑確定的圓叫做定圓。對圓的定義的理解：圓是一條封閉曲線，不是圓面；圓由兩個條件唯一確定：一是圓心（即定點），二是半徑（即定長）。2、點與圓的位置關系及其數量特征：如果圓的半徑為r，點到圓心的距離為d，則：點在圓上<=>d=r；點在圓內<=>d<r；點在圓外<=>d>r。（P56-5，6、P58-16）證明若干個點共圓，就是證明這幾個點與一個定點的距離相等。3、圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過

12、圓心的直線。圓是中心對稱圖形，對稱中心為圓心。直徑所在的直線是它的對稱軸，圓有無數條對稱軸。（P58-4、P59-9、P61-3、P63-16、P65-15）4、與圓相關的概念：弦和直徑。弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦。直徑：經過圓心的弦叫做直徑。圓弧、半圓、優弧、劣弧。圓弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧，用符號“”表示，半圓：直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧叫做半圓。優弧：大于半圓的弧叫做優弧。劣弧：小于半圓的弧叫做劣弧。(為了區別優弧和劣弧，優弧用三個字母表示。)弓形：弦及所對的弧組成的圖形叫做弓形。同心圓：圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心圓。等圓：能夠完全重合的兩個圓叫做

13、等圓，半徑相等的兩個圓是等圓。等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角。弦心距：從圓心到弦的距離叫做弦心距。5、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。說明：根據垂徑定理與推論可知對于一個圓和一條直線來說，如果具備：過圓心；垂直于弦；平分弦；平分弦所對的優弧；平分弦所對的劣弧。6、定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等、所對的弦相等、所對的弦心距相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分

14、別相等。7、1°的弧的概念：把頂點在圓心的周角等分成360份時，每一份的角都是1°的圓心角，相應的整個圓也被等分成360份，每一份同樣的弧叫1°弧。圓心角的度數和它所對的弧的度數相等。8、圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角，叫做圓周角。圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。推論1： 同弧或等弧所對的圓周角相等；反之，在同圓或等圓中，相等圓周角所對的弧也相等；推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑；（P66-5，7、P68-16）9、確定圓的條件：理解確定一個圓必須的具備兩個條件：圓心和半徑，圓心

15、決定圓的位置，半徑決定圓的大小。經過一點可以作無數個圓，經過兩點也可以作無數個圓，其圓心在這個兩點線段的垂直平分線上。經過三點作圓要分兩種情況：(1)經過同一直線上的三點不能作圓。(2)經過不在同一直線上的三點，能且僅能作一個圓。定理：不在同一直線上的三個點確定一個圓。10、 (1)三角形的外接圓和圓的內接三角形：經過一個三角形三個頂點的圓叫做這個三角形的外接圓，這個三角形叫做圓的內接三角形。（P69-4,5、P70-15）(2)三角形的外心：三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外心。(3)三角形的外心的性質：三角形外心到三頂點的距離相等。11、直線和圓的位置關系：（P72-3,5）(1)相交：

16、直線與圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交，這時直線叫做圓的割線。(2)相切：直線和圓有惟一公共點時，叫做直線和圓相切，這時直線叫做圓的切線，惟一的公共點做切點。(3)相離：直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離。(4)直線與圓的位置關系的數量特征：設O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，則d<r<=>直線L和O相交。d=r<=>直線L和O相切。d>r<=>直線L和O相離。12、切線的總判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這個條半徑的直線是圓的切線。切線的性質定理：圓的切線垂直于過切點的半徑。推論1：經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點。推論2：經過

17、切點且垂直于切線的直線必經過圓心。結論：如果一條直線具備下列三個條件中的任意兩個，就可推出第三個。垂直于切線；過切點；過圓心。（P73-13、P74-3、P75-14）13、和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形。三角形內心的性質：(1)三角形的內心到三邊的距離相等。(2)過三角形頂點和內心的射線平分三角形的內角。由此性質引出一條重要的輔助線： 連接內心和三角形的頂點，該線平分三角形的這個內角。（P77-2、P78-14）題15：如圖，PA是O的切線，割線PBC與O相交于點B、C，PA6、PB4則BC_的值為_。 圖514、兩圓的位

18、置關系：（P79-6、P81-13） (1)外離： 兩個圓沒有公共點，并且每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外離。(2)外切： 兩個圓有惟一的公共點，并且除了這個公共點以外，每個圓上的點都在另一個圓的外部時， 叫做這兩個圓外切。這個惟一的公共點叫做切點。(3)相交： 兩個圓有兩個公共點，此時叫做這個兩個圓相交。(4)內切： 兩個圓有惟一的公共點，并且除了這個公共點以外，一個圓上的都在另一個圓的內部時，叫做這兩個圓內切。這個惟一的公共點叫做切點。(5)內含： 兩個圓沒有公共點， 并且一個圓上的點都在另一個圓的內部時，叫做這兩個圓內含。兩圓同心是兩圓內的一個特例。(6)兩圓位置關系的性

19、質與判定：(1)兩圓外離<=>d>R+r；(2)兩圓外切<=>d=R+r；(3)兩圓相交<=>R-r<d<R+r(Rr)；(4)兩圓內切<=>d=R-r(R>r)；(5)兩圓內含<=>d<R-r(R>r)。(7)相切兩圓的性質：如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上。(8)相交兩圓的性質：相交兩圓的連心線垂直平分公共弦。題16：已知A是O上的一點，A與O相交于點C、D，O的弦AB交CD于點E，AE2、EB6求：A的半徑長（證EADDAB） 圖615、圓周長公式：圓周長C=2R(R表示圓的半徑)。圓的面積公式：S=R 2(R表示圓的半徑)。弧長公式：2nR/360(R表示圓的半徑，n表示弧所對的圓心角的度數)。（P82-6）扇形定義：一條弧和經過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形。（P82-9、P84-1、P85-8）扇形的面積公式：扇形的面積=nR2/360(R表示圓的半徑，n表示弧所對的圓心角的度數)。弓形定義：由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形。弓形弧的中點到弦的距離叫做弓形高。16、圓錐：可以看作是一個直角三角形繞著直角邊所在的直線旋轉